人教版数学七年级下册第九章93一元一次不等式的应用学案解析版文档格式.docx
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x
由于x为正整数
x至少为8.
要成为优胜者,至少要中靶8次。
例3.
一次知识竞赛共有15道题,竞赛规则是:
答对1题记8分,答错1题扣4分,不答记0分。
结果神箭队有2道题没答,飞艇队答了所有的题,两队的成绩都超过了90分,两队分别至少答对了几道题?
根据竞赛规则,用含未知数的式子表示出答对的分数,减去答错的分数,大于90,建立不等式。
设神箭队答对x题,则答错(15-2-x),即(13-x)题,由题意,得:
8x-4(13-x)
90
12x
142
x至少为12。
设飞艇队答对y道题,则答错(15-y)道题,由题意,得:
8y-4(15-y)
12y
150
y
由于y为正整数
y至少为13。
神箭队至少答对12道题,飞艇队至少答对13道题。
方案选择问题
方案选择问题在中考中占据比较重要的地位,经常与综合题相联系,出现在综合题的某一问中,是学生必须要熟练掌握的知识点。
某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆,其中轿车至少要购买3辆,轿车每辆7万元,面包车每辆4万元,公司可投入的购车款不超过55万元;
(1)符合公司要求的购买方案有几种?
请说明理由;
(2)如果每辆轿车的日租金为200元,每辆面包车的日租金为110元,假设新购买的这10辆车每日都可租出,要使这10辆车的日租金不低于1500元,那么应选择以上哪种购买方案?
(1)根据题意列出不等式,进行求解,确定购买方案;
(2)进行分类讨论,将每种方案的日租金求出,若日租金不低于1500元,即符合要求。
(1)设轿车要购买x辆,那么面包要购买(10-x)辆,由题意,得:
7x+4(10-x)
,x
由于x
3,则有:
x=3、4、5。
购买方案有三种:
方案一:
轿车3辆,面包车7辆;
方案二:
轿车4辆,面包车6辆;
方案三:
轿车5辆,面包车5辆。
(3)方案一的日租金为:
=1370(元);
方案二的日租金为:
=1460(元);
方案三的日租金为:
=1550(元)。
为保证日租金不低于1500元,应选择方案三。
某企业为了改善污水处理条件,决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台,其中每台的价格、月处理污水量如下表:
经预算,企业最多支出57万元购买污水处理设备,且要求设备月处理污水量不低于1490吨。
(1)企业有哪几种购买方案?
(2)哪种购买方案更省钱?
(1)设购买A型设备x台,则购买B型设备(8-x)台,根据“企业最多支出57万元购买污水处理设备,且要求设备月处理污水量不低于1490吨”列出不等式组,然后解出x的值即可。
(2)分别求出不同x值时的购买费用,比较即可得出答案。
(1)设购买A型设备x台,则B型设备(8-x)台,由题意得:
解得:
∵x是正整数∴x=3,4答:
有两种购买方案:
(1)买A型设备3台,B型设备5台;
(2)买A型设备4台,B型设备4台。
(2)当x=3时,3×
8+5×
6=54(万元)当x=4时,4×
8+4×
6=56(万元)答:
买A型设备3台,B型设备5台更省钱。
某商店5月1日举行促销优惠活动,当天到该商店购买商品有两种方案,方案一:
用168元购买会员卡成为会员后,凭会员卡购买商店内任何商品,一律按商品价格的8折优惠;
若不购买会员卡,则购买商店内任何商品,一律按商品价格的9.5折优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员。
(1)若小敏不购买会员卡,所购买商品的价格为120元时,实际应支付多少元?
(2)请帮小敏算一算,所购买商品的价格在什么范围内时,采用方案一更合算?
