湖南省五市十校届高三上学期第二次大联考数学试题含答案解析.docx
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湖南省五市十校届高三上学期第二次大联考数学试题含答案解析
姓名准考证号
(在此卷上答题无效)
绝密★启用前
湖南省五市十校2020年下学期高三年级第二次大联考试题
2020.12
命题:
宁乡一中雷锋学校东山学校
本试卷共4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动•用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时•将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结朿后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:
本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设复数Z=亍+2i,则IZl=
Λ.0B.1C.√2D.2
2.已知SinG>0,COS(@—兀)>0,则0是
A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角
3.设等差数列仏>的公差为厶仇=2■则是为递减数列”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充耍条件D.既不充分也不必耍条件
4.陈镜开(1935〜2010),新中国举重运动员.1956年在上海举行的“中苏举垂友谊赛”中,他以133公斤的成绩,打破美国运动员C・温奇保特的56公斤级挺举世界纪录,这是中国运动员创造的第一个世界纪录.1956〜1964年期间•在上海、北京、英斯科、莱比锡等国内外的重大举重比赛中,陈镜开先后9次打破眾轻量级和次轻量级挺举世界纪录.举重比赛挺举项目中,运动员对所要重虽冇3次试举次数,只要一次试举成功即为完成本次所要重员的比赛,才冇资格进人下轮所耍更大重量的比赛.结合平时训练数据,某运动员挺举130公斤成功的概率为0.6(每次试举之间互不影响)・则在挺举比赛中,他有资格进入下轮比赛的槪率是
A.0.784B.0.84C.0.904D.0.936
5.已知直线Z:
^+J-I=0,圆CS(^-I)2+⅛-2)2=8,则圆C上到直线/的距离为√T的点共有
A.1个B2个C.3个D.4个
6.原油作为“工业血液”、“黑色黃金”,其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油网次,这段时间燃油价格有升有降.现小李有两种加油方案:
第一种方案是每次加油40升,第二种方案是每次加油200元、则下列说法正确的是
A.第一种方案更划算B.第二种方案更划算
C.两种方案一样D.无法确定
7.如图,在半径为2的扇形AOB中,ZA0B=¥,P是弧∕∖B上的一个三等分点.M∙N分别是线段OA,OB±的动点.则页?
•两的最大值为
A.√2B.2
C.4D.4√2
8.
函数/(-2∙)=7⅛t+2cos(^)在区间[一2.4]上的所有零点的和为
二、多项选择题:
本题共4小題,每小题5分,共20分。
在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分。
9.
某校对120名考生的数学竞赛成绩进行统计•分成[50,60).[60.70),[70.80),[80>90).[90300]五组•得到如图所示频率分布直方图,则下列说袪正确的是
A.a=0.008
B.该校学生数学竟赛成绩落在[60,70〉内的考生人数为24
C.该校学生数学竟赛成绩的中位数大于80
I).估计该校学生数学竟赛成绩的平均数落在E70.80)内
