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二次曲线的一般理论
第五章二次曲线的一般理论
§5.1二次曲线与直线的相关位置
1.求直线x-y-1=0与二次曲线2x2—xy-y2-x-2y-1=0的交点.
解:
将y=x-1代入曲线方程,得
22
2x-xx-1-x-1-x-2x-1)-1=0,
即0二0
故直线在二次曲线上.
2.试决定k的值,使得
(1)直线x-y+5=0与二次曲线x2-3x+y+k=0交于两不同实点;
x=1kt,
(2)直线《与二次曲线x2+3y2—4xy—y=收于一点;
y=kt
⑶直线x-ky-1=0与二次曲线y2_2xy-(k-1)y-1=0交于两个相互重合的实点;
x=1t
⑷已知直线W与一次曲线2x+4xy+ky-x-2y=0有两个共腕虚点,求ky=1-t
的值
解:
(1).将y=x+5代入二次曲线方程,得
x2-2xk50
12
-2-4k50
-4k-160
k 1-20 (2).二次曲线的矩阵为-23-1/2 0-1/20 且v='・X,Y,'="k,1上,x0,v。 11,k *(k,1尸k2—4k+3=0,则k1=1,k2=3, 1 1)当ki=1时,FiX0y0XF2比*Y=-13=0, 13 2).当k2=3日t,F1%,y。 XF2%,y°Y=一15万=0,,k=1,3时,原直线与二次曲线交于一个实点. 1-10 ⑶.二次曲线的矩阵为-11(1—k)/2 0(1-k)/2-1 且V: X,Y)=ik,1),x°,y。 =1,0, 122 令A=0,即](k+1)—(1—2kX—1)=0,即k2—6k+5=0, 解之,得k1=1,k2=5, 1)当k=1时,"X,Y)=4(k,1)=1—2k#0, 2)当k=5时,位X,Y)=4(k,1)=1—2k=0, ,当k=1,5时,直线与二次曲线有二重合实交点. 22-1/2 (4).二次曲线的系数矩阵为2k-1且X: Y=1: (-1) -1/2-10 取(X0,y0)=(1,1),令[<0,即[7+(1+k)(—1)]2—(k—2)(3+k)<0 2 解得k>49,且此时中(1,-1)=2+4(—1)+k=k—2〉工#0,2424 「.k〉49时,直线与二次曲线有两个共腕虚交点。 24 §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1.求下列二次曲线的渐进方向,并指出曲线是属于何种类型的. 1x22xyy23xy=0; 23x24xy2y2-6x-2y5=0; 32xy-4x-2y3=0. …oo.一.11 解: (1)1%X,Y)=X2+2XY+Y2=0时,X: Y=—1: 1,同时I2==0, 11 ,曲线有一个实渐进方向,是抛物型的 2: X,Y=3X24XY2Y2=0时,X: Y=-2_.2i: 3m£一2一J2i: 3, 「32 且12==2a0, 22 「•曲线有两个共腕的虚渐进方向,是椭圆型的. 小、,、一01 ⑶X;Y=0: 1或1: 0,且I2==—1〈0, 10 「•曲线有两个渐进方向,是双曲型的. 2.判断下列二次曲线是中心曲线,无心曲线还是线心曲线 .2-_2____ 1x-2xy2y_4x-6y3=0; _2..2__ 2x―4xy4y2x-2y—1: 0; 442424__ 39x-6xyy-6x2y=0. 1-1 解: (1),I2==1=0,故为中心曲线; 2-12 1-21 (2)';A=-24-1 : 1-1-1_ 曲线为无心曲线; 9-3-3I (3);A=-311,且有》»生二一3, -310ja12a22a23 •••曲线为线心曲线. 3.求下列二次曲线的中心. 15x2-2xy3y2-2x3y-6=0; 22x25xy2y2-6x-3y5=0; 39x2-30xy25y28x-15y=0; 44x2—4xyy24x-2V: 0. 下5x-y-1=0 313 斛(1口(3斛彳导x=—,y=—— _x3y—=02828 •・中心为以? 2x5y一3=0 (2解得x=_1,y=2, 5x2y-=0 22 ••・中心为」,2; a1+alla123 a23 3 al2a225 「•曲线没有中心. t*allai2a13小 4,——=——=——=-2a12a22a23 曲线为线心曲线,中心直线方程为2x-y+1=0. 4.当a,b满足什么条件时,二次曲线 242 x6xyay3xby-4=0 (1)有唯一中心; (2)没有中心; (3)有一条中心直线 33/2 1 ab/2,I2= 23 b/2-4 (1)当I2#0即a#9,b为任意实数时,曲线有唯一中心; 3 (2户3=|a=9,b*9时;次曲线没有中心; 2 (3)当a=b=9时,二次曲线有一条中心直线。 5、试证明如果二次曲线41x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, 有渐近线,则它的两渐近线方程是 ,一2一^一一2一 j(x—x0,y—y°)三a11(x—x0)2a12(x—x0)(y-y0)a22(y-y。 )二0 式中(x0,y0)为二次曲线的中心 证: 设渐进方向为X: Y,在渐进线上任取一点(x,y),则江风=△ 由&X2 Y cX ■2al21— 12Y +a22=0,即a11 x-'x0 )2 *2a12 化简,得渐进线方程为: a11(x-%)22a12(x—x°)(y—y0)a22(y—y0)2=0 6.求下列二次曲线的渐进线。 22 16x-xy-y3xy-1=0; 22 2x-3xy2yx_3y4=0; -2_2 3x2xyy2x2y-4=0. 