高中数学新教材必修第二册第八章立体几何初步 83简单几何体的表面积与体积南开题库含详解Word下载.docx
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16.如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是
17.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是
18.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
19.在梯形中,,,.将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
20.如图,在多面体中,已知是边长为的正方形,且,均为正三角形,,,则该多面体的体积为
21.小明在“欧洲七日游”的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新,现绘制该建筑物的三视图如图所示,若网格纸上小正方形的边长为,则小明绘制的建筑物的体积为
22.正三棱锥的底面边长为,高为,则此棱锥的侧面积为
23.已知正方形的边长为,空间有一点(不在平面内)满足,则三棱锥的体积的最大值是
24.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
25.棱长为的正方体中,连接相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为
26.已知等腰直角三角形的直角边的长为,将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
27.已知,是球的球面上两点,,为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为
28.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的的值是
29.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为,如果不计容器的厚度,则球的体积为
30.一个棱锥三个侧面两两互相垂直,它们的面积分别为,,,那么这个三棱锥的体积为
31.,分别是边长为的正方形边,的中点,沿线,,折起来,则所围成的三棱锥的体积为
32.如图,三棱柱中,是棱的中点,平面分此棱柱为上下两部分,则这上下两部分体积的比为
33.正方体的全面积为,它的顶点都在同一个球面上,这个球的半径是
34.如图,为正三角形,,,若,,则多面体在平面上的投影的面积为
35.如图,已知直三棱柱,点,分别在侧棱和上,,则平面把三棱柱分成两部分的体积比为
36.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为,则
37.如图所示,正方体的棱长为,,分别是棱,的中点,过直线的平面分别与棱,交于,,设,,给出以下四个命题:
①平面;
②当且仅当时,四边形的面积最小;
③四边形周长,是单调函数;
④四棱锥的体积为常函数.
以上命题中假命题的序号为
A.①④B.②C.③D.③④
38.如图,正方体的棱长为,线段上有两个动点,,且.给出下列四个结论:
①;
②三棱锥的体积为定值;
③在底面内的正投影是面积为定值的三角形;
④在平面内存在无数条与平面平行的直线.
其中,正确结论的个数是
39.已知正方体棱长为,点在线段上,当最大时,三棱锥的体积为
40.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分,余下的几何体的三视图如图,则该几何体的表面积为
C.D.
二、填空题(共40小题;
41.已知某球体的体积与其表面积的数值相等,则此球体的半径为
.
42.若一个球的体积为,则它的表面积为
43.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为,则此球的表面积为
44.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为
45.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
46.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
47.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
48.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为
49.如图是一个几何体的三视图.若它的体积是,则
50.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
51.用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积是
52.用一张长为米,宽为米的矩形铁皮围成圆柱的侧面,则这个圆柱的体积为
53.有一个几何体的三视图及其尺寸(单位)如下图所示,则该几何体的表面积为:
54.一个几何体的三视图如图所示(单位:
),则这个几何体的体积为
.
55.底面是正方形,容积为的无盖水箱,它的高为
时最省材料.
56.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
57.一个几何体的三视图如图所示(单位:
),则该几何体的体积为
58.已知一个四棱锥的三视图如图所示,则此四棱锥的体积为
59.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为,则这个球的体积为
60.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
61.一个几何体的三视图如图所示(单位:
),则该几何体的体积为
62.几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积是
63.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
64.用半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面,则此圆锥的体积为
65.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:
66.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为
67.一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为,则正视图与侧视图中的值为
68.如图是—个几何体的三视图,则该几何体的表面积为
69.一个几何体的三视图如图,正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为的正方形组成,俯视图是一个圆,则这个几何体的表面积为
70.如图所示,一款冰淇淋甜筒的三视图中俯视图是以为半径的圆,则该甜筒的表面积为
71.―个几何体的三视图如图所示(单位:
),则该几何体的体积为
.
72.正方体的棱长为,则四面体的外接球的体积为
73.已知正方体的棱长为,除面外,该正方体其余各面的中心分别为点,,,,(如图),则四棱锥的体积为
74.如图,已知正方体的棱长为,则四棱锥的体积为
75.已知某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球体积为
76.如图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形,根据图中尺寸(单位:
)可知该几何体的表面积为
77.图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图,该几何体的外接球表面积为
78.一个几何体的三视图如图所示(单位:
79.一个圆锥体被过其顶点的平面截去一部分,余下的几何体的三视图如图所示(单位:
),则余下的几何体的体积为
80.棱长为的正四面体内有一点,由点向各面引垂线,垂线段长度分别为,,,,则的值为
三、解答题(共20小题;
共260分)
81.如图,长方体中,,,点,分别在,上,.过点,的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由);
(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
82.三棱锥的三条侧棱两两垂直,,,,为中点,为中点,求四棱锥的体积.