根据已知条件进行计算,用含x的代数式表示出两种方案的花费,然后建立不等式。
(1)120
0.95=114(元)
若小敏不购买会员卡,所购买商品的价格为120元时,实际应支付114元。
(2)设所购买商品的价格为x元,则方案一需花费0.8x+168(元);
方案二需花费0.95x元;
由题意,得:
0.8x+168<
0.95x
x>
1120
所购买商品的价格在1120元以上时,采用方案一更合算。
方案优化问题
方案优化问题是中考中常考的题型,分清数量关系,注意分类讨论,建立适当的不等关系,解决实际问题。
某社区计划购买甲、乙两种树苗共600棵,甲、乙两种树苗单价及成活率见下表:
种类
单价(元)
成活率
甲
60
88%
乙
80
96%
(1)若购买树苗资金不超过44000元,则最多可购买乙树苗多少棵?
(2)若希望这批树苗成活率不低于90%,并使购买树苗的费用最低,应如何选购树苗?
购买树苗的最低费用为多少?
(1)根据已知条件建立不等关系;
(2)由成活率不低于90%建立不等式,从而求出最低费用。
(1)设最多可购买乙树苗x棵,则购买甲树(
)棵
最多可购买乙树苗400棵。
(2)设可购买乙树苗x棵,由题意,得:
因此当x=150时,购买费用最低,即:
最低费用为:
60(600-x)+80x=20x+36000=39000(元)答:
当购买乙树苗150棵时费用最低,最低费用为39000元。
某商店出售茶壶和茶杯,茶壶每只定价20元,茶杯每只定价5元,为吸引顾客,该店制定了两种优惠办法让顾客选择:
①买一只茶壶赠一只茶杯;
②按总价的92%付款,某顾客需购买茶壶4只,茶杯若干只(不少于4只),讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种方法哪一种更省钱?
根据已知条件,用含未知数的式子表示出两种付款方式需要的钱数,然后分三种情况进行分析和计算,最终确定更省钱的方式。
设购买茶杯x只,
第一种购买方式需付款204+5(x-4)=(5x+60)(元);
第二种购买方式需付款(204+5x)92%=(4.6x+73.6(元);
因此分三种情况讨论:
(1)当付款一样多时,有:
5x+60=4.6x+73.6x=34
(2)当第一种方式付款大于第二种方式付款时,有:
5x+60>
4.6x+73.6x>
34
(3)当第一种方式付款小于第二种方式付款时,有:
5x+60<
4.6x+73.6x<
当x=34时,花钱同样多;
当x>
34时,第二种付款方式省钱;
当
时,第一种付款方式省钱。
利润问题
在利润问题中经常会用到售价,进价,利润,利润率之间的关系式,即利润=售价-进价;
售价=进价(1+利润率);
利润率=(售价-进价)进价;
售价=标价x折扣率;
等等,借助这些关系式建立不等关系,解决实际问题。
一件商品成本价是30元,如果按原价的八五折销售,至少可获得15%的利润.如果设该品的原价是x元,则列式( ).
A.30+30×
15%≤85%x
B.30+30×
15%≥85%x
C.30﹣30×
D.30﹣30×
【答案】A
根据进价+利润≤售价,列出方程即可.
由题意:
30+30×
15%≤85%x.故选A.
某电影院暑假向学生优惠开放,每张票2元。
另外,每场次还可以售出每张5元的普通票300张,如果要保持每场次票房收入不低于2000元,那么平均每场次至少应出售学生优惠票多少张?
根据优惠票和普通票的总收入不低于2000元,建立不等关系。
设平均每场次至少要出售学生优惠票x张,由题意,得:
2x+5×
300≥2000
x≥250
平均每场次至少应出售学生优惠票250张。
商场购进某种商品m件,每件按进价加价30元售出全部商品的65%,然后再降价
10%,这样每件仍可获利18元,又售出全部商品的25%。
(1)试求该商品的进价和第一次的售价;
(2)为了确保这批商品总的利润率不低于25%,剩余商品的售价应不低于多少元?
(1)设该商品的进价为x元,第一次的售价为(x+30)元,由题意,得:
(1-10%)(x+30)-x=18
街得x=90
x+30=120
该商品的进价为90元,第一次的售价为120元。
(2)设剩余商品的售价为y元,由题意,得:
(90+30)m
65%+(90+18)m
25%+(1-65%-25%)my
90(1+25%)m
y
剩余商品的售价应不低于75元。
(1)根据利润=售价-进价建立方程;
(2)利用售价=进价(1+利润率)建立不等关系。
最多最少问题
在不等式的应用中会涉及到最多最少问题,这类题目要分清至少,最多,不超过,不低于等的词语的含义,根据已知条件建立不等关系,从而解决实际问题。
某人要完成2.1千米的路程,并要在18分钟内到达,已知他每分钟走90米.若跑步每分钟可跑210米,问这人完成这段路程,至少要跑多少分钟?
