竞赛第二讲一般物体的平衡答案Word格式.docx
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(1)10N
(2)10N30N]
解:
(1)取球与斜面的接触点为转轴:
(2)取球心为转轴得,f=T=10N;
取C点为转轴:
f(R•RCOS370)_NRsin37°
=0,得N=30N.
3.—个半径为r的均匀球体靠在竖直墙边,球跟墙面和水平地面间的静摩为卩,如果在球上加一个竖直向下的力F,如图所示•问;
力F离球心的离s为多大,才能使球做逆时针转动?
[解]当球开始转动时,仁f2达到最大静摩擦
擦因数都
水平的距
—2
N2-f1
分别以球心和球与水平地接触点为轴列力矩平衡方程.Fs=f1rf2r
(fi二-iNi
因f1,f2为最大静摩擦:
f»
N:
将以上方程联立可得:
s二
(FG)」(1」)
F(1胪)
4.如图所示,均匀杆的A端用铰链与墙连接,杆可绕A点自由转动,杆的另一端放在长方形木块上,不计木块
与地之间的摩擦力,木块不受其它力作用时,木块对AB杆的弹力为10N将木块向左拉出时,木块对杆的弹
力为9N那么将木块向右拉出时,木块对杆的弹力是多少?
(答案:
11.25N
解:
木块静止时弹力为10N可得杆重G=20N
向左拉时:
NLcos+
NiLsin=G^cos,或N
2
1
sin=_GCos-Ncos
向右拉时:
NLcos
N2Lsin+GLcos,或N
sin=Ncos-1Gcos
两式相比得Nr氏,得阻11.25"
5•有一轻质木板AB长为LA端用铰链固定在竖直墙壁上,另一端用水
平轻绳BC拉住.板上依次放着1、2、3三上圆柱体,半径均为r,重均为
G木板与墙的夹角为(如图所示,一切摩擦均不计,求BC绳的张力.[答案:
丁普(匸加点)]解:
此题的解法很多,同学们可体会到取不同的研究对象,问题的难易程度不同.
解法1对圆柱体一个一个分析,分别计算出圆柱体的弹力,再对木板分析,有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦.
解法2:
把三个球作为整体,可求出板对三个球的弹力,再对板有力矩平衡求出BC绳的张力.但弹力的力臂比较难求.
解法3:
先对三个球分析,受墙壁的弹力N=3Gcot.
再把三个圆柱体和木板合为一整体,此整体受到墙壁的弹力N,BC绳的拉力T,重力3GA点的作用力NN对A点的力矩为零).
对A点,有力矩平衡TAC二N1AD3G(r2rsinr)
式中AD二r/tan,AC二Leosn
有上述四式可行一型(11细)
L1—cos日cos0
6•如图所示,三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。
将C柱体放上去之前,A、B两柱体接触,但
无挤压。
假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为卩o,柱体与柱体之间的动摩擦因数为卩。
若系统处于平
衡状态,卩0和卩必须满足什么条件?
分析和解:
这是一个物体系的平衡问题,因为AB、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡,所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。
设每个圆柱的重力均为G,首先隔离C球,受力分析如
图1一7所示,由刀F(y=0可得
31
2(N1fj=G①
22
再隔留A球,受力分析如图1一8所示,由刀FAy=0得
1仃-N2G=0②
由刀Fa=0得
=f2R
由以上四式可得
Ni=1G,N2=3G
而f2乞%N2,fl乞JNl
其两端下架在一只小突起A的质点放
-宁「-2「3
7.(第六届预赛)有6个完全相同的刚性长条薄片AB(i=1,2…),方各有一个小突起,薄片及突起的质量均不计,现将此6个薄片
水平的碗口上,使每个薄片一端的小突起Bi恰在碗口上,另一端位于其下方薄片的正中,由正上方俯视如图所示,若将质量为m
在薄片AsBe上一点,这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A的距离,贝U薄片AeBe中点所受的(由另一薄片的小突起A所施的)压力。
答案:
mg/42
解析:
本题共有六个物体,通过观察会发现,ABi、A2B2、…、A5B5的受力情况完全相同,因此将AiBi、
A2B2、…A5B5作为一类,对其中一个进行受力分析,找出规律,求出通式即可求解
以第i个薄片AB为研究对象,受力情况如图甲所示,第i个薄片受到前一个薄片向上的支持力N、碗
边向上的支持力和后一个薄片向下的压力N+i.选碗边B点为轴,根据力矩平衡有
LN“1111u
NiL=Ni1,得Ni所以N1N2N3=-'
”=()N6①
222222
再以AB6为研究对象,受力情况如图乙所示,AB6受到薄片AB5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片AB1向下的压力N、质点向下的压力mg.选B6点为轴,根据力矩平衡有N1-mg3N6丄
24
由①、②联立,解得Ni=mg/42所以,AB薄片对ABe的压力为m©
42.
