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其中正确的个数为()
A.0B.1C.2D.3
y
12.如图,已知两点A(-4,0),B(0,3),求下列的关系。
B
x
O
A
13.正方形ABCD中,E,F,G,H分别是AD,BC,AB,DC的中点,EF,GH相交于点O,将正方形ABCD分成四个单位正方形(边长为1个单位长度)。
以各点为端点的所有向量中,与平行的向量有哪些?
其中单位向量有哪些?
14.如图,E,F,M,N分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,求证:
N
D
E
M
C
F
15.已知,若<
ABC=90
16.如果在一个边长为5的正中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为__________.
17.O为内一点,且,则O是的()
A.重心B.内心C.外心D.垂心
18.在四边形ABCD中,若//且,则四边形ABCD的形状是____________.
19.四边形ABCD是边长为3的正方形,把各边三等分后,连接相应分点,共有16个交点,,从中任意选取2个交点组成向量,则与平行且长度为的向量的个数为__________.
20.如图,四边形ABCD中,,M,N分别是BC,AD上的点,且.求证:
21.一辆汽车从A点出发,向西行驶了100千米到达B点,然后又改变方向向北偏西40方向行驶了200千米到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D点。
(1)作出向量;
(2)求.
22.已知飞机从甲地沿北偏东30的方向飞行2000km到达乙地,再从乙地沿南偏东30方向飞行2000千米到达丙地,再从丙地沿西南方向飞行千米到达丁地,则丁地在甲地什么方向?
丁地距甲地多远?
23.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,O是两对角线AC,BD的交点,设点集M={A,B,C,D,O},向量集合T={},求集合T中元素的个数。
24.下列8个命题:
(1)零向量没有方向
(2)若,则
(3)单位向量都相等
(4)向量就是有向线段
(5)两相等下列若其起点相同,则终点也相同
(6)若,则
(7)若//,//,则//
(8)若四边形ABCD是平行四边形,则
其中正确的命题的个数是()
25.下列各量中不是向量的是()
A.浮力B.风速C.位移D.密度
26.若为任一非零向量,是模为1的向量,下列各式:
(1)
(2)//(3)(4)
其中正确的是()
A.
(1)(4)B.(3)C.
(1)
(2)(3)D.
(2)(3)
27.如图,在O中,向量是()
A.共同起点的向量B.共线向量
C.模相等的向量D.相等的向量
(28)(27)
28.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AD,BC的中点,则在以A,B,C,D四点中的任意两点为始点与终点的所有向量中,与向量方向相反的向量为____________.
29.若向量与是两个不平行的向量,//且//,则等于()
A.0B.C.D.不存在这样的向量
30.如图,四边形ABCD为正方形,为等腰直角三角形,则
(1)图中与共线的向量有_______________;
(2)图中与相等的向量有________________;
(3)图中与模相等的向量有______________;
(4)图中与相等的向量有________________.
(30)(31)(32)
31.如图,的内角C的角平分线CD角AB于D,的模为2,的模为3,的模为1,那么的模为_________.
32.如图,梯形ABCD为等腰梯形,则两腰上的向量的关系是______________.
33.如图,的三边均不相等,E,F,D分别是边AC,AB,BC的中点,
(1)图中与共线的向量_____________________
(2)图中与的模相等的向量________________
(3)图中与相等的向量______________
34.两人分别从A村出发,其中一人沿北偏东60方向行走了1km到了B村,另一人方向行走了km到了C村,问B、C两村相距多远?
B村在C村的什么方向上?
2.2平面向量的线性运算
1.在四边形ABCD中,给出下列四个结论,其中一定正确的是()
A.B.
C.D.
2.设P,Q是线段AB的三等分点,若则
3.设P是所在平面内的一点,,则()
4.向量
5.非零向量与是相反向量,则下列不正确的是()
C.D.方向相反
6.已知设,那么实数的值是_____________.
7.在中,D为BC的中点,用表示向量
8.计算:
(1)(-7)×
6
9.已知两个向量不共线,如果,问是否存在非零实数
10.化简:
11.若向量
12.若非零向量,则()
13.
14.在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是()
15.化简:
(1)
16.化简:
(4)
17.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若
18.已知中,点D在BC边上,且
19.下列四式不能化简为的是()
20.已知A,B,C三点共线,且
21.在正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么
A.
B.
C.
D.
22.在中,已知D是AB上一点,若
23.已知非零向量
A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D
24.已知向量不共线,,,判断
25.已知两个非零向量不共线,如果.求证:
A,B,D三点共线。
26.已知向量满足,求
27.已知向量//
28.若,,,求k为何值时,A,B,D三点共线?