10.已知实数F满足log,χ-log3y<(y)j- D・ln(y—刃>0 A∙>7ESC”V1 11.已知函数/(jr)=2cosj√simr-COsQ9则下列结论正确的是 A.函数y=fM在区间(0诗)上为增函数 B.直线H=曹是函数y=f(x)图像的一条对称轴 C.函数》=/(工)的图像可由函数^=Sin2^的图像向右平移专个单位得到 D•函数y=f(r)的图像关于点(寺H)对称12•如图•在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1∙AB=√3,E.F,G分别是AB.BC.C1D1的 中点,则下列说法正确的是 A.B,C±D,E B.DC〃平面GEF C.若点P在平面ABCD内,且D』〃平而GEF,则线段DP长度的境小值为√∑ D.若点Q在平面ABCD内•且DQ丄BC,则线段DQ长度的最小值为√Σ 3.填空题;本题共d小题海小题5分■共20分。 13.一个圆锥的紬截面是边长为2的等边三角形,则该圆锥的侧面积为. 14.(2/-2)5的展开式中$的系数为 ⅜2* 15∙已知F•'几分别是双曲线C形-君=I(Q0』>0)的左,右焦点"是双曲线C的右支上-点Q是厶PF1F2的内心9且Sδoif2p: S△仆…SM时2=—2z3,则C的离心率为 16.“喊泉”是一种地下水的毛细现象,人们在泉口吼叫或发岀其他声音时,声波传入泉洞内的储水池,进而产生“共鸣”等物理声学作用,激起水波,形成涌泉.声音越大,涌起的泉水越高.已知听到的声强〃2与标准声调mgg约为10^1∖单位: W/n? 〉之比的常用对数称作声强的声强级. 记作1(贝尔)•即L=Ig-,取贝尔的10倍作为响度的常用单位,简称为分贝•已知某处栏喊mO 泉”的声音响度,(分贝)与喷出的泉水高度工(米)满足关系式,=2工・现知A同学大喝一声激起的涌泉最髙高度为50米,若A同学大喝一声的声强大约相当于10个E同学同时大喝一声的声强,则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为米. 四、解答题: 共70分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分) 在①2α-√2c=2Z>cosC;②α? +/—∕√=4S,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题目. 在厶ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,j设厶ABC的面积为S•已知. ⑴求tanB的值; ⑵若S=10,α=5,求〃的值. 注: 如果选择多个条件分别解答•按第一个解答计分. 18.<12分) 已知等比数列{心〉的各项均为正数是4©与2心的等差中项.(】)求数列(“H的通项公式; (2)设S=—,求数列{仇}的前”项和T1,. (。 卄|—1)(f1) 19.(12分〉 如图,在四棱锥P-ABCD中,FA丄底面ABCDI底面ABCD是矩形fAP=AB^l,PD与底面ABCD所成角的正切值为寺,F是PB的中点,E是线段BC上的动点. (1)证明MF丄平面PBCi ⑵若二而角P-DE-A的余弦值为曲徑,求EE的长• 20.(12分) 某公司有1400名员工•其中男员工900名•用分层抽样的方法随机抽収28名员工进行5G手机购买意向调查,将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”,计划在明年及明年以后购买5G手机的员T称为“观望者”,调查结果发现抽取的这28名员工中屈于“追光族”的女员工有2人.男员工有10人. (1)完成下面2X2列耽表•并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关; 屈于^追光族” 屈于•'观望者” 合计 女员工 男员工 合计 28 (2)在抽取的属于“追光族"的员工中任选4人,记选出的4人中男员工冇X人,女员工冇Y人. 求随机变呈w=x—y的分布列与数学期望・ 21.(12分) 已知椭圆Ej4+⅛=1(u>6>0)的右焦点为F(√2,0),顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成 ab 一个边长为用的菱形• (1)求椭圆E的标准方程; (2)设M(彳,*),0为坐标原点・A・£是椭圆E上两点,且AE的中点在线段OM(不含端点0、 M)上,求AAOB面积S的取值范围. 22.