第12节定积分的概念与性质Word文档下载推荐.docx
- 文档编号:8557166
- 上传时间:2023-05-11
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:281.14KB
第12节定积分的概念与性质Word文档下载推荐.docx
《第12节定积分的概念与性质Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第12节定积分的概念与性质Word文档下载推荐.docx(14页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
兀2V…VXVX〃=A,把区间[a»
]分成丹个小区间,各小区间的长度依次为g=一x—(/=1,2,…),在各小区间上任取一点
ZI
GW[心一1,X#J),作和S=〉:
/(£
•)Ax*f・
f=1
记;
I=max{△X],Ax2,・rAx”},
如果不论对[a,b]怎样的分法,也不论在小区间1*一,心]上
»
点<
•怎样的取法.若lim2f乜小XI存在,
X—►0■
我们称这个极限为函数/(兀)在区间1。
,〃]上的定积分,
记为•、K
”男
J£
(*)屯=1吧艺/(纟)iZ
\a,b]t积分区间
说明:
.b”
£
/(x)dx)Ar^
«
•!
fr■b
由定义知,数值L/(x)dx=J/(Z)dZ
即AiSt,/*Z(x)dx^一个决走于/•(x),«
A的数值.
2.可积的充分条件:
闭区间上的连续函数或有界且分段连续的函数可积(待证)
J/(x)dx=Uni^/(^pAv,
3.由定义:
(I)f/(x)dx=-{f(x)ax(有向性)nJ/(”)dx=o
•JI*•
(2)Jjdx=h-a(积分值=区间长).
例1利用定义计算定积分
解将[OJln等分,分点为匚=-
n
取右端点©
=—,(F=JL,2,…』)n
iin
S”=》/(©
)"
产工r-1
1V2=E
/-I
II
思考题
将和式极限:
表示成定积分.
dx=limS”=
思考题解答
I『真
=—Isinxdx•
71J°
13
三、定积分的性质
性质1(线性性质)
J尸*
)+h/\(x)]dx=kf/,{x)dx-紅fA(x)dx
••*aJa
汉语表述:
线性组合的积分二积分的线性组合.
性质2(有向性)
.ba
J/(x)dx=一丄/(x)dx(巳证)
性质3(区间可加性)
a,b=>
/(x)dx=jJ/(x)dx+/(x)dx
证明:
eVcV/>
——-_J/(x)dx=Jf(x)dx+J/(x)dx
J/(x)dx=J/(x)dx+£
/(x)dx
=>
J/(X)dx=J/(X)dx-£
/(X)dx
*向牲rh
====J/(X)dv+J/(X)dr
性质4(保号性)
b
/(X)>
0=>
L/(x)dx>
0(-般约定口<
b、
证由积分的定义与极限的保号性立证•
推论1(广义单调性)
f<
x}<
g(x)=>
f*/(X)dv<
fU)dr
J・JIt
证令//(x)=^(x)-/(x)即可・
推论1若/(x)Sg(x),XG[a^b],
」h
则f/(x)dxMfg(x)dx•
总义:
瓦①
17
JaJa
性质5(有界性,即估值定理)
X)dx<
A/(b・g•
/(X)eC[Ci,可,m<
f(X)<
M—>
"
Kb—a>
<
J
性质6(积分中值定理)
.b
/(X)€=>
3^g[<
z<
Al:
f/(x)dx=/(§
)(A-a}.
J<
r
证/(x)eC[a,b]3加Mj加M/(*)mM
b>
aa4tMM
—_>
Jy(X)dxmJMdx====A/Jdx==A/{b—a\即:
J"
/(x)dxMM(h-a),同理可证:
m(b-a)^J*/(x)dx.
m(b—a)Mf/(jf)dxMM(h-a).Ja
••・mSCf(x)dxVM,
b—a)u
由闭区间上连续函数的介值定理知,
1,
使/(^)=f/(x)dx,
b—a几
J
ft
/(x)dx=/(G(*-a).
<
f
几何意义:
可用矩形面积取代曲变形面积
19
积分中值公式的几何解释:
在区间上至少存在一个点使得以区间方]为底边,以曲线y=/(X)为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为/(§
)的一个矩形的面积.
一般称I/(x)dx为连续函数/(X)在la.b]
b-aJa
例1比较积分与J」n(l+”)肛的大小.
思路:
被积函数比大小.
解令/(X)=X-ln(l+X),
则/7x)=1-丄=X>
0,X0,
1+X1+X
于是/(工)单调增加,/./(x)>
/(«
)=»
X>
111(1+X),X>
0•
于是fxdx>
fln(l+x)dx・
J0Jo
2-2X
例2证明下列不等式:
一<
[=-
思路:
5J]XZ+
被积函数求最值.
