北京市西城外国语学校初二上期中数学Word文档格式.docx
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有意义.
12.分解因式:
8m2n﹣6mn2+2mn= .
13.分解因式:
a2﹣
= .
14.分解因式:
b2﹣12b+36= .
15.如图:
已知AB=CD,使△ABO≌△CDO,还需添加一个条件,你添加的条件是 .(只需一个,不添加辅助线)
16.如图,将两根钢条AA′,BB′的中点O钉在一起,使AA′,BB′能绕点O自由转动,就做成一个测量工具,测A′B′的长即等于内槽宽AB,这种测量方法的依据是 .
17.约分:
= .
18.若关于x的二次三项式x2﹣kx﹣3因式分解为(x﹣1)(x+b),则k+b的值为 .
19.八年级
(1)班全体学生参加了学校举办的安全知识竞赛,如图是该班学生竞赛成绩的频数分布直方图(满分为100分,成绩均为整数),若将成绩不低于90分的评为优秀,则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是 .
20.观察下列各式:
22﹣02=4×
1
42﹣22=4×
3
62﹣42=4×
5
82﹣62=4×
7
(1)根据你发现的规律写出第n(n为正整数)个等式 ;
(2)如果一个正整数能表示成连续的两个偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.
在﹣5,28,2016,2018这四个数中,是“神秘数”的有:
.
三、作图题(共3分)
21.已知:
如图,△ABC.
求作:
一点P,使P在BC上,且点P到∠BAC的两边的距离相等.
(要求尺规作图,并保留作图痕迹,不要求写作法)
四、解答题(第22题12分,第23、24、25、27每题5分,第26题5分或6分,第28题4分,第29题题6分,共47分或48分)
22.把下列各式因式分解
(1)3x2﹣12y2
(2)(a+b)2﹣6c(a+b)+9c2
(3)x2﹣2x﹣8
(4)(m+n)2﹣4mn.
23.已知:
如图,E是BC上一点,AB=EC,AB∥CD,BC=CD.求证:
AC=ED.
24.已知:
AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于O,AC=BD,∠CAB=32°
.求∠DAB的度数.
25.如图,点O是直线l上一点,点A、B位于直线l的两侧,且∠AOB=90°
,OA=OB,分别过A、B两点作AC⊥l,交直线l于点C,BD⊥l,交直线l于点D.求证:
AC=OD.
26.已知:
如图,AB=DC,AD=CB,在DA、BC的延长线上各任取一点E,F,连接EF.
求证:
(1)AB∥CD.
(2)∠E=∠F.
27.望江中学为了了解学生平均每天“诵读经典”的时间,在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计,并将调查统计的结果分为:
每天诵读时间t≤20分钟的学生记为A类,20分钟<t≤40分钟的学生记为B类,40分钟<t≤60分钟的学生记为C类,t>60分钟的学生记为D类四种.将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)m= %,n= %,这次共抽查了 名学生进行调查统计;
(2)请补全上面的条形图;
(3)如果该校共有1200名学生,请你估计该校C类学生约有多少人?
28.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形(如图2).
(1)图2中的阴影部分的面积为 ;
(2)观察图2请你写出(a+b)2、(a﹣b)2、ab之间的等量关系是 ;
(3)根据
(2)中的结论,若x+y=7,xy=
,则x﹣y= ;
(4)实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.根据图3,写出一个因式分解的等式 .
29.已知:
如图所示,直线MA∥NB,∠MAB与∠NBA的平分线交于点C,过点C作一条直线l与两条直线MA,NB分别相交于点D,E.
(1)如图1所示,当直线l与直线MA垂直时,补全图形并猜想线段AD,BE,AB之间的数量关系(直接写出结论,不用证明);
(2)如图2所示,当直线l与直线MA不垂直且交点D,E都在AB的同侧时,补全图形并探究
(1)中的结论是否成立?
如果成立,请证明;
如果不成立,请说明理由;
(3)当直线l与直线MA不垂直且交点D,E在AB的异侧时,补全图形并探究
(1)中的结论是否仍然成立?
如果成立,请说明理由;
如果不成立,那么线段AD,BE,AB之间还存在某种数量关系吗?
如果存在,请直接写出它们之间的数量关系.
数学试题答案
1.
【考点】因式分解的意义.