设要跑x分钟,则列出的不等式为( ).
A.210x+90(18﹣x)≥2100
B.90x+210(18﹣x)≤2100
C.210x+90(18﹣x)≥2.1
D.210x+90(18﹣x)>2.1
由题意得:
210x+90(18﹣x)≥2100,故选A.
有大小两种货车,2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5t;
5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35t;
现在租用这两种货车共10辆,要求一次运输货物不低于30t,则大货车至少租辆.
4
设每辆大货车一次可以运货x吨、每辆小货车一次可以运货y吨,由题意,得
,解得:
.故每辆大货车一次可以运货4吨、每辆小货车一次可以运货2.5吨.设大货车租m辆,由题意,得4m+2.5(10﹣m)≥30,解得m≥3
,∵m为整数,∴m至少为4.答:
大货车至少租4辆.
某学校为学生安排宿舍,现有住房若干间,若每间5人,则还有14人安排不下,若每间7人,则有一间不足7人.问学校至少有几间房可以安排学生住宿?
可以安排住宿的学生有多少人?
设学校有x间房可以安排y名学生住宿,
∵若每间5人,则还有14人安排不下,
∴y=5x+14.
∵若每间7人,则有一间不足7人,
∴0<y﹣7(x﹣1)<7.
将y=5x+14代入上式得:
0<5x+14﹣7x+7<7,
7<x<10.5,
故学校至少有8间房可以安排学生住宿,可以安排住宿的学生有5×
8+14=54(人).
设学校有x间房可以安排y名学生住宿,根据题意得:
,求解即可.
当堂练习
单选题
练习1.
某次知识竞赛共有30道选择题,答对一题得10分,若答错或不答一道题,则扣3分,要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题?
若设答对x题,可得式子为( ).
A.10x﹣3(30﹣x)>70
B.10x﹣3(30﹣x)≤70
C.10x﹣3x≥70
D.10x﹣3(30﹣x)≥70
练习4.
解答题
某次个人象棋赛规定:
赢一局得2分,平一局得0分,负一局得反扣1分。
在12局比赛中,积分超过15分就可以晋升下一轮比赛,小王进入了下一轮比赛,而且在全部12轮比赛中,没有出现平局,问小王最多输多少局比赛?
练习2.
练习2:
某公园出售的一次性使用门票,每张10元,为了吸引更多游客,新近推出购买“个人年票”的售票活动(从购买日起,可供持票者使用一年).年票分A、B两类:
A类年票每张100元,持票者每次进入公园无需再购买门票;
B类年票每张50元,持票者进入公园时需再购买每次2元的门票。
某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时,购买A类年票最合算?
练习3.
练习3:
练习4:
某校计划购买一批篮球和足球,已知购买2个篮球和1个足球共需320元,购买3个篮球和2个足球共需540元.
(1)求每个篮球和每个足球的售价;
(2)如果学校计划购买这两种球共50个,总费用不超过5500元,那么最多可购买多少个足球?
练习5.
练习5:
某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动,如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满.已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个.
(1)求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数;
(2)由于最后参加活动的人数增加了30人,学校决定调整租车方案.在保持租用车辆总数不变的情况下,为将所有参加活动的师生装载完成,求租用小客车数量的最大值.
练习6.
练习6:
练习7.
练习7:
某公司为奖励在趣味运动会上取得好成绩的员工,计划购买甲、乙两种奖品共20件.其中甲种奖品每件40元,乙种奖品每件30元.
(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费了650元,求甲、乙两种奖品各购买了多少件?
(2)如果购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍,总花费不超过680元,求该公司有哪几种不同的购买方案?
练习8.
练习8:
江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.
(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?
(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?
请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.
练习9.
练习9:
威丽商场销售A,B两种商品,售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元;
售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元.