8.(第十届全国决赛)用20块质量均匀分布的相同的光滑积木块,在光滑水平面一块叠一块地搭成单孔桥,已知每一积木块的长度为L,横截面为h二丄的正方形,求此桥具有的最大跨度(即桥孔底宽)
4
试画出该桥的示意图,并计算跨度与桥孔高度的比值。
[解]设1号右端面到2号右端面的距离为刘,X1=丄.
2号右端面到3号右端面到的距离为X2……,以第2号亠'
'
木块的
左端为转轴力矩平衡:
GL=2G(L-x2),可以得出x2=^,
同理:
第3号右与第4号右端的距离为X3,以第3号木块的左端为转轴力矩平衡2GLG£
=3G(L-x3)
求得X3=L
6
第k号的右端面的距离为xk,则第k号由力矩平衡知:
(k-1)GLGL二kG(L-Xk)求得:
2k
snd|n_l|
则桥拱长的一半为S=X!
X2Lxk--
2k二2kyk
由图1可知H=(n-1)^!
(n-1)L
所以竺二A:
1。
将n=10代入可得.
Hn—1yk
—=1.258
H
9•有一质量为m=50kg的直杆,竖立在水平地面上,杆与地面间静摩擦因数=0.3,杆的上端固定在
地面上的绳索拉住,绳与杆的夹角二=30:
,如图所示。
(1)若以水平力F作用在杆上,作用点到地面的距离0=2L/5(L为杆长),要使杆不滑倒,力F最大
不能越过多少?
前提下,
(2)若将作用点移到h2=4L/5处时,情况又如何?
杆不滑倒应从两方面考虑,杆与地面间的静摩擦力达到极限的力的大小还与h有关,讨论力与h的关系是关键。
杆的受力如图5—7—甲所示,由平衡条
件得
F-Tsin^-f=0
N-Tcos:
-mg=0
F(L-h)-fL=0
另由上式可知,F增大时,f相应也增
大,故当f增大到最大静摩擦力时,杆刚要滑倒,此时满足:
f
解得:
Fmas
mgLtan日
(L-h)tan)/」-h
式又可知
(L-h)tanv/」-h—.即当h0=0.66L时对F就没有限制了。
(D当hL<
ho,将有关数据代入
5
Fmax的表达式得
Fmax=385N
(2)当h^4L■
h°
无论F为何值,都不可能使杆滑倒,这种现象即称为自锁。
横粱,横被运送的力F作用动摩擦因
10用两个爬犁(雪橇)在水平雪地上运送一根质量为m长为I的均匀梁保持水平,简化示意示图,如图1-41所示•每个爬犁的上端A与横梁端头固连,下端B与雪地接触,假设接触而积很小•一水平牵引于前爬犁•作用点到雪地的距离用h表示•已知前爬犁与雪地间的
数为k1•后爬犁与雪地间的动摩擦因数为k2.问要在前后两爬犁都与雪地接触的条件下,使横梁沿雪
地匀速向前移动.h应满足什么条件?
水平牵引力F应多大?
设爬犁的质量可忽略不计.