【分析】根据因式分解的意义即可判断.
【解答】解:
因式分解是指将一个多项式化为几个整式的乘积,
故选(B)
2.
【考点】全面调查与抽样调查.
【分析】由普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似.
A、了解某电视台某次“爱的奉献”抗震救灾文艺晚会的收视率,采用抽样调查的方式,故A正确;
B、了解某渔场中青鱼的平均重量,无法普查,采用抽样调查,故B正确;
C、了解某型号联想电脑的使用寿命,采用抽样调查,故C错误;
D、了解一批汽车的刹车性能,采用全面调查,故D正确;
故选:
C.
3.
【考点】全等三角形的性质.
【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案.
∵两三角形全等,
∴∠2=68°
,∠3=52°
,
∴∠1=180°
﹣52°
﹣68°
=60°
故选B.
4.
【考点】全等三角形的判定.
【分析】欲使△ABE≌△ACD,已知AB=AC,可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件,逐一证明即可.
∵AB=AC,∠A为公共角,
A、如添加∠B=∠C,利用ASA即可证明△ABE≌△ACD;
B、如添BE=CD,因为SSA,不能证明△ABE≌△ACD,所以此选项不能作为添加的条件;
C、如添BD=CE,等量关系可得AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD;
D、如添AD=AE,利用SAS即可证明△ABE≌△ACD.
B.
5.
【考点】分式的基本性质.
【分析】根据分式的基本性质依次进行判断即可,注意乘除一个数或代数式时要保证不为0.
A、当c≠0时,
才成立,所以选项A不正确;
B、
,所以选项B不正确;
C、当a=b时,
才成立,所以选项C不正确;
D、∵a是分母,
∴a≠0,
∴
所以选项D正确;
故选D.
6.
【考点】完全平方式.
【分析】根据完全平方式的结构即可求出答案.
由题意可知:
m=±
8,
故选(D)
7.
【考点】角平分线的性质.
【分析】过E作EEF⊥BC于F,根据角平分线性质得出EF=DE=3,根据三角形面积公式求出即可.
过E作EEF⊥BC于F,
∵CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,
∴EF=DE=3,
∵BC=10,
∴△BCE的面积为
=15,
故选C.
8.
【考点】全等三角形的判定与性质;
三角形三边关系.
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,即可求解.
如图所示,AB=4,AC=6,延长AD至E,使AD=DE,连接BE、EC,设AD=x,
在△BDE与△CDA中,
∴△BDE≌△CDA(SAS),
∴BE=AC=6,AE=2x,
在△ABE中,BE﹣AB<AE<AB+BE,即6﹣4<2x<6+4,
∴1<x<5.
故选A.
9.
【考点】条形统计图;
总体、个体、样本、样本容量;
用样本估计总体;
扇形统计图.
【分析】根据条形统计图和扇形统计图提供的数据分别列式计算,再对每一项进行分析即可.
A、样本容量是:
=200,故本选项正确;
B、样本中C等所占百分比是:
×
100%=10%,故本选项正确;
C、D等级所在扇形的圆心角为:
÷
200×
360=18°
,故本选项错误;
D、估计全校学生成绩为A等大约有:
1500×
60%=900(人),故本选项正确;
10.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】先证明△ABD与△CBD全等,再证明△AOD与△COD全等即可判断.
在△ABD与△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SSS),
故③正确;
∴∠ADB=∠CDB,
在△AOD与△COD中,
∴△AOD≌△COD(SAS),
∴∠AOD=∠COD=90°
,AO=OC,
∴AC⊥DB,
故①②正确;
故选D
11.
【考点】分式有意义的条件.
【分析】根据分式有意义的条件可得y﹣2≠0,再解即可.
由题意得:
y﹣2≠0,
解得:
y≠2,
故答案为:
≠2.
12.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用.
【分析】原式提取公因式即可得到结果.
原式=2mn(4m﹣3n+1),
2mn(4m﹣3n+1)
13.
【考点】因式分解﹣运用公式法.
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
原式=(a+
)(a﹣
),
(a+)(a﹣
)
14.
【分析】原式利用完全平方公式分解即可.
原式=(b﹣6)2,
(b﹣6)2
15.
【分析】由图形可知∠AOB=∠COD,结合条件,根据全等三角形的判定方法填写答案即可.
