高考考前训练4数学理试题.docx
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高考考前训练4数学理试题
2021年高考考前训练(4)数学(理)试题
一、填空题:
1.若函数y=2x的定义域是={1,2,3},则该函数的值域是。
2.已知复数,,若为实数,则的值为。
3.最小正周期为,其中,则。
4.抛物线的焦点到准线的距离是。
5.已知底面边长为3的正三棱锥中,一条侧棱与底面所成的角为,则这个三棱锥的体积为。
6.若二项式的展开式共7项,则的值为_______,展开式中的常数项为_____.
7.由正数组成的等比数列中,,则;.
8.△ABC中,
,则△ABC的面积等于_________。
9.已知实数x,y满足
的最小值为。
10.若数列满足
,则称数列为调和数列。
已知数列为调和数列,且,则。
11.已知向量满足,,,则向量在向量方向上的投影是。
12.给出以下四个命题:
①曲线的焦点坐标是;②函数的图
象的对称中心是;③函数的最小值为2;④函数
的定义域是
。
则正确命题的序号是。
二、选择题:
13.已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则的取值范围是()
(A)或(B)
(C)(D)或
14.把函数的图象向左平移个单位,所得的图象对应的函数是()
(A)奇函数(B)偶函数
(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数
15.设函数的反函数为,则()
(A)在其定义域上是增函数且最大值为
(B)在其定义域上是减函数且最小值为
(C)在其定义域上是减函数且最大值为
(D)在其定义域上是增函数且最小值为
16.函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧(如图),则不等式的解集为()
(A)
(B)
(C)
(D)
三、解答题:
17.如图,在直三棱柱中,
为侧棱上一点,.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求点到平面的距离。
18.某旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任意选其中一条旅游线路.
(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率;
(2)求恰有2条线路被选择的概率;
(3)(理)求选择甲线路的旅游团个数的期望。
19.已知函数是定义在上的奇函数,其中、且
(1)求函数的解析式;
(2)判断函数在区间上的单调性,并用单调性定义证明你的结论;
(3)求函数的值域;
20.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点,平行于的直线在轴上的截距为,交椭圆于A、B两个不同点。
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围;
(3)求证直线与x轴始终围成一个等腰三角形。
21.已知数列和满足:
其中为实数,为正整数.
(Ⅰ)对任意实数,证明数列不是等比数列;
(Ⅱ)试判断数列是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)设,为数列的前项和.是否存在实数,使得对任意正整数,都有?
若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由。
参考答案:
1.{2,4,8}2.3.104.5.6.6,60
7.;8.9.
10.分析:
根据调和数列的定义,可以看出其倒数数列符合等差数列的定义,由此可以转化,利用等差数列的定义求出前项和。
解:
根据调和数列的定义知:
数列为调和数列,则
,也就是数列为等差数列,现在数列为调和数列,则数列为等差数列,那么由,得
,20
答案:
20
11.-112.②④13.D14.B15.D16.A
17.证明:
(Ⅰ)在直三棱柱中,易知面面,
,∴.…………………………………………2分
∴,
∴.………………………4分
解:
(Ⅱ)设与的交点为,连结,由(Ⅰ)可知,且,
所以为二面角的平面角.…………………………………5分
在和中,,
∴.∴∽.∴.
∴.……………………………………7分
∴在中,.
,
∴.
∴在中,.
∴,故所求二面角的大小为.……………………………9分
(Ⅲ)设点到平面的距离为,易知,
可知
……………………………10分
………………………………………………………………11分
∴
∴
∴点到平面的距离为………………………………………………13分
解法二:
(Ⅰ)同解法一…………………………4分
(Ⅱ)如图以为原点,所在直线
分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
则
,设
.∴.
即,故,
所以.……………………………………6分
设向量为平面的法向量,则,
∴.即
.
令,则平面的一个法向量为…………………………8分
显然向量是平面的一个法向量
易知,与所夹的角等于二面角的大小,
故所求二面角的大小为.……………………………………………9分
(Ⅲ)所求距离为:
即点到平面的距离为………………………………13分
18.
19.解:
由题意上是奇数,
-----------------------3分
又易得-----------------------------------5分
-----------------------------6分
(2)在内任取令-------------------------------7分
所以,在上是单调递增的--------------------------------------------11分
(3)(解法一)由,
令
----------------------------------14分
的值域为
---------------------------16分
(解法二)利用
(2)的结论,也可.
20.解:
(1)设椭圆方程为………………………………1分
则
………………………………………………3分
∴椭圆方程为…………………………………………………………4分
(2)∵直线l平行于OM,且在y轴上的截距为m
又KOM=
……………………………………………………5分
由
……………………………………6分
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点,
(3)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可…………9分
设
……………………10分
则
由
……………………………………………………10分
而
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.……………………14分
21.解:
(Ⅰ)证明:
假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则有a22=a1a3,即
矛盾.
所以{an}不是等比数列.
