历年来北大自主招生数学试题文档格式.doc
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于是的方程为;
①
的方程为.②
联立的方程,解得.
对于①,令,得;
对于②,令,得.
于是.
.不妨设,,则
③
不妨设,则有
6个9个
.④
又由当时,③,④处的等号均可取到.
∴.
不妨设,事实上,其最小值也可用导函数的方法求解.
由知当时;
当时.
则在上单调减,在上单调增.于是当时取得最小值.
【解析】不妨设,夹角为,则,令
其对称轴为.而在上单调增,故.
当时,,解得.
当时,在上单调增,于是.不合题意.
于是夹角的范围为.
5.存不存在,使得为等差数列.(25分)
【解析】不存在;
否则有,
则或者.
若,有.而此时不成等差数列;
若,有.解得有.
而,矛盾!
2011年综合性大学(北约13校)自主选拔录取联合考试
数学试题
请注意:
文科考生做1至5题,理科考生做3至7题。
每题20分,共100分。
【试题解答】
1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线长。
解析:
平行四边形的对角线的平方和等于它四边的平方和,设另一条对角线长为,所以,所以。
2.求过抛物线和的交点的直线方程。
解法一:
由,得,所以过抛物线和的交点的直线方程。
解法二:
由得或,所以过抛物线和的交点的直线方程。
3.在等差数列中,,数列的前项和为,求数列的最小项,并指出其值为何?
因为所以,所以,
法一:
由得,又,所以,所以。
法二:
由,所以当,。
4.在中,,求证:
.
因为
,当且仅当时,成立,又因为,所以。
5.是否存在四个正实数,使得他们的两两乘积为2,3,5,6,10,16?
设存在四个正实数使得他们两两乘积为2,3,5,6,10,16,因为四个正实数的两两乘积为,把这些乘积乘起来,所以,又为正实数,所以,所以在2,3,5,6,10,16中应存在两个数之积等于,显然这是不可能的,所以假设不成立,所以不存在四个正实数,使得他们的两两乘积为2,3,5,6,10,16。
6.和是平面上两个不重合的固定圆,是平面上的一个动圆,与,都相切,则的圆心的轨迹是何种曲线?
说明理由.
不妨设,和的半径分别为(),
(1)当和相离时,即,
(ⅰ)若与,都外切,则,,所以;
若与,都内切,则,,所以;
所以,由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线;
(ⅱ)若与内切,外切,则,,所以;
若与外切,内切,则,,所以;
(2)当和外切时,即,
(ⅱ)若与内切,外切,则,(或,),所以(或);
若与外切,内切,则,(或,),所以(或);
所以或,所以的圆心的轨迹是过,的直线(除直线与圆、的交点外);
(3)当和相交时,即,
若与,都内切,则,(或,),所以;
所以,由双曲线的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的双曲线(圆、的交点除外);
所以,由椭圆的定义,的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的椭圆(圆、的交点除外);
(4)当和内切时,即,
若与,都内切,则,(或,或,),所以(或或);
(ⅱ)若与内切,外切,则,,所以,所以的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的椭圆(两圆、的交点除外);
(5)当和内含时,即,
(ⅰ)若与,都内切,则,,所以,所以的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的椭圆;
(ⅱ)若与内切,外切,则,,所以,所以的圆心的轨迹是以,为焦点、实轴长为的椭圆。
7.求的最小值。
2012年北约自主招生数学试题
1、求的取值范围使得是增函数;
2、求的实数根的个数;
3、已知的4个根组成首项为的等差数列,求;
4、如果锐角的外接圆的圆心为,求到三角形三边的距离之比;
5、已知点,若点是圆上的动点,求面积的最小值。
6、在中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除,最多能取多少个数?
7、求使得在有唯一解的;
8、求证:
若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形;
9、求证:
对于任意的正整数,必可表示成的形式,其中
2012年自主招生北约联考数学试题解答
2013年北约自主招生数学试题
2013-3-16
(时间90分钟,满分120分)
一选择题(每题8分,共48分)
1.以和为两根的有理系数多项式的次数最小是多少()
A.2B.3C.5D.6
2.在的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車,每一行、每一列都只有一个車,共有多少种停放方法()
A.720B.20C.518400D.14400
3.已知,,则的值为().
A.-10B.-12C.-14D.-16
A
B
C
D
M
N
E
4.如图,在△ABC中,D为BC中点,DM平分∠ADB交AB于点M,DN平分∠ADC交AC于N,则BM+CN与MN的关系为
()
A.BM+CN>MN
B.MN+CN<
MN
C.BM+CN=MN
D.无法确定
5.设数列满足,前项和为,,求.
6.模长为1的复数满足,求.
A.-1/2B.1C.2D.无法确定
二、解答题(每题18分,共72分)
7.最多有多少个两两不等的正整数,满足其中任意三数之和都为素数.
8.已知,为2013个实数,满足,且…,求证.
9.对于任意的,求的值.
10.已知有个实数,排列成阶数阵,记作使得数阵的每一行从左到右都是递增的,即对任意的,当时,有;
现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的阶数阵,记作,即对任意的,当时,有,试判断中每一行的各数的大小关系,并加以证明.
2013年北约自主招生数学试题解析
【解析】显然为满足要求的多项式,其次数为5.
若存在次有理系数多项式以和为两根,则必含有因式,∴,即最小次数为5.故选C.
【解析】先排3个红色車,从6行中任取3行,有种取法;
在选定的3行中第一行有6种停法,第一行选定后第二行有5种停法,第二行选定后第三行有4种停法;
红車放定后,黑車只有6种停法.故停放方法共种.故选D.
