训练5:圆周运动中的临界问题Word格式文档下载.doc
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在变速圆周运动中的某些特殊位置上,常存在着最小(或最大)的速度,小于(或大于)这个速度,物体就不能再继续作圆周运动了,此速度即为临界速度.在这个位置,物体的受力必满足特定的条件,这就是临界条件.当物体的受力发生变化时,其运动状态随之变化.当某力突然变为零时,对应物体出现相应的临界状态.常见的如绳子突然断裂、支持物的作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达最大值等.通过受力分析来确定临界状态和临界条件,是较常用的解题方法.
1.竖直平面内圆周运动临界问题
竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动,高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况,经常考查临界状态,其问题可分为以下两种模型:
(1)绳模型(注意:
绳对小球只能产生拉力)
绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力T(圆轨道问题可归结为轻绳类,圆轨道问题中只能产生沿半径方向的支持力N),如下图
N
mg
T
O
①.在最高点时:
(或:
)
小球能过最高点的临界条件:
绳子(或轨道)对小球刚好没有力的作用
②.当时,质点可通过最高点;
③.当时,质点不能运动到最高点,实际上质点还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动.
【例题1】如右图,质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水,用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演,转动半径为1m,小杯通过最高点的速度为4m/s,g取10m/s2,求:
(1)在最高点时,绳的拉力?
(2)在最高点时水对小杯底的压力?
(3)为使小杯经过最高点时水不流出,在最高点时最小速率是多少?
(2)杆模型(杆与绳不同,杆对球既能产生拉力,也能对球产生支持力)
有物体支撑的小球在竖直平面内作圆周运动的情况.小球在圆管道内作圆周运动的情况类似杆模型。
如下图所示,
杆
b
a
临界条件:
由于杆(或管壁)的支撑作用,小球恰能过最高点的临界速度.
小球过最高点时,轻杆对小球的弹力N情况:
①.当v=0时,轻杆对小球有竖直向上的支持力N,其大小等于重力,即N=mg.
②.当时,,即,轻杆对小球有向上的支持力,其大小随速度的增大而减小.取值范围:
.
③.当时,向心力完全由重力提供,N=0.(杆对球作用力为推力还是拉力的临界速度)
④.当,则,即,轻杆对小球有指向圆心的拉力,其大小随速度的增大而增大.
【例题2】如图所示,杆长为L,杆的一端固定一质量为m的小球,杆的质量忽略不计,整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动,求:
(1)小球在最高点A时速度为多大时,才能使杆对小球m的作用力为零?
(2)小球在最高点A时,杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少?
(3)如m
=0.5kg,L
=0.5m,=0.4m/s,则在最高点A时,杆对小球m的作用力是多大?
是推力还是拉力?
总结:
竖直平面内圆周运动两种模型的临界问题,其关键是分清属于“轻绳”类还是“轻杆”类.“轻绳”类只能对物体产生沿绳收缩方向的拉力,在最高点时对物体拉力为零是临界条件,即;
而对于“轻杆”类,在最高点时,“轻杆”对物体既可产生拉力,也可产生支持力,还可对物体的作用力为零,杆与物体之间的作用力为零是临界条件,即:
N=0
物理情景
图示
在最高点的临界特点
做圆周运动条件
细绳拉着小球在竖直平面内运动
T=0
在最高点时速度应不小于
小球在竖直放置的光滑圆环内侧运动
小球固定在轻杆上在竖直面内运动
在最高点速度应大于0
小球在竖直放置的光滑管中运动
(3)小球在凸、凹弧上运动
如图,小球在凸半球最高点运动
①.当,小球不会脱离球面,且能通过球面最高点
②.当,因轨道不对小球产生弹力,故此时小球将刚好脱离球面做平抛运动。
③.当小球已经脱离球面最高点做平抛运动。
如图,小球若通过凹半球的最低点时,速度只要v>
0即可.
【例题3】汽车质量为,以不变速率通过凸形路面,路面半径为15m,若汽车安全行驶。
则汽车不脱离最高点的临界速度是多少?
若汽车达到临界速度时将做何种运动?
水平位移为多少?
