含参变量无穷积分的一致收敛性Word格式文档下载.docx
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=—,-A0,
2e
事实上,.ye^dx在厂(0/-)是非一致收敛的,只需取
A
但ye^dx
彳'
'
'
取A—Afh(03,则Jy/dx十yFf,
在[a,址)一致收敛(其中a>
0),由不等式:
y启a,有e」\e」a,解不等式
AAo时,对一切y•〔a,•:
有
11In丄In—
e^a:
有A,于是取A。
ay
■bo
Jye」ydx=e」yEe^ac名,所以,
ye»
ydx在y•[a,•:
)(其中a0)一致收敛.
此题中,我们还可以计算出.ye」ydx在(0「:
)上的收敛值.事实上,对
任意y(0,•:
),都有ye^dx^l-e*,
所以,limye»
ydx=lim(1-)=1,
即ye^dx在(0,+:
)收敛于1.
定理12((柯西一致收敛准则)无穷积分.f(x,y)dx在区间I一致收敛
-;
0,TA。
0,_A1A0与A2A°
—yI,有
A2
Jf(x,y)dx£
名.
A1
定理23(魏尔斯特拉斯M判别法)若B・0,~x・B,-*1,有
f(x,y)汀(x,y),
且无穷积分Fx,ydx收敛,则无穷积分fx,ydx在区间I一致收敛.
aa
该定理是判别某些无穷积分一致收敛性的很简便的判别法,但这种方法
有一定的局限性:
凡能用定理2判别无穷积分是一致收敛,此无穷积分必然
是绝对收敛;
如果无穷积分时候一致收敛,同时又是条件收敛,那么就不能用定理2来判别。
对于这种情况,我介绍如下定理:
定理32丨若函数f(x,y)在区间D(a_x:
•:
y•I),(a0)连续,且
x
F(x,y)=jf(t,y)dt在D有界,即C0,-(x,y)D,
在区间I一致收敛.
证明只需注意:
令F(x,y)二e"
sintdt,
1
_(x,y)D(1空x:
:
0空y:
:
)有F(x,y)乞一¥
e_y>
0(y—>
).
1+y
类似于魏尔斯特拉斯M判别法有如下定理:
定理44设g(x,y)dx在区间I一致收敛,有存在L0,使当x_a与
y亡1时,恒有
f(x,y)兰Lg(x,y)成立,且当巴>a时,对任意y^l,f(x,y)均
关于x在a「1上可积,则.g(x,y)dx关于时y在I一致收敛且绝对收敛
xp
成立,且当a时,对任意yI,f(x,y)均关于x在〔a「丨上可积,试证
f(x,y)dx在区间I上一致收敛且绝对收敛
证明
关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有
下述定理:
"
bo
定理53含参量无穷积分.f(x,y)dx在区间I上一致收敛的充要条件
是:
对任一趋于的递增数列氷」(其中A^c),函数项级数
An1"
i.1f(x,y)dx'
Un(y)在区间I上一致收敛.
nm宀nm
在知道无穷积分.f(x,y)dx关于y在区间I上的收敛值:
y时,可应用下
述定理:
定理6艸f(x,y)dx关于y在区间I上一致收敛于:
y的充要条件是
匕
ff(x,y)dx—$(y)
lim^Sup^
)内的一致收敛
dx关于y在[c,:
),(c0)上和(0,:
-be
显然yr^dx关于y在(0「:
)内收敛于一•
+xy2
=虬sup』,
-arctany:
y亠c=lim(孑-arctanc)=0,而
嘶叫1“y
y2dx--
2
fn产]兀
=ym/up石-arctany□:
y>
0尸纫还
3T
由定理6,得厂三dx关于y在[0,=)上一致收敛于一,在(0「:
)内非一
。
1+xy2
致收敛.
定理7,f(x,y)dx关于y在区间I上一致收敛于(y)的充要条件是:
对任意―上nmn上ynT(n=1,2,…),都有
例5试证-_dx关于y在(0,•:
)内非一致收敛.