∵AB=CD,且∠AOB=∠COD,
∴当∠B=∠D或∠A=∠C时,满足AAS,可证明△ABO≌△CDO,
∠A=∠C(∠B=∠D).
16.
【考点】全等三角形的应用.
【分析】由O是AA′、BB′的中点,可得AO=A′O,BO=B′O,再有∠AOA′=∠BOB′,可以根据全等三角形的判定方法SAS,判定△OAB≌△OA′B′,根据全等三角形的性质即可得到结论.
∵O是AA′、BB′的中点,
∴AO=A′O,BO=B′O,
在△OAB和△OA′B′中
∴△OAB≌△OA′B′(SAS),
∴AB=A′B′,
故两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等.
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等.
17.
【考点】约分.
【分析】首先把分子分母分解因式,然后约去公因式即可.
原式=
=
.
18.
【考点】因式分解﹣十字相乘法等.
【分析】将因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算,合并后根据多项式相等的条件求出k与b的值,即可求出k+b的值.
x2﹣kx﹣3=(x﹣1)(x+b)=x2+(b﹣1)x﹣b,
∴k=1﹣b,b=3,
∴k=﹣2,
则k+b=﹣2+3=1.
故答案为1.
19.
【考点】频数(率)分布直方图.
【分析】首先求得总人数,确定优秀的人数,即可求得百分比.
总人数是:
5+10+20+15=50(人),优秀的人数是:
15人,
则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是:
100%=30%.
故答案是:
30%.
20.
【考点】平方差公式.
【分析】
(1)观察已知等式得到规律,写出即可;
(2)利用“神秘数”定义判断即可.
(1)根据题意得:
第n(n为正整数)个等式为(2n)2﹣(2n﹣2)2=4(2n﹣1);
(2)根据“神秘数”定义得:
28=82﹣62,故“神秘数”是28.
(1)(2n)2﹣(2n﹣2)2=4(2n﹣1);
(2)28
21.
【考点】作图—基本作图;
角平分线的性质.
【分析】作∠BAC的平分线,交BC于点P,则点P即为所求点.
如图,点P为所求.
22.
【考点】因式分解﹣十字相乘法等;
提公因式法与公式法的综合运用.
(1)原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可;
(2)原式利用完全平方公式分解即可;
(3)原式利用十字相乘法分解即可;
(4)原式整理后,利用完全平方公式分解即可.
(1)原式=3(x2﹣4y2)=3(x+2y)(x﹣2y);
(2)原式=(a+b﹣3c)2;
(3)原式=(x﹣4)(x+2);
(4)原式=m2+2mn+n2﹣4mn=m2﹣2mn+n2=(m﹣n)2.
23.
【分析】根据两直线平行,内错角相等可得∠B=∠ECD,然后利用“边角边”证明△ABC和△ECD全等,再根据全等三角形对应边相等即可得证.
【解答】证明:
∵AB∥CD,
∴∠B=∠DCE.
在△ABC和△ECD中,
∴△ABC≌△ECD(SAS).
∴AC=ED.
24.
【分析】根据全等三角形的判定可得Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),即可求得∠DAB的度数.
∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠C=∠D=90°
∴在Rt△ABC和Rt△BAD中,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),
∴∠CAB=∠DBA,
∵∠CAB=32°
∴∠DBA=32°
在Rt△BAD中,∠DAB=90°
﹣∠DBA,
∴∠DAB=90°
﹣32°
=58°
25.
【分析】根据同角的余角相等求出∠A=∠BOD,然后利用“角角边”证明△AOC和△OBD全等,根据全等三角形对应边相等证明即可.
∵∠AOB=90°
∴∠AOC+∠BOD=90°
∵AC⊥l,BD⊥l,
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠A+∠AOC=90°
∴∠A=∠BOD,
在△AOC和△OBD中,
∴△AOC≌△OBD(AAS),
∴AC=OD.
26.
(1)连接BD,根据全等三角形的性质得到∠3=∠4,由平行线的判定即可得到结论;
(2)证明:
连接BD,根据全等三角形的性质得到∠1=∠2,根据平行线的性质即可得到结论.
(1)连接BD,
在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS),
∴∠3=∠4,
∴AB∥CD;
连接BD,
∴∠1=∠2,
∴AD∥BC,
∴∠E=∠F.