解: (1)由 即2x-y1-0与3xy=0. 31八 x--y-=0 222解得中心为(-5,-3), -3x2y-3=0 22 22 故得渐进线方程为x+5)-3x5y32y3,即x-2y-1=。 与x-y2=0. (3)原方程变形为(x+y)2+2(x+y)-4=0,即为两条平行直线。 其渐进线方程为中心直线: x+y+1=0. 7.试证二次曲线成为线心曲线的充要条件是I2=I3=0成为无心曲线的充要条件 是I2=0,13=0. 证: (1)若二次曲线为线心曲线,则 生=吆=/,此时有I? =I3=0,a12a22a23 反之, 即曲线为线心曲线。 (2)若曲线为无心曲线,则 a1=9巴#盟,从而I2=0/3#0(否则由 (1)知曲线为线心曲线, a12a22a23 反之,若I2=0/3¥0,则必有史L=a乌#盟,即曲线为无心曲线。 a12a22a23 8、求以点(0,1)为中心,且通过点(2,3),(4,2)与(-1,-3)的二次曲线方程。 解: 设所求的二次曲线方程为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0, 因为(0,1)是其中心,点(2,3),(4,2),(-1,-3)在曲线上,它们关于(0,1)的对称点(-2,-1),(-4,0),(1,5)也在曲线上,从而 4a6b9c2d3ef=0,4a2bc-2d-ef=0,16a8b4c4d2ef=0, 16a-4bf=0,a-3ab9c-d-3ef=0,a5b25cd5ef=0, 由上六式解得b=1,d=-1,f=-4,a=c=e=0., 「•所求方程为xy-x-4=0. §5.3二次曲线的切线 1.求以下曲线在所给点或经过所给点的切线方程. (1)曲线3x2+4xy+5y2-7x-8y-3=0在点(21); ⑵曲线x2+xy+y2+x+4y+3=0,经过点(-2,-1); (3)曲线2x2-xy-y2-x-2y-1=0,经过点(0,2). 解 (1);F(2,1)=0,即点(2,1)在二次曲线上,且F1(2,1)=9,F2(2,1)=5, 所求切线方程为9(x-2)+5(y-1)=0,即9x+10y-28=0. 2 22);F(-2,-1)=4,即点(-2,-1心在二次曲线上,且F(-2,-1)=-2, F2-2,-1=0, 2rr」 ・•・所求切线方程为{x+2Iy+1)+(y+1)=0,即y+1=Wx+y—3=0. 3 ⑶1F(0,2)=—9,且Fi(0,2)=—2,F2(0,2)=—3, 所求切线方程为|_|x-3(y-2^--2x2-x(y-2)-(y-2f^-9)=0, 即x=0. 2,求以下曲线的切线方程,并求出且点的坐标. (1)曲线x2+4xy+3y2—5x—6y+3=0的切线平行于直线x+4y=0。 22 (2)曲线x+xy+y=3的切线平行于x轴. 解: (1)设切点为(x0,y0),则切线为: (x—x0)Fi(x0,y0)+(y—y0)F2(x0,y0)=0, 这切线与直线x+4y=0平行,从而F1(x0,y0): F2(x0,y0)=1: 4, 5 即-4(x0+2y0一)+(2x0+3y0)=0,所以2x0+5y0—7=0 (1) 2 又因为(x0,y0)在二次曲线上,故有x02+4x0y0+3y02—5x0—6y0+3=0 (2) 由 (1) (2)得! x0=1或00="。 所以曲线的方程是x+4y-8=^x+4y-5=0。 y0=1y0=3 (2)设切点为(x0,y0),因为切线的方向数X: Y为1: 0或0: 1, 1 xy=0 当X: Y=1: 0时,由方程组02y0解得切点为 2_L,2c 、x0+x0y0+y0=3, (1,-2或(-1,2% ・•・平行于ox轴的切线方程为y=2与y=-2. 3.求下列二次曲线的奇异点。 13x2-2y26x4y1=0; 22xyy2-2x-1=0; 22 3 x2-2xyy2-2x2y1=0. 奇异点为(-1,1) y-1=0 (22fx+y=0 解得! x二-,且F(-1,1)=0, y=1 奇异点为(-1,1). (32|x-y一1=0得x—y—1=0,且此直线在二次曲线上, -xy1=0 故X-y-1=0上的所有点都是二次曲线的奇异点. 4.试求经过原点且切直线4x+3y+2=0于点(1,-2),切直线x-y-1=0于点(0,-1)的二次曲线方程. 解二次曲线过原点 22 ;可设其方程为a〔〔x+2a〔2xy+a22y+Za^x+2a23y=0 以其上一点(xo,y0)为切点的切线方程为: anx0'a12y0'&3xa^x。 ■a22y0'a23y'a^x。 'a23y0=0 故以(1,-2)为切点的切线方程为 a11一242ai3xa12—2a22'a23y'ai3—2a23=0 以点(0,-1)为切点的切线方程为 -a12a13x)+: 1a22,a23y-a23=0, 此两直线方程分别与4x+3y+2=0和x-y-1=0同解,从而有 a11一2a12■a13ai2-2a22'a23ai3—a23. 二二二t; 432 a12.a13_a22a23_a23 a2h 二1 消去参数h并整理,得所求轨迹方程为: mx2+(m2—1)xy—my2—m(a2—b2)=0. 22 5、设有共焦点的曲线族=1这里h是一个变动的参数,作曲线的平a2hb2h 行于已知直线y=mx的切线,求这些切线切点的轨迹方程. 22 解: 过曲线—^+^^=1上一点(x0,y0)的切线方程为: -x0^+-y0L=1 ahbhahbh 按题设有
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