(Ⅱ)解:
因为bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n-1)+21]=(-1)n+1(an-2n+14)
=(-1)n·(an-3n+21)=-bn
又b1x-(λ+18),所以
当λ=-18,bn=0(n∈N+),此时{bn}不是等比数列:
当λ≠-18时,b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0,∴(n∈N+).
故当λ≠-18时,数列{bn}是以-(λ+18)为首项,-为公比的等比数列.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.
∴λ≠-18,故知bn=-(λ+18)·(-)n-1,于是可得
Sn=-
要使a 即a<-(λ+18)·[1-(-)n]〈b(n∈N+) ① 当n为正奇数时,1 ∴f(n)的最大值为f (1)=,f(n)的最小值为f (2)=, 于是,由①式得a<-(λ+18),< 当a 当b>3a存在实数λ,使得对任意正整数n,都有a 设数列的前项和为,对一切,点都在函数的图象上. (1)求数列的通项公式; (2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为(),(,),(,,),(,,,);(),(,),(,,),(,,,);(),…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为,求的值; (3)设为数列的前项积,若不等式 对一切都成立,求的取值范围. 21.解: (1)因为点在函数的图象上, 故,所以. 令,得,所以; 令,得,所以; 令,得,所以. 由此猜想: .………………………………………………………………2分 用数学归纳法证明如下: ①当时,有上面的求解知,猜想成立. ②假设时猜想成立,即成立, 则当时,注意到, 故,. 两式相减,得 ,所以. 由归纳假设得,, 故 . 这说明时,猜想也成立. 由①②知,对一切,成立.……………………………………5分 另解: 因为点在函数的图象上, 故,所以①. 令,得,所以;……………………………………………1分 时② 时①-②得………………………………………………2分 令 , 即 与比较可得 ,解得. 因此 又,所以,从而.………………5分 (2)因为(),所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为 (2),(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),….每一次循环记为一组.由于每一个循环含有4个括号,故是第25组中第4个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列,且公差为20.同理,由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为20.故各组第4个括号中各数之和构成等差数列,且公差为80.注意到第一组中第4个括号内各数之和是68, 所以.又=22,所以=xx.………………8分 (3)因为,故 , 所以 . 又 , 故 对一切都成立,就是 对一切都成立.……………9分 设 ,则只需即可. 由于 , 所以,故是单调递减,于是. 令,………………………………………………………………………12分 即,解得,或. 综上所述,使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是.……………………………………………………………………14分 一个口袋内装有大小相同且已编有不同号码的6个黑球和4个红球,某人一次从中摸出2个球。 (1)如果摸到的球中含有红球就中奖,那么此人中奖的概率是多少? (2)(文)如果摸到的2个球都是红球,那么就中大奖,在没有放回的3次摸球中,此人恰好两次中大奖的概率是多少? (理)如果摸到的2个球都是红球,那么就中大奖,在有放回的3次摸球中,此人恰好两次中大奖的概率是多少? (3)(理)在 (2)条件下,级为三次摸球中中大奖的次数,求的数学期望。 解: (1)记“从袋中摸出的2个球中含有红球”为事件A 则………………………………………………………………4分 (2)记“从袋中摸出的2个球都是红球”为事件B 则………………………………………………………………6分 3次摸球恰好有两次中大奖相当于作了3次独立重复实验 则 ………………………………8分 (3)中大奖的次数可能取的值为0,1,2,3 ∴的数学期望为 ………………12分 或E 如图,已知定圆,定直线,过的一条动直线与直线相交于,与圆相交于两点,是中点. (Ⅰ)已知过圆心,求证: 与垂直; (Ⅱ)当时,求直线的方程; (Ⅲ)设,试问是否为定值,若为定值,请求出的值; 若不为定值,请说明理由. 解: (Ⅰ)由已知,又圆心,则.故. 所以直线与垂直.………………………3分 (Ⅱ)当直线与轴垂直时,易知符合题意;………………4分 当直线与轴不垂直时,设直线的方程为.…………5分 由于,所以 由,解得.………………7分 故直线的方程为或.………………8分 (Ⅲ)当与轴垂直时,易得,,又则 故.………………10分 当的斜率存在时,设直线的方程为,代入圆的方程得 .则 即, .又由得, 则. 故 . 综上,的值与直线的斜率无关,且.…………14分 另解一: 连结,延长交于点,由(Ⅰ)知.又于, 故△∽△.于是有. 由得 故………………………14分 另解二: 连结并延长交直线于点,连结由(Ⅰ)知又, 所以四点都在以为直径的圆上,由相交弦定理得 .……………14分 在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,, ,是的中点. (Ⅰ)证明: 平面; (Ⅱ)(文)求异面直线所成的角; (理)求二面角的大小。 解: (Ⅰ)取的中点,连结,. 四边形为菱形,, 则……………3分 . 同理. 故.………………………6分 (或用同一法可证) (Ⅱ)取的中点,过作于点,连结. 是二面角的平面角,………9分 可求得. 故二面角的大小为.………………………12分
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