27.
(1)根据条形统计图和扇形统计图可以求得调查的学生数和m、n的值;
(2)根据
(1)和扇形统计图可以求得C类学生数,从而可以将条形统计图补充完整;
(3)根据扇形统计图可以求得该校C类学生的人数.
(1)由题意可得,
这次调查的学生有:
20÷
40%=50(人),
m=13÷
50×
100%=26%,n=7÷
100%=14%,
26,14,50;
(2)由题意可得,
C类的学生数为:
20%=10,
补全的条形统计图,如右图所示,
(3)1200×
20%=240(人),
即该校C类学生约有240人.
28.
【考点】完全平方公式的几何背景;
因式分解的应用.
(1)阴影部分为边长为(b﹣a)的正方形,然后根据正方形的面积公式求解;
(2)在图2中,大正方形有小正方形和4个矩形组成,则(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab;
(3)由
(2)的结论得到(x+y)2﹣(x﹣y)2=4xy,再把x+y=7,x•y=
得到(x﹣y)2=4,然后利用平方根的定义求解;
(4)观察图形得到边长为(a+b)与(3a+b)的矩形由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成,则有3a2+4ab+b2=(a+b)•(3a+b).
(1)阴影部分为边长为(b﹣a)的正方形,所以阴影部分的面积(b﹣a)2,
(b﹣a)2;
(2)图2中,用边长为a+b的正方形的面积减去边长为b﹣a的正方形等于4个长宽分别a、b的矩形面积,
所以(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab,
(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab;
(3)∵(x+y)2﹣(x﹣y)2=4xy,
而x+y=7,x•y=
∴72﹣(x﹣y)2=4×
∴(x﹣y)2=4,
∴x﹣y=±
2,
±
2;
(4)边长为(a+b)与(3a+b)的矩形面积为(a+b)(3a+b),它由3个边长为a的正方形、4个边长为a、b的矩形和一个边长为b的正方形组成,
∴3a2+4ab+b2=(a+b)•(3a+b),
3a2+4ab+b2=(a+b)•(3a+b).
29.
【考点】三角形综合题.
(1)如图1中,结论:
AD+BE=AB.作CH⊥AB于H,只要证明△ACD≌△ACH,△BCH≌△BCE即可.
(2)如图2中,
(1)中所得结论是否仍然成立.在线段AB上截取AF=AD,连接FC,只要证明△ADC≌△AFC(SAS),△CBF≌△CBE(AAS)即可解决问题.
(3)不成立.如图3中,结论:
AD﹣BE=AB.延长BC交AM于F,只要证明△ABF是等腰三角形,△CDF≌△CEB,即可解决问题.如图4中,结论:
BE﹣AD=AB,证明方法类似.
(1)结论:
AD+BE=AB.补全图形(如图1)
理由:
∵CD⊥AM,CH⊥AB,
∴∠ADC=∠CHA=90°
在△ACD和△ACH中,
∴△ACD≌△ACH(AAS),
∴AD=AH,
同理可证△BCH≌△BCE,
∴BH=BE,
∴AD+BE=AH+BH=AB.
(2)
(1)中所得结论是否仍然成立.
证明:
如图2中,在线段AB上截取AF=AD,连接FC.
∵AC,BC分别平分∠MAB,∠NBA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
在△ADC和△AFC中,
∴△ADC≌△AFC(SAS).
∴∠ADC=∠AFC,
∵MA∥NB,
∴∠ADC+∠6=180°
又∵∠5+∠AFC=180°
∴∠5=∠6.
在△CBF和△CBE中,
∴△CBF≌△CBE(AAS),
∴BF=BE
∵AF+BF=AB,
∴AD+BE=AB.
(3)不成立.
如图3中,结论:
AD﹣BE=AB.
延长BC交AM于F.
∵AD∥BN,
∴∠4=∠AFB=∠3,∠FDC=∠CEB,
∴AF=AB,
∵∠1=∠2,
∴AC⊥BF,CF=BC,
在△CDF和△CEB中,
∴△CDF≌△CEB,
∴DF=BE,
∴AD﹣BE=AD=AF=AF=AB,
∴AD=BE=AB.
如图4中,结论:
BE﹣AD=AB.(证明方法类似图3情形).
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