正规战争模型.doc
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正规战争模型.doc
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正规战争模型
假定
设甲乙两方都是正规部队,双方士兵公开活动,每个士兵处在对方的杀伤范围内
1.甲方战斗减员率与乙方兵力成正比:
,a称为乙方战斗有效系数(a>0);
2.乙方战斗减员率与甲方兵力成正比:
,b称为甲方战斗有效系数(b>0).
建模
直接把代入得:
若只考虑最简单的情况,,则
分析
1.轨线方程
(4.45)是微分方程组,其解不太容易解。
不过我们也可不求其解。
直接分析战争的结局,我们可以在相平面上通过分析轨线的变化讨论战争的结局。
相平面----把时间t作为参数,为坐标的平面。
轨线——相平面中由方程组的解所描述的曲线。
从
两边取不定积分得,
令得2c=
(4.46)就是轨线方程
2.战争结局分析
以下对K的三种情况分别作分析
注:
由于现在是没有增援的,故随t增大,双方兵力越来越少,先为0者是输方。
①K=0,轨线方程为,开方:
得直线L:
过原点,
双方兵力同时为0.,平局。
②K>0
(Ⅰ)轨线方程:
即轨线总在直线L上方
(Ⅱ),即y关于x递增,
也即随x减少y也减少。
(Ⅲ)
即轨线向上凹的。
(Ⅳ)时,,即甲方兵力先为0,甲方输,乙方胜。
③K<0
(Ⅰ)轨线方程:
,即轨线总在直线L下方。
(Ⅱ),即随y减少,x也在减少,此性质与K无关
(Ⅲ),即轨线向下凹
(Ⅳ),即乙方兵力先为0,乙方输,甲方胜。
3.初始兵力分析
双方战平
K=0(平衡条件)
可见若甲方初始兵力不变,乙方战斗有效系数也不变,而乙方初始兵力增到原来的2倍,则甲方的战斗有效系数就要增加到原来的4倍才能与之抗衡.同理可分析其余情况.(4.45)也称为平方率模型。
注:
可求出(4.45)的解为
若用此解去分析战争结局反而麻烦。
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