[分析]正确地物体进行受力分析,应用物体平衡的条件、F=0是求解平衡问题的基本出发点,准确地
忙M=0
领会题中隐含信息,则是求解的关键所在,本题体现了这一解题思路•
[解]整个装置的受力如解图1-24所示,其中N1与N2分别为雪地对爬犁的支持力击和f2分别为摩擦力根据平衡条件有rJ
F=fif2①
mg=N1N2②
FhN2Imgl③
根据摩擦力与正压力的关系有:
右二匕弘
f?
二kzN?
h越大以爬犁与地的前接触点为轴,F的力矩越大.故N>
越小.h最大时对应N>
=0的情况将2=0代入以上
各式,可以解得:
l
2k1
1l(kik2)
2丨-(匕-k2)h
mg
故:
h应满足的条件是:
h<
11半径为r,质量为m的三个刚性球放在光滑的水平面上,两两接触.用
形刚性圆筒(上、下均无盖)将此三球套在筒内•圆筒的半径取适当值:
一个圆柱
使得各球
间以及球与筒壁之间保持接触,但互相无作用力•现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球,放在三个
球的上方正中•四个球和圆筒之间的静摩擦系数均为=3/.15(约等于0.775).问R取何值时,用手轻轻竖
直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来?
(守-1)r汀空詈_1)r.]
当上面一个小球放上去后,下面三个小球有向外挤的趋势,互相之间既无弹力也无摩擦力.因此可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析,受力图如图所示.
对上面小球,根据竖直方向受力平衡有32sin-3f2soc=mg----
(或下面的小球,对球与筒接触点为转轴,
力矩平衡Nrsin+mgr=f2r(1+cos))
再对四个小球为整体,在竖直方向3fi=4mg-
下面的小球,对球心为为转轴,有力矩平衡条件fir=f2r,得fi=f2----
对下面的小球,取fi和f2作用线的交点为转轴,有力矩平衡得Ni>
N2,故大球与小球接触处先滑动(这是确定何处先滑动的常用方法)而大球沿筒滚动,
当R最大时:
f2=N
有上述四式得:
128soC+24cos-77=0,解得:
cos=M,
16
■
因cos日角r/(r+R)=□,所以R=(坐3-1)r31633
但上面的小球不能太小,否则上球要从下面三个小球之间掉下去
故得
-1)r:
:
R乞(込^-1)r.
33
四、自主招生试题
1.(2009清华大学)质量为m、长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上,三棒的顶端O重合,
底端AB、C的间距均为L,如图所示。
(1)求OA棒顶端所受的作用力F的大小。
(2)若有一质量也为m的人(视为质点)坐在OA棒的中点处,
不动,这时OA棒顶端所受的作用力F的大小又为多大?
(3)在
(2)的情况下,地面与棒之间的静摩擦因数卩至少为多
析:
⑴Fh=mga
a=(1/、3)23l
23
h=,I2-a26l
3
F=mg1仝丨/(E)-mg
2334
(2)在OC中点坐一人
棒仍然保持
F^-6^F2-^lmg吕
336
2mg〈I=2F2乜丨F,6I
633
3.6
3F2「g§
F2」mg,F厂巨mg
63
F合二(2F2)2Fjr-^mg
2.(2010北大)如图,一个质量M棱边长为L的立方体放在粗糙的平面上,在左上棱施力,使立方体向前或向后翻转,立方体不与平面发生相对滑动,求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因素。
设想立方体开始翻转后,施加的外力F大小和方向会改变,以维持F始终为最小值。
瓷考虑向前翻倒的仙况•设AC与水平而夹盘加
屁然这时血離宜AC连钱制向上的力F时橢星禮求•如图祈示.M=L.则
寺*治口—J'
tr
式屮Gr6L45%90B]4因此n・4犷时師需F最大+这也此琏鉴链加的加小」八敝
尺馬」临虫,这授期貝要D点旌好离.丹地曲•以后F即便蜚小一些■能耗转*左D点将叢离开地廊吋申
-、fF心班’1
悶工卫三W-FsinlS"
=1
以宣为楼力F妬徉最小虞IF直垂直4C■斜向在闫示情况厂另联⑷j月IF的交点为单b有
lu“tfcosa_吊泊口饥)村口
才ZH-^in2®
2sin2flf—cos2
5in<
i)
cota=罷时t^a-3;
.6*时如一率
不过口養大丁等fF几故向前翻转立加枚功摩榛冈数阚足,》⑴即町一而向后世的惴况下■京方体已D点为轴转动■同样,开鮒圮难瀰动•期加的拉力P垂直M朮平向圧时对应的?