【解析】∵
,
又由,,有
∴或.
当时,有,,
;
当时,,
故选D.
【解析】延长ND至E,使ND=ED,连结BE、ME,
则△BED≌△CND,△MED≌△MND,ME=MN,
由BM+BE>EM,得BM+CN>MN.
【解析】∵,,∴;
由,有时,,于是,
特征方程有重根2,可设,
将,代入上式,得,,
于是,∴.
故选A
【解析】取,便能得到=1.
下面给出证明,,
于是
.∴=1.
【解析】设满足条件的正整数为个.考虑模3的同余类,共三类,记为,,.
则这个正整数需同时满足①不能三类都有;
②同一类中不能有3个和超过3个.否则都会出现三数之和为3的倍数.故.
当时,取1,3,7,9,其任意三数之和为11,13,17,19均为素数,满足题意,
所以满足要求的正整数最多有4个.
【解析】设…,
若,则,,…,,,
于是,
∴,进而.
若,则,,…,这2013个数去掉绝对值号后只能取和两值,
又…,
即这2013个数去掉绝对值号后取和两值的个数相同,这不可能.
【解析】,
,
各式相加,得.
【解析】数阵中的中每一行的各数仍是递增的.下面用反证法给出证明.
若在第行存在,令,其中,
,则当时,
即在第列中至少有个数小于,也就是在数阵中的第列中至少排在第行,这与排在第行矛盾.所以数阵中的中每一行的各数仍是递增的.
2014北约理科数学试题
1、圆心角为的扇形面积为求它围成圆锥的表面积.
2、将10个人分成3组,一组4人,两组各3人,求共有几种分法.
3、求.
4、的值域为求的取值范围.
5、已知且都为负实数,求的取值范围.
6、在上为奇函数,求的值.
7、求证:
8、已知实系数二次函数与和有两重根,有两相异实根,求证:
没有实根.
9、是等差数列,问:
是否可以同时在中,并证明你的结论.
10、求证:
2014北约文科数学试题
7、等比数列的公共项之和.
8、梯形的对角线长分别为和,高是求梯形的面积.
10、已知实系数二次函数与和有两重根,有两相异实根,求证:
2014北约理科数学试题(参考答案)
【解析】从而圆锥底面周长为
【解析】平均分堆问题.
【解析】观察等式可知,函数显然为线性一次函数,可设代入求得从而
【解析】值域问题.或
【解析】均值不等式,对勾函数性质.从而
【解析】下面证明:
【解析】反证法.假设则从而矛盾.
【解析】设
则由,可得
由可得
化简得即又
【解析】数列中的项.分析中项的构成,若按照从小到大的顺序排列,最小的项为,第二项为,最大的项为设公差为则中项的公差也为,所以中共有项,假设均为中的项,不妨设且这样的不存在,矛盾.所以不可以同时在中.
【解析】不等式;
柯西不等式或平均不等式.
不等式.调和平均值,
则,
可得,
上述两式相加得,
即,即
由及要证的结论分析,由柯西不等式得,
从而可设,且从而本题也即证
从而,即,
假设原式不成立,即则
从而,矛盾.得证.
2014北约文科数学试题(参考答案)
【解析】此题考察数的同余问题;
设公共项为,
易得最小的数为和的最小公倍数为则公共项之和为
【解析】如图,梯形面积为,易求得
2011年北大保送生考试数学试题参考解答
2012年北京大学保送生考试数学试题及参考解答
1.已知数列为正项等比数列,且,求的最小值.
解:
设数列的公比为,则,
.由知.
,
当且仅当即时,有最小值.
2.已知为二次函数,且成正项等比数列,求证:
证法一:
设,数列的公比为,
①②③
①②得,
②③得.
若,则;
若,则与矛盾..
证法二:
由成等比数列得,
.
三点满足,
三点共线,与三点在抛物线上矛盾,.
3.称四个顶点都落在三角形三边上的正方形叫三角形的内接正方形.若锐角三角形的三边满足,证明:
这个三角形的内接正方形边长的最小值为.
解:
如图所示,设正方形的边长为,,
,.
同理可得其它两用人才种情况下内接正方形边长为
.
,,
4.从点发出两条射线,已知直线交于两点,且(为定值),记中点为,
求证:
的轨迹为双曲线.
以的角平分线所在直线为轴建立如图所示的直角坐标系.
设,,,
则,.
,
得,
的轨迹为双曲线.
5.已知满足,求证:
,使.
证明:
用反证法,假设,.
令,则,且.
与矛盾,
,使.
2013年北京大学保送生考试数学试题详解
【第1题】
内点满足,线段的中垂线交边于,线段的中垂线交边于,已知:
、、三点共线,求.
如图.
【第2题】
正数满足,求证:
因此原不等式得证.
【第3题】
是否存在两两不同的实数,使直角坐标系中的三条直线共点.
原问题即方程组有解,其中两两不同.
整理,得,与两两不同矛盾.
于是不存在符合题意的实数对.
【第4题】
对的某非空子集,若其中所有元素的和为奇数,则称为奇子集,问奇子集的个数.
设,则奇子集由中的1个、3个或5个元素以及中的任意个元素组成.因此奇子集共有个.
【第5题】
在一个的正数数表中,每行都成等差数列,每列平方后都成等差,求证:
左上角的数和右下角的数之积等于左下角的数和右上角的数之积.
下面证明对的数表,是奇数,命题均成立.
当时,不妨设数表如图.
…
因此命题成立.
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