思维特训十二 旋转与坐标Word格式.docx
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图12-4
A.(-4,2)B.(-2,4)C.(4,-2)D.(2,-4)
4.如图12-5,将△ABC绕点P顺时针旋转得到△A′B′C′,则点P的坐标是()
图12-5
A.(1,1)B.(1,5)C.(1,2)D.(1,4)
5.2017·
南宁如图12-6,把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中,顶点A的坐标为(3,0),点P(1,2)在正方形铁片上,将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°
,第一次旋转至图①位置,第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转
2017次后,点P的坐标为.
图12-6
6.将边长为2的正方形OABC如图12-7①放置,O为原点.
(1)将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°
时,如图②,求点A的坐标;
(2)如图③,将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°
时,求点B的坐标.
图12-7
7.如图12-8,在平面直角坐标系中,O为原点,点A(4,0),点B(0,3),把△ABO
绕点B逆时针旋转,得△A′BO′,点A,O旋转后的对应点分别为A′,O′,记旋转角为a.
(1)如图①,若a=90°
,连接AA′,求AA′的长;
(2)如图②,若a=120°
,求点O′的坐标.
图12-8
8.如图12-9,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°
得△A′B′C,已知点A的坐标为(a,
b),求点A′的坐标.
图12-9
类型二函数图象的旋转
9.已知:
一次函数y3+3.
=-4x
(1)设它的图象与x轴、y轴的交点分别为A,B,求点A,B的坐标;
(2)将直线AB绕原点O逆时针旋转90°
,求旋转后的直线所对应的函数解析式.
10.如图12-10,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+12交x轴,y轴于A,B两点,点C在线段AB上,且点C的纵坐标为6,点D在线段OC上,且点D的横坐标为2.
(1)求直线AD的解析式;
(2)直线OC绕点O逆时针旋转90°
,求出点D的对应点D′的坐标.
图12-10
11.如图12-11,抛物线C1是二次函数y=x2-10x在第四象限的一段图象,它与x轴的交点是O,A1;
将C1绕点A1旋转180°
后得抛物线C2,交x轴于点A2;
再将抛物线C2绕点A2旋转180°
后得抛物线C3,交x轴于点A3;
如此反复进行下去……
(1)抛物线C3与x轴的交点A3的坐标是多少?
抛物线Cn与x轴的交点An的坐标是多少?
(2)若某段抛物线上有一点P(2018,a),试求a的值.
图12-11
3
12.如图12-12,抛物线l1:
y=1(x-m)2+n(m>0)的顶点为A,与y轴交于点B,将
抛物线l1绕点O旋转180°
,得到抛物线l2,抛物线l2的顶点为C,与y轴交于点D,其中点A,B,C,D中的任意三点都不在同一直线上.
(1)若点A的坐标为(3,1),则抛物线l1的解析式为,抛物线l2的解析式为.
(2)在
(1)的条件下,抛物线l1的对称轴上是否存在一点P,使PC+PD的值最小?
若存在,请求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
1
(3)若抛物线l1:
y=3(x-m)2+n(m>0)的顶点A落在x轴上时,四边形ABCD恰好是
正方形,求m,n的值.
图12-12
典题讲评与答案详析
1.B[解析]∵A(3,0),B(0,4),
∴AO=3,BO=4,
∴AB=32+42=5,
∴AB=AB′=5,故OB′=8,
∴点B′的坐标是(8,0).
2.A[解析]如图,过点C′作C′D⊥x轴于点D.由题意得∠C′OD=45°
,所以∠C′OD
=∠OC′D,所以OD=C′D.因为OC′=OC=OA=2,且OC′2=OD2+C′D2,所以OD=C′D
=2,所以C′(2,2).
3.B[解析]如图,在网格图中,可以利用OB是4×
2矩形的对角线,绕原点逆时针旋转90°
后,OB1是2×
4矩形的对角线,可找到点B1的位置,从而得到点B1的坐标为(-2,4).
4.C[解析]如图,CC′和AA′的垂直平分线交于点P,则点P即为旋转中心,∴P点坐标为(1,2).
5.(6053,2)[解析]第一次P1(5,2),第二次P2(8,1),第三次P3(10,1),第四次
P4(13,2),第五次P5(17,2),…,发现点P的位置4次一个循环.∵2017÷
4=504……1,点P2017的纵坐标与点P1相同为2,横坐标为2017×
3+2=6053,
∴P2017(6053,2).
6.解:
(1)如图①,过点A作x轴的垂线,垂足为D,则∠ADO=90°
.
∵旋转角为60°
,
∴∠AOD=90°
-60°
=30°
∴AD
=2AO
=1,
∴DO=AO2-AD2=3,
∴A(-3,1).
(2)如图②,连接BO,过B作BD⊥y轴于点D.
∵旋转角为75°
,∠AOB=45°
∴∠BOD=75°
-45°
∵∠A=90°
,AB=AO=2,
∴BO=22,
∴在Rt△BOD中,BD=2,
∴OD=6,
∴B(-2,6).