29.已知两个非零向量不共线,则当k=________时,
30.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足求证:
A,B,C三点共线,并求的值。
31.已知,求的取值范围。
32.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,则点P的轨迹所在的直线一定通过的()
A.外心B.内心C.重心D.垂心
33.在矩形ABCD中,若AB=2,BC=1,则
34.在边长为1的正方形ABCD中,等于()
A.0B.1C.D.3
35.在长方形ABCD中,设,则
36.若
37.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足,
,则P的轨迹一定通过的()
38.已知M是的重心,设,用
39.如图,已知中,D,E分别是边AB,AC上的点,并求AD=,AE=AC,,求证:
DE//BC且DE=BC。
40.如图,已知
B’
A’
41.用向量的方法证明:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
42.正六边形ABCDEF中,
A.0B.C.D.
43.在
A.0B.C.任一向量D.与三角形形状有关
44.已知O是
45.在中,点D在AB上,CD平分<
ACB,若,则
46.已知满足则m为()
A.2B.3C.4D.5
47.已知向量//,那么()
A.k=1且和同向B.k=1且与反向
C.k=-1且与同向D.k=-1且反向
48.如图,在
(48)(49)
49.如图,在
50.将45的30
A.x=,y=1B.x=1+
C.x=2,y=D.x=
51.设O为的内心,当AB=AC=5,BC=8时,,则的值为()
52.已知是不共线的两个向量,,,则A,B,C三点共线的充要条件是()
A.B.
53.向量,则的取值范围是__________________.
54.等于()
A.B.C.D.
55.平面上有三点A,B,C,设m=,若m,n的长度恰好相等,则有()
A.A,B,C三点必在同一条直线上B.必为等腰三角形且<
B为顶角
C.必为直角三角形且<
B=90D.必为等腰直角三角形
56.为非零向量,且,则()
A.//,且与B.是共线向量
C.D.无论什么关系均可
57.判断向量是否共线:
(2)(为非零且不共线向量)
(3)(为非零且不共线向量)
58.设是不共线的两个向量,下列四组向量:
(1)
(2)
(3)(4)
其中共线的组数为()
59.在中,O为外心,P是平面内一点,且满足,则P是的()
60.在所在平面上有一点P,满足,则与的面积比是_________.
61.任意四边形ABCD的边AD,BC的中点分别为E,F,求证:
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
1.如图,已知,求作向量
2.在等边三角形ABC中,向量与向量的夹角为_____,E为BC的中点,则向量与的夹角为________.
3.在平面直角坐标系中,两点A,B的坐标分别为(-1,2),(3,-4),则向量=________.
4.已知,则点B的坐标是()
A.(1,1)B.(5,5)C.(1,5)D.(1,3)
5.已知,满足,其中,则
6.已知四点A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3),试以,为基底表示
7.已知,求:
8.已知向量,且//,则tan等于()
9.已知,若与平行,则k=___________.
10.已知A(-2,1),B(1,3),求线段的中点M和三等分点P、Q的坐标。
11.如果
A.若实数
B.空间内任一向量都可以表示为,其中
C.
D.对应平面
12.设是平面内两个向量,则有()
A.一定平行
B.的模一定相等
C.对于平面内任一向量,都有()
D.若都有()
13.若
A.一定共线B.不一定共线
C.一定垂直D.中至少有一个为
14.如图,线段AB,CD互相平分,则
C.
G
15.在中,
来
表示向量
16.若求与的夹角。
17.已知平面向量,则向量
A.(2,1)B.(-2,1)C.(1,2)D.(-1,2)
18.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且,求M,N的坐标。
19.如图,在中,点M是AB的中点,且相交于点E,设,,试用基底表示向量.
20.已知两非零向量的夹角为80,试求下列向量的夹角:
21.已知点A,B,C的坐标分别为A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),求向量的坐标。
22.若向量则与共线的向量可以是()
A.()B.()
C.()D.()
23.已知O是内一点,<
AOB=150,设,且,
,试用
24.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),,求证:
//
25.如图,在平面直角坐标系中,<
OAB=,,求B,C的坐标。
26.已知A(2,3),B(-1,5),,,求点C,D的坐标。
27.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB//DC,AD//BC,已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为_____________.
28.已知向量是否能以向量为表示平面内所有向量的一组基底?
若能,试将向量用这组基底表示出来;
若不恩能够,请说明理由。
29.判断下列向量是否平行:
30.已知证明:
A,B,C三点共线
31.已知向量若,求x,y的值。
32.已知平面向量//,求实数k的值。
33.已知两点P1(3,2),P2(-8,3),求点P()分所成的比及y的值。
34.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),那么与是否共线?
线段AB与线段AC是否共线?
35.已知且a+b=2,试证明A,B,C三点共线。
36.已知向量,若,求x的值。
37.已知A(2,3),B(0,1),C(3,0),点D,E分别在AB,AC上,DE//BC,且DE平分的面积,求点D的坐标。
38.设xR,向量若//,则实数x等于()
A.2B.-2C.2或-2D.
39.已知向量若与共线,则等于()
A.B.C.-2D.2
40.已知向量若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是________________.
41.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),且,试问:
(1)t为何值时,P在X轴上?