第小r诛近方体边枫为人则
Mg(.^2-=F•L
福P—H^g/2
此时尹耳(二金=="
囚后如果尸始終垂直An血而Ji緩慢倒转工方体以」f会变小・個n反而变大+这丧测D处只要-开始不滑动就车可能再滑动匚
3.(2010南大强化)如图所示,一个质量均匀分布的直杆搁置匀的圆环上,杆与圆环相切,系统静止在水平地面上,杆与地为A,与环面接触点为B。
已知两个物体的质量线密度均为:
:
,
在质量均
面接触点
直
Z7?
7775
杆与地面夹角为一圆环半径为R,所有接触点的摩擦力足够大。
求:
(1地给圆环的摩擦力。
(2)求A、B两点静摩擦系数的取值范围。
解;
球受力如图所示■水平方向合力为零得:
/a+/.cossin9
以圆心O点为轴府r即/i~fit
对球评A点为轴有:
吧耽+阿人即皿=叫氏一N,再取球、杆格休为研究对象以A点为轴有:
、JH-dcos@t
£
r
|X
fajgs】ii-icush
2(1+cgs旳
B处般撩丙数戸亠科;
土=TT^I=un7
a处挣帝擦因数
川|尺十叫耳一弘
™1—O'
Sees石)
ifm⑹⑵*co"
2—cos0
五、备用
1.(第二届全国复赛)如图所示,匀质管子AB长为L,重为G,其A端放在水平面上,而点C则靠在高h二-
的光滑铅直支座上,设管子与水平面成倾角B
擦因数的最小值。
2.
(第十届全国预赛)半径为R质量为M1的均匀圆球与一质量为M2的重物分别用细绳AD和A(E悬挂于同一点A,并处于平衡,如图所示.已知悬点A到球心的距为^不考虑绳的质量和绳与球间的摩擦,求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角.[答案:
M2R1
=arcsin2]
L(Mi+M2)
球受重力M1g,AD绳受拉力为TAC压力为N因重力Mg通过圆心,N也通过圆心(但不是水平方向),
所以T也通过圆(三力共点),OA=L.取整体为研究对象对A点的力矩平衡,MgOB=M2gBC或
MgLsin
=M2g(R-Lsin),得=arcsinM2R
L(M1+M2)
3.如图所示,一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连,下端用铰链与另一细棒相连,两棒的长度相等,两棒限以图示的竖直平面内运动,且不计铰链处的摩擦,当在C端加一个适当的外力(在纸面内)可使两棒平衡在图示的位置处,即两棒间的夹角为90,且C端正好在A端的正下方。
(1)不管两棒的质量如何,此外力只可能在哪个方向的范围内?
说明道理
(不要求推算)。
(2)如果AB棒的质量为mi,BC棒的质量为m2,求此外力的大小和方向。
1)F的方向与A(夹角范围18.24-45间
(2)
1'
22
Fg2m;
亠10m2■^8m1m2]
解
(1)设F的方向与AC夹角为,如果当m1质量很小时,AB寸BC勺作用力沿AB方向,则F的方向必交
于AB的中点,
=45-tan-12=18.24;
如果当m2质量很小时,则F的方向沿BC方向,=45
所以F方向的范围是=18.24-45间
(2)以A为转轴,对两棒有:
(m,-m2)gLsin450=f.2Lsin_-_
以B为转轴,对B(有:
m2gLsin450=FLsin(450_r)——
sin(45
)=sin45
cos-cso45sin----
式得F勺大小:
F=1g2m;
TOm;
-8m,m2;
F的方向与竖直线的夹角
=tan1
m,m2
3m2mi
可见,mi=0时,=ta门辺二怡.24;
m2=0时,=tan亠1=45
4.如图两把相同的均匀梯子AC和BC由C端的铰链连起来,组成人字形梯子,下端A和B相距6m,
C端离水平地面4m,总重200N一人重600N由B端上爬,若梯子与地面的静摩擦因数卩二0.6,则人爬到何处梯子就要滑动?