7.解:
(1)∵点A(4,0),点B(0,3),
∴OA=4,OB=3.
在Rt△ABO中,由勾股定理得AB=5.
根据题意,知△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转90°
得到的,由旋转的性质可得∠A′BA
=90°
,A′B=AB=5,
∴AA′=52.
(2)如图,根据题意,由旋转的性质可得∠O′BO=120°
,O′B=OB=3,
∴∠O′BC=60°
过点O′作O′C⊥y轴,垂足为C,则∠O′CB=90°
∴∠BO′C=30°
∴BC13
=2O′B=2,
∴OC=OB+BC9
=2.
由勾股定理得O′C33O′的坐标为9.
=2,∴点(2,2)
8.解:
过点A作AM⊥y轴于点M,过点A′作A′M′⊥y轴于点M′,如图.∵将△ABC
绕点C(0,-1)旋转180°
得△A′B′C,
∴AC=A′C,
而∠AMC=∠A′M′C,∠ACM=∠A′CM′,
∴Rt△AMC≌Rt△A′M′C(AAS),
∴AM=A′M′,CM=CM′.
∵C(0,-1),点A的坐标为(a,b),
∴AM=A′M′=-a,CM=CM′=-1-b,
∴M′O=-1-b-1=-2-b,
∴点A′的坐标为(-a,-2-b).
4x
9.解:
(1)∵一次函数y=-3+3的图象与x轴、y轴的交点分别为A,B,
∴当y=0,有03+3,解得x=4,
∴A(4,0),
当x=0时,有y=3,
∴B(0,3).
(2)点A(4,0)绕原点O逆时针旋转90°
得到的对应点为A1(0,4),点B(0,3)绕原点O
4
逆时针旋转90°
得到的对应点为B1(-3,0).设旋转后的直线所对应的函数解析式为y=kx
⎧4=b,
⎧⎪k=,
+b(k≠0).依题意有⎨
解得⎨3∴旋转后的直线所对应的函数解析式为y
=3x+4.
⎩0=-3k+b,
⎪⎩b=4,
10.解:
(1)∵直线y=-2x+12交x轴,y轴于A,B两点,∴A(6,0),B(0,12).
∵点C的纵坐标为6且在直线AB上,
∴点C的横坐标为3,∴C(3,6).
设OC所在直线的解析式为y=mx(m≠0),
∴6=3m,∴m=2,∴y=2x.
∵点D的横坐标为2且在OC上,
∴点D的纵坐标为4,
∴D(2,4).
设直线AD的解析式为y=kx+b(k≠0).
⎧6k+b=0,
把A(6,0),D(2,4)代入,得⎨
⎩2k+b=4,
⎧k=-1,
解得⎨
⎩b=6,
∴直线AD的解析式为y=-x+6.
(2)如图,过点D′作D′M⊥x轴于点M,过点C,D分别作CE⊥x轴,DF⊥x轴,垂足分别为E,F,由旋转知∠DOD′=90°
,OD=OD′,
∴∠MOD′+∠DOF=90°
∵∠DFO=90°
∴∠ODF+∠DOF=90°
∴∠ODF=∠MOD′,
∴△MOD′≌△FDO,
∴D′M=OF=2,OM=DF=4.又∵点D′在第二象限,
∴点D′的坐标为(-4,2).
11.解:
(1)当y=0时,x2-10x=0,解得x1=0,x2=10,则A1(10,0),OA1=10,
所以OA2=2OA1=20,OA3=3OA1=30.
同理可得OAn=nOA1=10n,
所以点A3的坐标为(30,0),点An的坐标为(10n,0).
(2)因为2018=201×
10+18,
所以点P(2018,a)在抛物线C202上,
而抛物线C202与x轴的交点坐标为(2010,0),(2020,0),抛物线开口向下,所以抛物线C202的解析式为y=-(x-2010)·
(x-2020),
把点P(2018,a)代入得a=-8×
(-2)=16,
即a的值为16.
12.解:
(1)y1-3)2+1y1+3)2-1
=3(x=-3(x
(2)存在.理由如下:
如图,作点D关于直线x=3的对称点D′,则D′(6,-4),连接CD′交直线x=3于点P,
点P即为所求.
设直线CD′的解析式为y=kx+b(k≠0),
⎧-3k+b=-1,
⎧⎪k=-,
将C(-3,-1)和D′(6,-4)分别代入y=kx+b,得⎨
解得⎨3
∴该直线的解析式为y
1-2.
⎩6k+b=-4,
⎪⎩b=-2,
当x=3时,y=-3,
=-3x
∴P(3,-3).
(3)∵抛物线y1
-m)2+n的顶点A落在x轴上,与y轴交于点B,∴A(m,0),B(0,
=3(x
12
3m),则n=0.
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OB,即m
=3m2,
解得m1=0(不合题意,舍去),m2=3,
∴当四边形ABCD是正方形时,m=3,n=0.
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- 思维特训十二 旋转与坐标 思维 十二 旋转 坐标