(4)水平面内作圆周运动的临界问题
①.物体在水平转台上作圆周运动
静摩擦力f提供向心力.当转台的转速逐渐增大时,静摩擦力随之增大,f达到最大值时,对应有临界角速度和临界速度.
【例题4】在图中,一粗糙水平圆盘可绕过中心轴OO/旋转,现将轻质弹簧的一端固定在圆盘中心,另一端系住一个质量为m的物块A,设弹簧劲度系数为k,弹簧原长为L。
将物块置于离圆心R处,R>L,圆盘不动,物块保持静止。
现使圆盘从静止开始转动,并使转速ω逐渐增大,物块A相对圆盘始终未滑动。
当ω增大到时,物块A是否受到圆盘的静摩擦力,如果受到静摩擦力,试确定其方向。
O/
R
O’
A
②.火车转弯
若内外轨等高,外轨对轮缘的侧压力提供向心力,铁轨和车轮极易受损;
若外轨高于内轨,支持力与重力的合力提供部分向心力:
当时,轮缘不受侧向压力
当时,轮缘受到外轨向内的挤压力
当时,轮缘受到内轨向外的挤压力
(5)求解范围类极值问题,应注意分析两个极端状态,以确定变化范围
【例题5】如图,直杆上0102两点间距为L,细线O1A长为,O2A长为L,A端小球质量为m,要使两根细线均被拉直,杆应以多大的角速度ω转动?
【例题6】如图所示,用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B,A的重心到O点的距离为0.2m.若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N,为使小球B保持静止,求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围.(取g=10m/s2)
B
r
ω
三、反馈练习
1.如图所示,物体与圆筒壁的动摩擦因数为,圆筒的半径为R,若要物体不滑下,圆筒的角速度至少为:
A.B.C.D.
L
m
2.长度为L=0.5m的轻质细杆OA,A端有一质量为m=3.0kg的小球,如图所示,
小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动,通过最高点时小球的速率是2.0m/s,
g取10m/s2,则此时细杆OA受到()
A.6.0N的拉力B.6.0N的压力
C.24N的拉力D.24N的压力
3.长为L的细绳,一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点,当绳竖直时小球静止,现给小球一水平初速度v,使小球在竖直平面内做圆周运动,并且刚好过最高点,则下列说法中正确的是:
()
A.小球过最高点时速度为零B.小球开始运动时绳对小球的拉力为mv2/r
C.小球过最高点时绳对小的拉力mgD.小球过最高点时速度大小为
4.如图所示,长为L的轻杆一端固定一个小球,另一端固定在光滑水平轴上,使小球在竖直平面内做圆周运动,关于小球在过最高点的速度,下列叙述中正确的是:
()
A.的极小值为
B.由零逐渐增大,向心力也逐渐增大
C.当由值逐渐增大时,杆对小球的弹力也逐渐增大
D.当由值逐渐减小时,杆对小球的弹力也逐渐增大
5.如图所示,汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧,弹簧下端拴一个质量为m的小球,当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L1;
当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时,弹簧长度为L2,下列答案中正确的是( )
A.L1=L2 B.L1>
L2
C.L1<
L2 D.前三种情况均有可能
6.半径为R的光滑半圆球固定在水平面上,顶部有一小物体,如图示。
今给小物体一个水平初速度,则小物体将()
A.沿球面下滑至M点
B.先沿球面下滑至某点N,然后便离开斜面做斜下抛运动
C.按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D.立即离开半圆球做平抛运动
7.汽车通过拱桥颗顶点的速度为10m/s时,车对桥的压力为车重的。
如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力,则汽车的速度为( )
A、15m/s B、20m/s C、25m/s D、30m/s
8.用一根细绳,一端系住一个质量为m的小球,另一端悬在光滑水平桌面上方h处,绳长l大于h,使小球在桌面上做匀速圆周运动.求若使小球不离开桌面,其转速最大值是( )
