高中数学圆锥曲线的知识点总结.docx
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高中数学圆锥曲线的知识点总结
高中数学圆锥曲线的知识点总结
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程
f(x,y)?
0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.
C上?
f(x0,y0)?
0;点P点与曲线的关系:
若曲线C的方程是f(x,y)?
0,则点P0(x0,y0)在曲线0(x0,y0)
不在曲线C上?
f(x0,y0)?
0.
两条曲线的交点:
若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)?
0,f2(x,y)?
0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点?
{f1(x0,y0)?
0
f2(x0,y0)?
0方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点.
二、圆:
1、定义:
点集{M|OM?
r},其中定点O为圆心,定长r为半径.
2、方程:
(1)标准方程:
圆心在C(a,b),半径为r的圆方程是(x?
a)2?
(y?
b)2?
r2
圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2?
y2?
r2
22
(2)一般方程:
①当D?
E?
4F?
0时,一元二次方程x?
y?
Dx?
Ey?
F?
0叫做圆的一般方程,圆心为22
DE22(?
?
)半径是.配方,将方程x?
y?
Dx?
Ey?
F?
0化为222
D2E2D2?
E2?
4F(x?
)?
(y?
)?
224
②当D?
E?
4F?
0时,方程表示一个点(?
2222DE,?
)22③当D?
E?
4F?
0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|?
r?
点M在圆C内,|MC|?
r?
点M在圆C上,|MC|?
r?
点M在圆C
外,其中|MC|?
(4)直线和圆的位置关系:
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:
直线与圆相交?
有两个公共点;直线与圆相切?
有一个公共点;直线与圆相离?
没有公共点.
②直线和圆的位置关系的判定:
(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax?
By?
C?
0的距离d?
Aa?
Bb?
CA?
B22与半径r的大小关系来判定.-1-
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率.当e(e?
0),
0?
e?
1时,轨迹为椭圆;当e?
1时,轨迹为抛物线;当e?
1时,轨迹为双曲线.
-2-
【备注1】双曲线:
(1)等轴双曲线:
双曲线x2?
y2?
?
a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为y?
?
x,离心率e?
2.
x2y2
(2)共轭双曲线:
以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.2?
2?
?
ab
-3-
x2y2x2y2
与2?
2?
?
?
互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
2?
2?
0.abab
(3)x2
a2x2a2?
y2b2?
?
(?
?
0)的渐近线方程为x2a2?
y2b2?
0;如果双曲线的渐近线为xy?
?
0ab时,它的双曲线方程可设为
【备注2】抛物线:
?
y2b2?
?
(?
?
0).
(1)抛物线y2?
2px(p?
0)的焦点坐标是pp,0),准线方程x?
?
y2?
2px(p?
0)22
的焦点坐标是(ppp,0),准线方程x?
?
x2?
2py(p?
0)的焦点坐标是222
程y?
?
pppx2?
2py(p?
0)的焦点坐标是y?
?
222
(2)抛物线y2?
2px(p?
0)上的点M(x0,y0)与焦点M的距离MF?
x0?
p;2
pp,顶点到准线的距离,22(3)设抛物线的标准方程为y2?
2px(p?
0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为
焦点到准线的距离为p.
五、坐标的变换:
(1)坐标变换:
在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
(2)坐标轴的平移:
坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴.
(3)坐标轴的平移公式:
设平面内任意一点M,它在原坐标系xOy中的坐标是(x,y),在新坐标系xOy中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则?
叫做平移(或移轴)公式.
六、椭圆的常用结论:
''''''?
x?
x'?
hy?
y'?
k?
P处的外角.1.点P处的切线PT平分?
PF1F2在点
证明:
如图,设F1(?
c,0),F2(c,0),P(x0,y0).x2y22x2yy'
对椭圆方程2?
2?
1两边求导得,2?
2?
0abab
b2x0b2x'?
y?
?
2,k?
kPT?
y(x0,y0)?
?
2ayay0'
-4-
又k1?
kPF1?
y0y,k2?
kPF2?
0x0?
cx0?
c
?
k2?
(?
k)b2
?
tan?
2?
tan(?
PF2F1?
?
PTF2)?
?
1?
kk2cy0
b2
同理?
tan?
4?
cy0
故?
2?
?
4
总结:
角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率,多利用几何方法补充角平分线定理
x0xy0yx2y2
?
2?
1.(和圆上点的切线做比较)?
?
12.若P在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是(x,y)P0000222abab
x2y22x2yy'
解析:
对椭圆方程2?
2?
1两边求导得,2?
2?
0abab
b2x0b2x'?
y?
?
2,k?
kPT?
y(x0,y0)?
?
2ayay0'
故直线方程为x0xy0y?
2?
1a2b
总结:
常见的求切线的方法
x2y2
3.若P0作椭圆的两条切线切点为P0(x0,y0)在椭圆2?
2?
1外,则过P12的直线方程是1、P2,则切点弦PPab
x0xy0y?
2?
1.a2b
补充圆的切线公式:
(x?
a)(x0?
a)?
(y?
b)(y0?
b)?
r2
圆的切点弦公式:
(x?
a)(x0?
a)?
(y?
b)(y0?
b)?
r2
总结:
知识点的对比性记忆
x2y2
4.椭圆2?
2?
1(a?
b?
0)的左右焦点分别为F1、F2,点P为椭圆上任意一点?
F1PF2?
?
,则椭圆的焦ab
点角形的面积为S?