83.在单位正方体中,点,分别是棱,的中点.
(1)求证:
平面;
(2)求三棱锥的体积;
(3)设直线,与平面所成的角分别为,,求的值.
84.如图,三棱锥内接于一个圆锥(有公共顶点和底面,侧棱与圆锥母线重合).已知,,,,
(1)求圆锥的侧面积及侧面展开图的中心角;
(2)求经过圆锥的侧面到点的最短距离.
85.如图,四棱锥中,底面为平行四边形,,,,,,分别在线段,上,且.
;
(2)求三棱锥的体积.
86.如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面所截后得到的,其中,,.
(2)求此多面体的全面积.
87.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为,高,养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐,现有两种方案:
一是新建的仓库的底面直径比原来大(高不变);
二是高度增加(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积;
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积;
(3)哪个方案更经济些?
88.如图,是边长为的正方形,直线与平面平行,和是上的两个不同点,且,,和是平面内的两点,和都与平面垂直.
(1)证明:
直线垂直且平分线段.
(2)若,,求多面体的体积.
89.如图,三棱锥中,平面,.
(2)若,为中点,求三棱锥的体积.
90.如图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,底面,,,为上一点,且.
(2)若,求四棱锥的体积.
91.如图,平行四边形中,,,,将沿折起到的位置,使平面.
(2)求三棱锥的侧面积.
92.养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为,高.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积;
93.如图所示,三棱柱中,,,分别为,的中点,点在棱上,且.
(2)在棱上是否存在一个点,使得平面将三棱柱分割成的两部分体积之比为,若存在,指出点的位置;
若不存在,请说明理由.
94.如图,四棱锥中,,,,,为线段上一点,,为的中点.
(2)求四面体的体积.
95.如图,四边形为菱形,为与的交点,.
(2)若,,三棱锥的体积为,求该三棱锥的侧面积.
96.如图,在斜三棱柱中,,,,侧面与底面所成的二面角为,、分别是棱、的中点.
(1)求与底面所成的角;
(2)证明;
(3)求经过、、、四点的球的体积.
97.如图,,,过动点作,垂足在线段上且异于点,连接,沿将折起,使(如图所示).
(1)当的长为多少时,三棱锥的体积最大;
(2)当三棱锥的体积最大时,设点分别为棱的中点,试在棱上确定一点,使得,并求与平面所成角的大小.
98.如图,四棱锥中,底面为矩形,,为的中点.
(2)设二面角为,,,求三棱锥的体积.
99.如图,在四棱锥中,平面,底面是等腰梯形,,.
(2)若,,直线与平面所成的角为,求四棱锥的体积.
100.如图,已知正方体的棱长为,,分别是棱,上的点,且.
,,,四点共面;
(2)平面将此正方体分为两部分,求这两部分的体积之比.
答案
第一部分
1.A
2.A
3.C
4.A【解析】由三视图知,该几何体是底面为正方形的四棱锥,其直观图如下图.
所以其表面积为.
5.A
【解析】由三视图可以看出,该几何体为四棱锥,所以.
6.C
7.A
8.C【解析】该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组合而成,.
9.A【解析】如图:
中,绕直线旋转一周,则所形成的几何体是以为轴截面的圆锥中挖去了一个以为轴截面的小圆锥后剩余的部分.
因为,,,
所以,,
设是以为轴截面的圆锥的体积,是以为轴截面的圆锥的体积.
,,
所以.
10.B
【解析】由三视图可知,该几何体是由一个四棱锥和一个正方体组成,所以表面积.
11.C【解析】
12.B【解析】设球的半径为,则正方体的对角线长为,依题意知,即,所以.
13.C【解析】由三视图可得:
该几何体是四棱锥(如图所示),
所以,,,,可得;
,,所以该几何体的侧面积.
14.B【解析】该几何体为一个棱长为的正方体在两端各削去一个圆柱,.
15.D
16.D
17.A
18.C
19.C【解析】提示:
分析知,围成的几何体为如图所示一个圆柱挖去一个圆锥.
20.A
【解析】
提示:
如图,作于点,于点,则可将原多面体分成一个直三棱柱和两个三棱锥,然后去求其体积.
