波的折射与反射Word文件下载.doc
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对于线路,因上的反行电压波,故
(也即)
在结点处只能有一个电压和电流值,故
于是得
(2-13)
(2-14)
将(2-14)化为下式
即(2-15)
将式(2-13)与(2-15)相加,得
故(2-16)
(2-17)
将代入式(2-13)可得
(2-18)
(2-19)
式中表示线路上的折射电压波与入射电压波的比值,称为电压折射系数,同理,称为电流折射系数。
表示线路上的反射电压波与的比值,称为电压反射系数,同理,称为电流反射系数。
折射系数的值永远是正确的,这说明折射电压波总是和入射电压波同极性的,当时,:
当时,,因此。
反射系数可正可负,当时候,时,当时,,因此。
同理可知,,。
折射系数与反射系数满足下列关系式
(2-20)
下面举几个简单的例子。
[例2-1]线路末端开路,沿线路有一无限长直角波向前传播,线路末端开路,相当于末端接有一条的线路,因此根据式(2-16)、(2-17)、(2-18)和(2-19),可得
即
这表明当到达末端时将发生折反射,反射电压波等于入射电压波,折射电压波即末端电压将上升一倍,末端电流为零,反射电压波将自末端返回传播,所到之处使电压上升一倍,电流降为零值。
反射电压波到达处的全部磁场能量将转变为电场能量,从而使电压上升一倍。
2.2.2几种特殊条件下的折反射波
1.线路末端开路()
此时,a=2,b=1。
线路末端电压,反射波电压;
线路末端电流i2q=0,反射波电流,如图2-6所示。
这一结果表明,由于线路末端发生电压波正的全反射和电流波负的全反射,线路末端的电压上升到入射电压的两倍;
随着反射波的逆向传播,所到之处线路电压也加倍,而由于电流波负的全反射,线路的电流下降到零。
图2-6线路末端开路时的折反射
线路开路末端处电压加倍、电流变零的现象也可以从能量关系来理解:
因为,,全部能量均反射回去,反射波返回后单位长度的总能量为入射波能量的两倍。
又由于入射波的电场能量与磁场能量相等,因此反射波返回后单位长度线路储存的总能量为。
因为反射波到达后线路电流为零,故磁场能量为零,全部磁场能量转化为电场能量,因此电场能量增加到原来的4倍,即电压增大到原来的2倍。
过电压波在开路末端的加倍升高对绝缘是很危险的,在考虑过电压防护措施时对此应给予充分的注意。
2.末端短路
此时,a=0,b=-1。
线路末端反射波电流,如图2-7所示。
这一结果表明,入射波u1q到达末端后,发生了负的全反射,负反射的结果使线路末端电压下降为零,并逐步向首端发展;
电流波i1q发生了正的全反射,线路末端的电流,即电流上升到原来的2倍,且逐步向首端发展。
图2-7线路末端短路时的折反射
线路末端短路时电流的增大也可以从能量的角度加以解释,显然这是电磁能从末端返回而且全部转化为磁能的结果。
3.末端接有电阻
此时,a=1,b=0。
线路末端反射波电流为零,如图2-8所示。
这一结果表明,入射波到达与线路波阻抗相同的负载时,没有发生反射现象,相当于线路末端接于另一波阻抗相同的线路(),也就是均匀线路的延伸。
在高压测量中,常在电缆末端接上和电缆波阻相等的匹配电阻来消除在电缆末端折、反射所引起的测量误差。
但从能量的角度看,两者是不同的。
当末端接电阻时,传播到末端的电磁能全部消耗在电阻R中;
而当末端接相同波阻抗的线路时,该线路上并不消耗能量。
图2-8末端接有电阻R=Z1时的折反射
【例2-2】直流电源合闸于空载线路的波过程。
如图2-9所示,线路长度为l,t=0时合闸于电压为U0的直流电源,求线路末端B点和线路中点C点电压随时间的变化。
解合闸后,从t=0开始,电源电压U0自线路首端A点向线路末端B点传播,传播速度为,自A点传播到B点的时间设为t,,设线路波阻抗为Z。
当0<
t<
t时,线路上只有前行的电压波和前行的电流波。
如图2-9(a)所示。
当t=t时,波到达开路的末端B点,电压波和电流波分别发生正全反射和负全反射,形成反行的电压波和电流波。
此反射波将于t=2t时到达A点。
当t≤t<
2t时,线路上各点电压由u1q和u1f叠加而成,电流由i1q和i1f叠加而成。
如图2-9(b)所示。
当t=2t时,反行波u1f到达线路的首端A点,迫使A点的电压上升为2U0。
但由电源边界条件所决定的A点电压又必须为U0。
因此反行波u1f到达A点的结果是使电源发出另一个幅值为一U0的前行波电压来保持A点的电压为U0,即在t=2t之后,有一新的前行电压波自A点向B点行进,同时产生新的前行电流波。