进行受力分析,如图所示,把人和梯子看成一个整体,于平衡状态:
AB=6m,CD=4nr,二AC=BC=5m
设人到铰链C的距离为I
满足aF=0,M=0
整个系统处
所以G'
Gac'
Gbc二Fni■Fn2
Ffi=Ff2
Glcost■GbcBD■"
FniCD=FniBD
整理后:
Fn1=Fn2=400N,1=2.5m
所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动
5.
i
-=tan」
1-山七
2d
N1,
2N(同
架均匀梯子,一端放置在水平地面上,另一端靠在竖直的墙上,梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦
因数分别为1、2。
求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。
(答案
解法1:
设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为,则有fi=
时达到最大,与上题有区别)
水平方向:
1Ni=N>,
竖直方向:
2N2+N=G,
得:
G=2N2+N/1
取A点为转轴:
一Gcos:
-LN2sin:
-L」2N2cos:
-0
解得tan:
,1匕,即:
Man^1已
2K2丛
地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点(如图的D点)
则有:
tan1=1,tan2=2,
有几何关系:
tan:
bc=DH-DE=DH_DEjcot-1tan-,AC2AH2AH2EB22
2比
桌的宽
6•如图所示•梯子长为21,重量为G,梯子上的人的重量为G,人离梯子下端距离为h,梯子与地面夹角为,梯子下端与地面间的摩擦因数为,梯子上端与墙的摩擦力忽略不计,试求梯子不滑动时的h
值.
[解]杆的受力情况如图所示:
由于杆静止,aF=0^M=0
N=f
N=Gf+G
GLcosvGhcosr-N2Lsinr
f=AN
解方程可以得出:
h=2"
l(GG)ta「Gl(原答案有误)
所以,只要h乞K(GG)tan—Gl,梯子就不会滑动。
G,
7•如图所示,方桌重G=100N前后腿与地面的动摩擦因数
与高相等。
(1)拉力F、地面对前、后腿的支持力和摩擦力。
(2)设前、后腿与地面间的静摩擦因数%=0.60。
在方桌的前端用多大水平力拉桌可使桌子以前腿为轴
向前翻倒?
博)Z(A)
鋼:
(门据物怵一股*緬条件有
r=F-r/T4-/j=0
亍F•A+?
/>
•A一G*花=0
11f・
联立以上四式可得出*
F20Nt恫-30N,Nj-70NtJ\-14Mf:
二&
心<
3>
占处陣力和华療力均恰好为零时,以A恵为轴:
由F'
从G・;
=0得F驚一50皿fll^ntFi_=»
G=閃N,(杏则"
嚴書潸幼)
BC相连,二
加一个适
直.且C在
故.A-Nv、F冬h、
8•如图所示,一根细棒ABA端用绞链与天花板相连,B端用绞链与另一细棒
棒长度相等•限于在图示的竖直面内运动,且不计绞链处的摩擦,当在C端
当的外力(与AB,BC在一个平面内)可使二棒静止在图示位置,即二棒相互垂
A端的正下方
(1不论二棒的质量如何,此外力只可能在哪个方向范围内?
试说明理由
(2)如果AB棒的质量为m「BC棒质量为m2求此外力的大小和力向.
(3)此时BC棒对AB棒的作用力的大小是多少
[解]
(1)外力的范围应在竖直线右且在BC棒以上.
将两根棒看作整体,整体受的重力力矩为顺时针,若整体保持平衡,力F的力矩须产生逆时针力矩
即力F应指在AC线的右侧。
以BC为研究对象,B点为轴,BC的重力有逆时针力矩,外力F的力矩须产生顺时针力矩•即F应在BC以上
⑵以BC为研究对象,合力为0,合力矩为0角
=45°
如解图
所示
Fcos二G2cos45°
N1
FsinN2二G2sin45°
由方程可得:
F
g;
2mi28mim>
1
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