21.C【解析】由三视图可知,该建筑物由一个圆锥、一个圆柱以及一个正方体拼接而成,故所求几何体的体积.
22.A【解析】利用高、底面正三角形的边心距和斜高组成的直角三角形可得斜高为,
于是侧面积.
23.D
24.D
25.C
【解析】提示:
算出一个正四棱锥的体积再乘即可.
26.B
27.C【解析】在三棱锥中,底面的面积确定,所以要使的体积最大,
则到平面的距离最大,即为球的半径.
设球半径为,则三棱锥的体积,
解得,此时球的表面积.
28.D
29.A
30.D
31.D【解析】设,,折起交于点,因为,,所以,所以.
32.B【解析】不妨设此三棱柱为正三棱柱,,,则正三棱柱的体积,,所以,所以上下两部分的体积的比为
33.B【解析】由正方体外接球的直径等于正方体的体对角线的长,得,
34.A
35.A
【解析】设到的距离为,,棱柱的高为,可得,,,所以平面把三棱柱分成两部分的体积比为.
36.B【解析】提示:
此组合体是过圆柱对称轴的平面截圆柱所得的半个圆柱和一个半球组成的组合体.
37.C【解析】因为,,,所以平面成立;
又因为四边形为菱形,,所以,当时,面积最小,所以②成立;
四边形的周长,在上是单调递减函数,在上是单调递增函数,所以命题③不正确;
,所以为常函数.
38.D【解析】因为在正方体中,,,所以,①正确;
,而到的距离即为到的距离,所以面积为定值,又点到的距离为定值,所以三棱锥的体积为定值,②正确;
因为为定值,且在体对角线上,所以在底面上的投影为定值,而点到的距离为定值,所以在底面内的正投影是面积为定值的三角形,③正确;
因为平面与平面不重合,显然在平面内存在无数条与平面平行的直线,④正确.
39.B【解析】设,在中,利用余弦定理有,又因为当时,最小,当与点重合时最大,所以,所以当时,最大,在中,,则到面的距离为.所以.
40.A
【解析】圆锥母线为,高为,圆锥底面半径为,截去的底面弧的圆心角为直角,截去的弧长是底面圆周的,圆锥侧面剩余,即为,截面三角形的面积为,底面剩余部分为,所以被截后该几何体的表面积为.
第二部分
41.
42.
球的半径为.
43.
44.
【解析】球的半径为,则正方体的体对角线长为,从而正方体的棱长为,表面积为.
45.
46.
由三视图可知,该几何体是由左右两个相同的圆柱(底面圆半径为,高为)与中间一个圆柱(底面圆半径为,高为)组合而成.
47.
【解析】该几何体是一个长方体和一个圆柱的组合体.由三视图可知长方体的长、宽、高分别为,圆柱的底面半径为,高为,故该组合体的体积为.
48.
49.
【解析】三视图对应的空间几何体是以为底、高为的三角形作为底面,以为高的卧放的一个三棱柱.
50.
51.
52.或.
53.
【解析】由三视图可知:
该几何体是一个圆锥,其母线长是,底面直径是.
所以该三棱锥的表面积.
54.
【解析】如图:
该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体.
所以
55.
56.
【解析】由三视图可知,该几何体由两个长方体和一个圆柱组成.
57.
【解析】由三视图可知,该几何体为四棱锥,所以.
58.
59.
60.
【解析】由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面,四棱锥的高为,四边形是边长为的正方形,则.
61.
【解析】三视图可得该几何体是组合体,上面是底面圆的半径为、高为的圆锥,下面是底面圆的半径为、高为的圆柱,
所以该几何体的体积是.
62.
【解析】由三视图可知,该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组成,所以体积为.
63.
【解析】由三视图可知,该几何体是由一个长方体和半个圆柱形成,所以体积为.
64.
【解析】如下图所示:
,所以体积为.
65.
【解析】该几何体的体积为.
66.
【解析】由三视图可知,该几何体为上面一个三棱柱,下方一个四棱柱.
故,,所以.
67.
【解析】由三视图可以看出,该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱组成.
体积为,所以.
68.
【解析】由三视图可知,该几何体的侧面积为,下底面面积为,顶部为半个球的表面积,所以该几何体的表面积为.
69.
【解析】由三视图可知该几何体是由一个圆柱和半个球组成,
所以表面积为.
70.
【解析】上半部分为半个球,表面积为.下半部分为圆锥,侧面积为.
71.
【解析】由三视图可知,该几何体为两个相切的球上方加了一个长
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