A. B.C. D.
9.火车转弯做圆周运动,如果外轨和内轨一样高,火车能匀速通过弯道做圆周运动,下列说法中正确的是()
A.火车通过弯道向心力的来源是外轨的水平弹力,所以外轨容易磨损
B.火车通过弯道向心力的来源是内轨的水平弹力,所以内轨容易磨损
C.火车通过弯道向心力的来源是火车的重力,所以内外轨道均不磨损
D.以上三种说法都是错误的
10.在水平铁路转弯处,往往使外轨略高于内轨,这是为了()
A.减轻火车对外轨的挤压B.减轻火车对内轨的挤压
C.火车倾斜是使车身重力和支持力的合力提供向心力D.限制火车脱轨
11.如图所示,水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动,从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中()
A.B对A的支持力越来越大B.B对A的支持力越来越小
C.B对A的摩擦力越来越大D.B对A的摩擦力越来越小
12.如图,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,内侧壁半径为R,
小球半径为r,则下列正确是( )
A.小球通过最高点时的最小速度vmin=
B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
13.m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点),A为终端皮带轮,如图所示,已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑,当m可被水平抛出时,A轮每秒的转数最少是( )
A. B. C. D.
14.质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质木架上的A点和C点,如图所示,当轻杆绕轴BC以角速度ω匀速转动时,小球在水平面内做匀速圆周运动,绳a在竖直方向,绳b在水平方向,当小球运动到图示位置时,绳b被烧断的同时杆子停止转动,则( )
A.小球仍在水平面内做匀速圆周运动
B.在绳被烧断瞬间,a绳中张力突然增大
C.若角速度ω较小,小球在垂直于平面ABC的竖直平面内摆动
D.若角速度ω较大,小球可在垂直于平面ABC的竖直平面内做圆周运动
15.如图所示,在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥顶角2θ。
当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时,球压紧锥面,此时绳的拉力是多少?
若要小球离开锥面,则小球的角速度至少为多少?
16.如图所示,在水平转台上放有A、B两个小物块,它们距离轴心O分别为,,它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的0.4倍,g取.
(1)当转台转动时,要使两物块都不发生相对于台面的滑动,求转台转动的角速度的范围;
(2)要使两物块都对台面发生滑动,求转台转动角速度应满足的条件。
17.如图所示,水平转盘上放有质量为m的物块,当物块到转轴的距离为r时,连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)。
物体和转盘间最大静摩擦力是压力的μ倍。
求:
o
⑴当转盘角速度ω1=时,细绳的拉力T1。
⑵当转盘角速度ω2=时,细绳的拉力T2。
18.沿半径为R的半球型碗底的光滑内表面,质量为m的小球正以角速度ω,在一水平面内作匀速圆周运动,试求此时小球离碗底的高度。
h
19.杆长为L,球的质量为m,杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动,已知在最高点处,杆对球的弹力大小为F=1/2mg,求这时小球的即时速度大小。
20.一内壁光滑的环形细圆管,位于竖直平面内,环的半径为R(比细管的半径大得多),圆管中有两个直径与细管内径相同的小球(可视为质点)。
A球的质量为mA,B球的质量为mB。
它们沿环形圆管顺时针运动,当A球运动到最低点时的速度为vA,B球恰好运动到最高点,若要此时两球作用于圆管的合力为零,B球的速度vB为多大?
21.某实验中学的学习小组在进行科学探测时,一位同学利用绳索顺利跨越了一道山涧,他先用绳索做了一个单摆,通过摆动,使自身获得足够速度后再平抛到山涧对面,如图所示,若他的质量是M,所用绳长为L,在摆到最低点B处时的速度为v,离地高度为h,当地重力加速度为g,则:
(1)他用的绳子能承受的最大拉力不小于多少?
(2)这道山涧的宽度不超过多大?
22.如图所示,被长L的轻杆连接的小球A能绕固定点O在竖直平面内作圆周运动,O点竖直高度为h,如杆受到的拉力等于小球所受重力的5倍时就会断裂,则当小球运动的角速度为多大时,杆恰好断裂?
小球飞出后,落地点与O点的水平距离是多少?
23.小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动,当球某次运动到最低点,绳突然断掉,球飞行水平距离d后落地,如图所示。
已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为3d/4,重力加速度为g,忽略手的运动半径和空气阻力。
(1)绳断时球的速度大小;
(2)绳能承受的最大拉力;
(3)改变绳长(绳承受的最大拉力不变),保持手的位置不动,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为多少?
最大水平距离为多少?
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