(12分) 已知函数/(j-)=(lnr-l)(αχ-l)(α>O),设曲线y=f<τ'>在点(e,∕(e))处的切线方程为y=(ζ(τ). (1)求gCr)的解析式; (2)证明: 对定义域内任意都有∕ω≥g(x); (3)当a=l时,关于X的方程f(x)=m有两个不等的实数根证明: K 高三数学参考答案 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B C D C B C A BD ABC AB ABD 6.B解析: 设小李这两次加油的油价分别为X元/升、夕元/升,则方案一: 两次加油平均价格为 40x+40>z=Ξ±Z≥λ/^: 方案二: 两次加油平均价格为≤√^・ 802+X+y ×y 故无论油价如何起伏,方案二比方案一更划算. 7∙c解析: Z""pP是弧M上的一个三等分点,故ZMB吟,ZPo0,莎.PN=(PO+OMy(PO+ON)=PO2+PoON+兄.OM+OM・ON=4+0+2∙∣δΛ7∣cos^+∣δM∣∣δy∣cos^=4-y-∣δΛ7∣∙(2+∣δ7√∣)≤4故当IOM1=0吋,丽•顾取最大值4・ 8.A解析: 令/(x)=0,得丄=_2cos(-工),函数f(x)的零点就是函数V=-L与函数y=-2cos(-x) x-12x-l2 图象交点的横坐标•又函数P=丄的图象关于点(1,0)对称,函数 X-I y=-2cos(∣Λ)的周期为4,其图象也关于点(1,0)对称,画出两函数图象如图: 共有4个交点,这4个点两两关于点(1,0)对称,故其横坐标的和为4. 9.BD解析: 对于兄,由频率分布直方图性质得: (α+0∙02+0.035+0∙025+α)xl0=l,解得«=0.01,故X错误; 对于乩由频率分布宜方图得成绩落在[60,70)的概率为0.2,0.2×I20=24,故〃正确; 对于C,由频率分布直方图得: [50,70)的频率为(0.01+0.02)x10=0.3,[70,80)的频率为0.035x10=0.35,・•・成绩的中位数位于[70,80)内,故C错误; 对于Zλ佔计成绩的平均数为: X=55x0.01x10+65x0.02x10+75x0.035x10+85x0.025x10+95x0.01x10=75.5 •••成绩的平均数落在[70,80)内,故Z)正确•故选: BD. 10∙ABC解析: 由IOgJX-Iog3y<(^)t-(y)v变形得IOgJX-(^)X /(Λ)=log3Λ-(-)S已知函数在定义域上单调递増,所以0VXV八则丄>丄,A正确;√<∕,B正3Xy 确;x-βy<0,所以2x^<1,C正确;y-x>O,In®-x)的符号无法判断,D错.故选: ABC. 11.AB解析: /(x)=2SinxCoSX-2cos2%=sin2x-1-cos2x=√2sin∣^2λ-1-1,对于A选项,当珂0,£时,2一*(-彳,0),函数y=f(x)为增函数,A正确: 令ZX-^→kπ,Λr∈Z,得 +第,jt∈Z,当k=0时,X再,所以直线"辛是函数P=∕(x)图象的一条对称轴,B正O2OO 确;函数7=sin2x的图象向右平移彳个单位得到函数尸Sin2卜-日=sin(2x-f)图象'C错误: 函数尸/«)关于律,T)对称,D选项错误,故选: AB. 12.ABD解析: 连结AC9DiA9BCl.-Bfi丄BC】,BQ丄M■二BC丄面JBCIDJ.XvDIEU面 ABC1D19坊C丄故川选项是正确的;又VEFlIAC,ADJIGE.面/Γ∖C//而GEF,又VPlCU面AD1C9: .DQj面GEF・•・3选项是正确的.若P在平面ABCD内,且DXPll面GEF, 则F的轨迹是直线/C,此时Qf的最小值为Df丄力C时。 在"AC中,JD1=√2,P1C=2, AC=2、VDIPLAC•••D∖P=adwzD∖AC=丘逅=互∙∙∙C选项是钳误的∙丄面42 ABCIDI,且DQ丄BiC,/.点Q的轨迹是直线AB,二DiQ的最小值是OQ丄时,即0与/重合, 此时,Z)IJ=√2,ΛD选择项是正确的,故选: ABD. 三、填空题(本大题共4小題,每小題5分,共20分) 15.3解析: 设内切圆半径为厂,贝IJ Sdq: Sg片P: Sgk*∣PEi厂弓IP弘弓皿IZIPEl: lPAI: 1恥41: 2: 3, 12242 故∖PF2∖=-∖FlF2∣=-c,IP^l=-I^I=-C,又IM;H昭I=2d,即丁=2°,故e=3. 16.45解析: 设3同学的声强为加,喷出泉水高度为X,则/同学的声强为IOw,喷出泉水高度为 50, 相减得I=IO-0.2x=>0.2x=9≈>x=45・故答案为45. 