P在y轴上?
P在第二象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?
若能求出相应的t值;
若不能,请说明理由。
42.已知向量的对应关系用v=f(u)表示
(1)设求下列f()与f()的坐标
(2)求使f()=(p,q)(p,q为常数)的向量
(3)证明:
对任意的向量及常数m,n恒有f(m+n)=mf()+nf()
43.已知点A(1,-1),B(-4,5),点C在直线AB上,且满足,求C的坐标
44.已知,在下列情况下,求点P分有向线段所成的必及点P的坐标:
(1)点P在上,且;
(2)点P在的延长线上,且
(3)点P在的延长线上,且
45.已知向量,问是否存在实数x,y,z,同时满足下列两个条件:
(1)
(2)x+y+z=1
46.已知向量定义“*”的意义为.则下列命题:
(1)若
(2)(3)
其中正确的是____________.(只填序号)
47.若向量等于()
48.已知向量若则k=______________.
49.已知向量若为实数,()//,则
A.B.C.1D.2
50.
51.若
A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)
52.在平行四边形ABCD中,若,则
53.已知A(3,4),B(-5,5),且,若,则x的值等于()
A.1或-5B.1C.-5D.-1或5
54.设,则p,q的值是()
A.p=4,q=1B.p=1,q=4C.p=0,q=4D.p=1,q=-4
55.已知且//,则x的值为()
56.已知两个向量若//,则x的值是______________.
57.设O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则的值是______________.
58.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()
59.已知向量
A.-2,1B.1,-2C.2,-1D.-1,2
60.已知点A(-1,-5)和向量,若,则点B的坐标为()
A.(-7,-14)B.(5,4)C.(-14,-7)D.(4,5)
61.已知A,B,C三点的坐标分别为(2,-4),(0,6),(-8,10),则,
62.在菱形ABCD中,已知<
BAD=60,则与的夹角是______.与的夹角是_________.
63.已知向量若//,则m=_____________.
64.已知向量//,求实数x的值。
65.若已知向量在基底则在另一组基底,下的坐标为()
A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)
66.已知平面向量且//,则等于()
A.(-5,-10)B.(-4,-8)C.(-3,-6)D.(-2,-4)
67.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足其中则点C的轨迹方程是()
A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5
C.2x-y=0D.x+2y-5=0
68.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使得
69.已知当k为何值时,
70.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若
2.4平面向量的数量积
1.在中,已知OA=4,OB=2,点P是AB的垂直平分线L上的任一点,则
A.6B.-6C.12D.-12
2.已知向量和向量的夹角是30,,则向量的数量积
3.已知向量
4.已知
(1)//
A.1B.2C.3D.4
5.已知向量,则
6.向量,则向量的夹角大小为_________.
7.已知.
8.若向量则等于_______________.
9.已知A(-3,4),B(5,-2),则
10.设向量,则向量与的夹角为_________.
11.在平面直角坐标系中,A(1,-2),B(-3,-4)O为坐标原点。
(1)求
(2)若点P在直线AB上,且,求
12.设
14.已知当
(1)//
(2)(3)的夹角为60,分别求的值。
15.已知向量同向,,
(1)求向量
(2)若
16.在Rt中,<
C=90,AC=4,则等于()
A.-16B.-8C.8D.16
17.正三角形ABC的边长为1,设,那么的值为()
18.若平面上三点A,B,C满足则的值等于_____________.
19.设
A.(-15,12)B.0C.-3D.-11
20.已知若存在向量,使得求向量的坐标。
21.若非零向量
A.30B.60C.120D.150
22.若向量则的夹角等于()
23.已知
A.37B.13C.D.
24.若向量则
25.已知为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()
A.15B.C.14D.16
26.若的夹角为()
27.已知
28.已知,则的夹角为()
29.已知平面向量且,则实数x的值为()
A.9B.1C.-1D.-9
30.若
31.若向量则
32.已知向量
A.B.C.D.(0,2)
33.若
34.已知向量
35.设两个向量满足与的夹角为钝角,求实数t的取值范围。
36.在中,且的一个内角为直角,求k的值。
37.求证:
的三条高交于一点。
38.在中,若则一定是()
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
39.的三边长为a,b,c,以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径,判断P,Q在什么位置时,有最大值?
40.求函数的最小值。
41.平面向量若存在不同时为0的实数k和t,使得,,且,试求函数关系式k=f(t)
42.已知中,,若则的形状为()
A.锐角三角形B.等边三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
43.在四边形ABCD中,试确定四边形ABCD的形状。
44.在Rt中,已知<
CAB=90,BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,则的夹角取何值时,
45.在中,O为中线AM上一动点,若AM=2,则的最小值是_____________.
46.在中,D为BC边上一点,AD⊥AB,
A.2B.C.D.
47.在边长为1的正三角形ABC中,设
48.求函数f(x)=3x+2+4的最大值。
49.求函数的最小值以及y取得最小值时x的值。
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