F1PF2?
btan2?
2.
证明:
设PF1?
m,PF2?
n,则由余弦定理可得
4c2?
m2?
n2?
2mncos?
4c2?
(m?
n)2?
2mn(cos?
?
1)
-5-
2b2
mn?
1?
cos?
S?
PF1F2?
1sin?
?
mnsin?
?
b2?
?
b2tan
21?
cos?
2
x2y2
5.椭圆2?
2?
1(a?
b?
0)的焦半径公式|MF1|?
a?
ex0,,其中ab
(F1(?
c,0),F2(c,0),M(x0,y0)).
b2x02(cx0?
a2)2
?
解析:
|MF1|?
(c?
x0)?
y0?
x0?
2cx0?
x0?
b?
a2a2222222
?
|MF1|?
a?
ex0
同理|MF1|?
a?
ex06.x2y2b2
AB是椭圆2?
2?
1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOM?
kAB?
?
2,即abaKABb2x0?
?
2.ay0
2a2k2x0?
2ka2y0b2x0?
2x0,k?
?
2解析:
设直线方程为y?
k(x?
x0)?
y0,联立可得x1?
x2?
b2?
a2k2ay0
x0xy0yx02y02x2y2
?
2?
2?
2;7.若P0(x0,y0)在椭圆2?
2?
1内,则被P0所平分的中点弦的方程是2ababab
x2y2
8、已知椭圆2?
2?
1(a?
b?
0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP?
OQ.
(1)ab
4a2b2a2b2111122?
?
2?
2;
(2)|OP|?
|OQ|的最小值为22;(3)S?
OPQ的最小值是22.22a?
ba?
b|OP||OQ|ab
解析:
设直线方程为y?
kx?
m,联立可得(ak?
b)x?
2kmax?
am?
ab?
0222222222
a2m2?
a2b2
22,yy?
kxx?
km(x?
x)?
m可得x1x2?
121212222ak?
b
m2a2b2
?
2由x1x2?
y1y2?
0?
221?
ka?
b
11|OP|2?
|OQ|2|PQ|2a2?
b211?
?
?
?
22?
2?
2222222|OP||OQ||OP||OQ||PQ|dabab
1111|OP|2?
|OQ|2
222)
(2)|OP|?
|OQ|?
(2?
2)(|OP||OQ|)?
(2?
2)(abab222
-6-
4a2b2a2b2
|OP|?
|OQ|?
2(3)同理可求S?
OPQ?
222a?
ba?
b22
七、双曲线的常用结论:
P处的内角.1、点P处的切线PT平分?
PF1F2在点
x0xy0yx2y2
?
2?
1.?
?
12、若P在双曲线上,则过的双曲线的切线方程是(a?
0,b?
0)(x,y)P0000a2ba2b2
x2y2
3、若P0作双曲线的两条切线切点为P0(x0,y0)在双曲线2?
2?
1(a?
0,b?
0)外,则过P1、P2,则切点弦ab
PP12的直线方程是x0xy0y?
2?
1.2ab
x2y2
4、双曲线2?
2?
1(a?
0,b?
0)的左右焦点分别为F1、F2,点P为双曲线上任意一点?
F则双曲1PF2?
?
,ab
线的焦点角形的面积为S?
F1PF2?
bcot2?
2.
x2y2
5、双曲线2?
2?
1(a?
0,b?
0)的焦半径公式:
(F1(?
c,0),F2(c,0))当M(x0,y0)在右支上时,ab
|MF1|?
ex0?
a,|MF2|?
ex0?
a;当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|?
?
ex0?
a,|MF2|?
?
ex0?
a.
b2x0x2y2
6、AB是双曲线2?
2?
1(a?
0,b?
0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则KAB?
2.abay0
x0xy0yx02y02x2y2
?
2?
2?
2.7、若P0(x0,y0)在双曲线2?
2?
1(a?
0,b?
0)内,则被P0所平分的中点弦的方程a2babab
x2y2
8、已知双曲线2?
2?
1(b?
a?
0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OP?
OQ.ab
4a2b2a2b2111122?
?
2?
2;
(2)|OP|?
|OQ|的最小值为2
(1);(3)S?
OPQ的最小值是2.2222b?
ab?
a|OP||OQ|ab
八、抛物线的常用结论:
4ac?
b2b?
).1、ay?
by?
c?
x顶点(4a2a22、设AB是过抛物线y?
2px(p?
0)的焦点F的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),则2
p2
y1y2?
?
p2
(1)x1x2?
4
(2)弦长|AB|?
x1?
x2?
p?
2p(?
为弦AB的倾斜角)2sin?
-7-
解析:
(一)设直线为y?
k(x?
p
),代入抛物线方程可得:
2
4k2x2?
(4pk2?
8p)x?
p2k2?
0
则x1?
x2?
...,x1x2?
...
|AB|?
2p(k2?
1)
?
k2
(二)利用定义|AB|?
x1?
(?
pp)?
x2?
(?
)22
(3)
112
?
?
|FA||FB|p
x1?
x2?
p11112
?
?
?
?
?
pp2p|FA||FB|x?
x?
x1x2?
(x1?
x2)?
12
2224
解析:
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切
(5)A、O与B在准线上的射影B三点共线,B,O与A点在准线上的射影A三点共线(6)通径长度为2p
3、y2?
2px(p?
0)则焦点半径PF?
x?
P;x2?
2py(p?
0)则焦点半径为PF?
y?
P.
2
2
'
'
-8-
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