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元;
(2)由于需求量大,A、B两种商品很快售完,威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共34件.如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元,那么威丽商场至少需购进多少件A种商品?
练习10:
长春地铁正在紧张施工,现有大量沙石需要运输,某车队现有载重量为8吨的甲种卡车5辆,载重量为10吨的乙种卡车7辆,随着工程的进展,车队需要一次运输沙石165吨以上,为了完成任务,准备新增购这两种卡车共6辆(可以只增购一种),车队有多少种方案?
单选题:
DDAA
练习1:
设小王输掉的比赛最多是x局,那么赢了(12-x)局,而赢一局得2分,负一局扣1分,由此可以用x表示小王的积分为2(12-x)-x,又积分超过15分的就可以晋级,由此可以列出不等式解决问题。
设小王输了x局,则赢了(12-x)局,由题意,得:
2(12-x)-x>
15
x<
3
∵x为整数
∴x的最大值为2
小王最多输了2局。
根据已知条件建立不等式组,求出实际问题的解,这道题的难道不大。
设某游客一年中进入该公园x次,依题意,得不等式组:
解
(1)得:
解
(2)得:
某游客一年进入该公园超过25次时,购买A类年票合算。
(1)设每个篮球和每个足球的售价分别为x元,y元,根据题意得:
,则每个篮球和每个足球的售价分别为100元,120元;
(2)设足球购买a个,则篮球购买(50﹣a)个,根据题意得:
120a+100(50﹣a)≤5500,整理得:
20a≤500,解得:
a≤25,则最多可购买25个足球.
设每个篮球和每个足球的售价分别为x元,y元,根据题意列出方程组,求出方程组的解即可;
(2)设篮球购买a个,则足球购买(50﹣a)个,根据题意列出不等式,求出不等式的解集即可确定出最多购买的足球.
(1)设每辆小客车的乘客座位数是x个,大客车的乘客座位数是y个,根据题意可得:
,答:
每辆小客车的乘客座位数是18个,大客车的乘客座位数是35个;
(2)设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成,则18a+35(11﹣a)≥300+30,解得:
a≤3
,符合条件的a最大整数为3,答:
租用小客车数量的最大值为3.
(1)根据题意结合每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加一次大型公益活动,分别得出等式求出答案;
(2)根据
(1)中所求,进而利用总人数为300+30,进而得出不等式求出答案.
(1)设甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(20﹣x)件,根据题意得
40x+30(20﹣x)=650,
解得x=5,则20﹣x=15,
甲种奖品购买了5件,乙种奖品购买了15件.
(2)设甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(20﹣x)件,根据题意得
,解得
≤x≤8,
∵x为整数,∴x=7或x=8,
当x=7时,20﹣x=13;
当x=8时,20﹣x=12;
该公司有2种不同的购买方案:
甲种奖品购买了:
7件,乙种奖品购买了13件或甲种奖品购买了8件,乙种奖品购买了12件.
(1)设甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(20﹣x)件,利用购买甲、乙两种奖品共花费了650元列方程40x+30(20﹣x)=650,然后解方程求出x,再计算20﹣x即可;
(2)设甲种奖品购买了x件,乙种奖品购买了(20﹣x)件,利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的2倍,总花费不超过680元列不等式组
,然后解不等式组后确定x的整数值即可得到该公司的购买方案.
(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y公顷,根据题意得:
.
每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷,每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷.
(2)设大型收割机有m台,总费用为w元,则小型收割机有(10﹣m)台,根据题意得:
w=300×
2m+200×
2(10﹣m)=200m+4000.
∵2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,
∴
5≤m≤7,
∴有三种不同方案.
∵w=200m+4000中,200>0,
∴w值随m值的增大而增大,
∴当m=5时,总费用取最小值,最小值为5000元.
有三种方案,当大型收割机和小型收割机各5台时,总费用最低,最低费用为5000元.
(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y公顷,根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设大型收割机有m台,总费用为w元,则小型收割机有(10﹣m)台,根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用,即可得出w与m之间的函数关系式,由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元”,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,依此可找出各方案,再结合一次函数的性质即可解决最值问题.
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