在2t≤t<
3t时,线路上各点的电压由u1q、u1f和u2q叠加而成,线路上各点的电流由i1q、i1f和i2q叠加而成,如图2-9(c)所示。
图2-9直流电源作用于末端开路的空载线路的波过程
当t=3t时,新的前行波到达B点,电压波和电流波分别发生正全反射和负全反射,形成新的反行电压波和电流波。
此反射波将于t=4t时到达A点。
当3t≤t<
4t时,线路上各点电压由u1q、u1f、u2q和u2f叠加而成,电流由i1q、i1f、i2q和i2f叠加而成。
如图2-9(d)所示。
当t=4t时,反行波u2f到达线路的首端A点,迫使A点的电压下降为0。
因此反行波u2f到达A点的结果是使电源发出另一个幅值为U0的前行波电压来保持A点的电压为U0,从而开始重复图2-9(a)所示的新的波过程。
图2-10空载线路末端和中点电压波形
如此反复往返传播,根据所有前行反行波叠加的结果,可以得到如图2-10所示线路末端B点电压和中间点C点的电压随时间变化的曲线。
【例2-3】空载带电线路合闸于末端匹配的电阻。
如图2-11所示,长度为l、波阻抗为Z的线路预先充电到电压U0,t=0时合闸于阻值为R的电阻,求电阻两端电压降随时间的变化。
解可以用波过程观点进行求解。
波在线路上的传播速度为。
在带电的空载线路上,可以看成存在两个带有相同电压、波长度为t=l/v、传播方向相反的波;
由于传播方向相反,因此线路上不存在电流。
设两个电压波为u1q和u1f,则,如图2-11(a)所示。
t=0时,u1q到达B点,由于,故B点处不发生反射,。
同时,u1f到达A点,由于线路在A点开路,故电压波发生正的全反射,形成反射波u2f,u2f将在t=t时到达B点,其尾部到达A点。
因此,当0≤t<t时,电阻上的压降由u1q导致,其值为;
线路上的电压由u1q、u1f和u2f叠加而成,如图2-11(b)所示。
当t=t时,u1q的尾部到达B点,u1q对R的作用结束;
u1f的尾部到达A点,线路上不再存在u1f;
u2f到达B点,同样在B点不发生反射,。
当t=2t时,u2f的尾部到达B点。
因此,当t≤t<2t时,电阻上的压降由u2f决定,仍为;
线路上的电压由u2f形成,如图2-11(c)所示。
当t=2t时,u2f的尾部到达B点,u2f对R的作用结束。
uR随时间的变化如图2-12所示,为一幅值为,宽度为2t的矩形波。
根据这一原理,可以用电缆做成星形线产生设定脉宽的方波,在脉冲功率系统中有广泛的应用。
图2-11带电线路合闸于末端接匹配电阻的波过程
图2-12空载带电线路合闸于电阻时的电阻电压波形
2.2.3等值集中参数定理(彼得逊法则)
前面的内容从分布参数线路上波传播的角度,分析了波的折射和反射的计算问题。
将代入式(2-15),得
(2-21)
联立求解方程式(2-13)和(2-21),消去u1f,得到另一个表示入射电压和电流间的关系式
(2-22)
不难看出,上式正好是图2-13(b)所示集中参数电路的电路方程。
由此可以得到一条重要的法则,要计算分布参数线路上节点的电压,可以应用图2-13所示的等值电路:
①线路波阻抗用数值相等的集中参数电阻代替;
②把线路入射电压波的两倍2u1q作为等值电压源。
这就是计算折射波u2q的等值电路法则,称之为彼得逊法则。
图2-13电压源的集中参数等值电路(戴维南等值电路)
利用这一法则,可以把分布参数电路中的波过程的许多问题,简化成我们所熟悉的集中参数电路的计算。
必须注意的是,彼得逊法则的使用是有一定的条件的。
首先它要求波沿分布参数的线路射入;
其次,和节点相连的线路必须是无穷长的。
如果节点A两端的线路为有限长的话,则以上等值电路只适用于线路端部的反射波尚未到达节点A的时间内。
在实际计算中,常常遇到电流源的情况(如雷电流)。
此时采用电流源形式的等值电路较为方便,如图2-14所示。
图2-14电流源的集中参数等值电路(诺顿等值电路)
【例2-4】如图2-15(a)所示,变电所母线上接有n条线路,每条线路的波阻抗均为Z。
当一条线路上落雷,电压u(t)入侵变电所,求母线上的电压。
解根据彼得逊法则,可得图2-15(a)的等值计算电路,如图2-15(b)所示。
母线上的电压u2(t)计算如下:
图2-15有多条出线时母线过电压的计算
可见,连接在母线上的线路越多,母线上的过电压越低,对变电所降低雷电过电压有利。
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- 折射 反射