X
/(小2r
X+1
即/(X)单调下降,
1_X*则/7x)=<
(),1<
X<
2
(厂+1)2
所以/nUn=/
(2)=二,/„«
x
3
即-<
八兀)<
丄,于是:
dx*
525J'
*2+12
ff
例3估计积分套
4
XcosX
厂(尢)=2
一sinXcosx(x-tanx)
V0,
X•
7t7C
/⑴在SQ上单调下降,
7C
M=/(-)=
兀
丁b—a=—
244
2nf7sinX■
2VI
1-vsinX■
•卫严
VI
2
例4设7*(X)可导,且lim/(X)=1,
X->
+<
XJ
g*x+23
求liiiif(sin一/(rW•
x->
+0O
nsJx/
解由积分中值定理矩有[兀,X十2],
…33
使Lrsin=^sin-/(^)(x+2-x).
limsin—/(/)rf/=2limgsin彳/(§
)
r—>
+ODJ*(+00g
=2lim3/(G=6.
例5设/(工)在[0,1]上可微,且满足/(!
)=2jjxf(x}^x,试证:
存在€(0,1),使/,(?
)=一上空・
§
化为罗尔定理(构造函数).
证设F(x)=xf(x).
F(l)=/(!
)=2j"
x/(x)dx=2j;
F(x)dx,
g)在[0,1]上连续,由积分中值定理,吩(0,-).使
F⑴二2j:
F(x)cU=2-■/'
(;
?
)=F(7),
即f
(1)=F(77),F'
(x)=/(xHxf(X).
在[tj,11±
对F(a:
)应用罗尔定理,
3歹e("
l)u(UJ),使F7^)=0.
即/(G+"
'
(G=o,
而歹>0,即有/'
(G=-上尹
证毕.
27
-/(r>
J"
(小2"
曲边梯形的面积的负值
几何意义:
它是介于X轴.函数/(X)的图形及两条
直线X=b之间的各部分面积的代数和.
在X轴上方的面积取正号!
在X轴下方的面
积取负号.
29
例2・利用定积分的几何意义,说明下列等式:
XX
J7sinxdx=0;
1・J7cosxdx=2J2cosxdx~y
2.「Jl-xQx=乞
Jo4
由1得:
偶函数在对称区间的积分等于0;
偶函数在对称区间的积分等于它在半区间积分的两倍口诀:
偶倍奇零
由2得:
L(4-(X一2)2dx=2兀・
1.定积分的性质
(注意估值性质、积分中值定理的应用)
2.典型问题
(1)估计积分值;
(2)不计算定积分比较积分大小.
*思考题
定积分性质中指出,若/(x),g(x)ma,6]上都可积,则/(-V)+g(x)或/(Eg(工)在[4,0]上也可积.这一性质之逆成立吗?
为什么?
由/(X)+g(x)或八X)g(«
r)在[a,0]上可积,不能断言/(x),g(x)在上都可积。
练习题
显然f(x)+g(x)和/(x)g(jr)在[0,11上可积,但f(x),g(x)在[0,1]上都不可积•
一、填空题:
1、如果积分区间[a」]被点分成[«
门与[<
:
力],则
定积分的可加性为1/(xMx=;
2、如果/(X)在上的最大值与最小值分别为
M与加,Wj:
/(x)必有如下估计式:
3、当U>
b时,我们规定必与厶的关
系是;
4、积分中值公式
[八xbir=八6)"
一a)MM巧的几何意义是
5、下列两积分的大小关系是:
(1)JX^dxJX^dx
(2)JInxdxf(Inx)^dx
(X+1)<
Zt
u
(3)£
e'
^dx
二、证明:
JkJ{x}dx=A:
Jf{x}dx(k是常数).
三、估计下列积分上巨口“cotxdx的值・
四、证明不等式*J:
厶+皿2VI.
六、用定积分定义和性质求极限:
1.lim(++.«
+一
"
-*•«
+1n+22n
2.limJ*sin"
xdx.
七、设/'
(X)及g(JC)在[M,方]上连续,证明;
1.
0,
若在[<
/,Z»
]_t/(x)2«
且Jf<
X}dx-0,则在S,/>
]-t/(x)■();
2.若在[a,/>
]_h,/(X)^(),且/'
(JT)不恒等于<
>
t则Jfixjdx>
05
3.若在[a,Z»
]_h/(x)g{x),且
Jf(x)dx=£
^(X)dlr,则在[a,b]_t/(x)■(x),
4、
5、
2、
练习题答案
J/(X+J/(x)dr;
in(h-a}Jf(X)dxSM{h-a}<
h;
JfixSdx=-£
fix}dxJ曲边梯形各部分面积的代数和等于/(百)与b-a为邻边的矩形面积;
(1)>
:
(2)>
;
(3)>
.
打•、$2
—I1Xarctanxdx—n;
9$3
1dx3
—SFWarcsin—
2Jo』4一2x-x'
+x'
5
练习:
P245习题六
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 12 积分 概念 性质