四、解答题(本大题共6小題,共70分) 17.解析: (1〉选择条件①.∙.∙2α-√2c=2ΛcosC>A2sinJ-√2sinC=2sinj5cosC (2)由tan5=SinB=9V5=10>a=5, 1&解析: (1)设等比数列公比为g,依题有an>0.q>092aA=4α2+2α3,即axq3=2aiq^alq2,即 q2_q_2=Q,: •q=2、q=_\(舍) 又i? 3=2α12,艮卩al×4=2×α12,λai=2・・∖an=T6分 (2)b二2”二1 w~(2M,-l)(2rt-l)~2A,-Γ2λu-1 19・解析: (1)QFA丄平^ABCD9BC⊂^ABCD,/.BC丄PM 又BC丄VB/BIAP=A,AByAPU平面PABy: .BC丄平面PAB9 又AFU平面,∙∙∙AF丄BC・ ^PA=AB=∖,F是PB的中点,AAF丄PB, 又QPBCBC=B,PB,BCU平面PBC,二FF丄平面P3C. 设BE=X(OSXS3),则E(X丄0), TT14 WlMPl 而平面血)E的一个法向量为ZiP=(0,0,1).依题意得: IWJPl-3λ^ 12分 即_≤=至叵,得A-=I或χ=5(舍).故BE=∖. √I0+(3-x)214 20.解析: (1)由题意得,2X2列联表如下: 属于“追光族" 属于“观望者" 合计 女员工 2 8 10 男员工 10 8 18 合计 12 16 28 2分 Q=2sΛ7? XlIO)2=TT7≈3∙32<3.841,故没有95%的把握认为该公司员工属丁“追光族”与12×16×10x18135 “性别”有关;5分 (2)由 (1)知在样本里属于“追光族“的员工有12人.其中男MXlO人,女员工2人. C4C021014 所以? 可能的取值有0,2,4.P(<=4)=P(%=4且30戶苛=: 祐=看; P(⅞≡2)≡P(X=3Hy=I)=^=g=g;P(Ko)=P(X=2且Y=2)=普=盖诂9分 所以§的分布列为: ξ 0 2 4 P 1 H 16 33 14 33 所站的期望EeoXF2瘁+4煜岭12分 设直线的方程为y=Λx+mj联立X→疋=1得: 9x2-8≡+16w2-32=0. 442 又号I=夺(O,|)»輕0申 10分 12分 I^I=古J(XZ)J"2=$国」Frn-,do_AB=黑, .: SSAoB=IlJJ=√72-32w2=-i√18zn2-8m4. 又加G(0,£)・••ShAOBG(0,√2]. 22、解析: (1)V∕,(x)=αlnx一丄Λ∕l(e)=α--∙ Xe 又/(e)=0,・•・g(X)=(«--)(x-e).3分 e ⑵令F(X)=/(x)一g(x)=/(x)一Γ(e)(x一e), ΛFr(X)=∕t(x)-∕l(e)=alnx---α+-^(0,+∞)上单调递增,且F(β)=0, Xe ・•・当0VXVe时FcX)V0,F(X)单调递减,当x>e时F(X)〉0,F(X)单调递增5分 ∙∙∙F(X)>F(e)=O恒成立,Λ∕(x)>g(x)恒成立.6分 (3)当Q=I时,/(x)=(lnx-l)(x-l),则∕,(x)=lnx--,显然/©)在定义域内单调递增,而X f(I)=-IvO,∕,W=1-->O∙Λ存在Xoe(I^)•使∕,(⅞)=0. e ・;当x∈(O,XO)时,f(x) 当x∈(x0,+Co)时,/'(x)>0,/(X)单调递增8分 令/(x)=0解得X=I或£・由 (1) (2)可知y=/(x)在Go)处的切线方程为g(x)=(I-I)G-G),且e f(x)>g(x)恒成立,同理可得y=∕(x)在(1,0)处的切线方程为Λ(x)=-x+h 令H(X)=f(x)_h{x)=(InX—I)(X-I)_(_X+1)=(λ-1)1πx, 当兀>1时,x-l>OJnx>O,当OVXVl时,x-l ∙∙∙H(x)AO恒成立・10分 设函数y=fM在两个零点处的切线方程与直线y=m的交点的横坐标分别为λ√和花‘,不妨设xι<^2> 则Xl>x,,x2 e-1 ∙e∙Ix2—X]∣<∣λ2—x1,∣=W(IH—)+ —1>得证.12分 E-1
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