1(x+y)
证明显然1土dx关于y在(0「)内收敛于亡
(0,:
)(n=1,2,),但是
取=n,yn=n(n=1,2,…),则ni^n=fyn
由定理7,一dx关于y在0,•:
内非一致收敛.i(x+y)
与函数项级数相应的判别法相仿,有31
定理8(狄利克雷判别法)设
(i)对一切实数N•0,含参变量无穷积分
N
fx,ydx
c
对参变量y在a,b1上一致有界,即存在正数M,对一切Nc及一切ya,b1,都有
Jf(x,y)dx兰M;
(ii)对每一个ya,b】,函数gx,y关于x是单调递减且当x“时,对
参变量y,gx,y一致地收敛于0,则含参变量无穷积分
fx,ygx,ydx
在a,b1上一致收敛.
定理9(阿贝尔判别法)设
(i)fx,ydx在b,b】上一致收敛;
(ii)对每一个yb,b1,函数gx,y为x的单调函数,且对参变量y,gx,y
在a,b上一致有界,则含参变量无穷积分
fx,ygx,ydx
在a,bi上一致收敛.
例6证明含参变量无穷积分
沁dx在0,d1上
■bCi
证明由于无穷积分S!
n^dx收敛,(当然,对于参变量y,它在0,d1一
0x
致收敛),函数gx,y=e^y对每一个x•0,d单调,且对任何0—y—d,x_0,
都有
g(x,y)=e^l兰1,
故由阿贝尔判别法即得含参变量无穷积分
牠dx在0,d1上
定理10门设对任意••a,fx,ydx均关于y在c点左(或右)连
-bo-bo
续,但.fx,cdx发散,则对任意.0,fx,ydx关于
y在(c-,c)(或(c,c•))y在c—,c(或CQ)内非一致收敛.
推论设存在o.0,使fx,y在!
x,y:
x一a,c-o:
y乞c或
■ba-bo
c—y:
c•oi;
上连续,但fx,cdx发散,则对任意•0,fx,ydx
关于y在c-,c或c,c•内非一致收敛.
E
证明对任意a,由已知及含参变量无穷积分的性质,fx,ydx都
关于y在c-°
丨或c,c•°
]上连续,当然在点左(或右)连续,再由已
知及定理10,对任意•0,fx,ydx关于y在c-,c或c,c亠‘一]]内
非一致收敛.
例7试证:
对任意7,
x关于〉在1,1•内非一致收敛.
证明由于■c0竺在〈x,a:
x—1,〉一1?
上连续,但
二cosx
dx发散,由本推论,易得
1x
对任意•0,
关于「在1,1内非一致收敛
■be
定理11°
】设.fx,ydx关于y在C,d1上收敛于,y,?
y在C,d1上
连续,又fx,y在、X,y:
x_a,c_y_d/上连续,且恒有
fx,y]■■■或一0
成立,则fx,ydx关于y在区间C,d1上一致收敛于:
y.
s—1
说d
试证-dx-关于s在1,七上一致收敛于exlnx
证明显然关于s在1,二上收敛于丄,丄在1「:
内连
exlnxs-1sT
续,又一在:
x,y:
x_e,s-1』上连续且恒正,由定理11得
xlnx
dx
定理12设当x_a和yI时,恒有
fx,y-gx,y-hx,y
成立,且.fx,ydx与.hx,ydx均关于y在区间I上一致收敛于:
y,则
gx,ydx关于y在区间I上一致收敛于:
证明对任意'
a和y•I,都有
EEE
f,ydxEgx,ydxEhx,ydx.
aaa
因此,不难得出结论.
本定理与数列收敛的判别法中两边夹定理如出一辙,故我将其称之为两边夹定理.
2.含参变量无穷积分一致收敛的性质
和函数项级数类似的,含参变量无穷积分也具有如下三条性质定理,故证明过程从略.
定理13(连续性)若函数fx,y在区域Da乞x岂•:
,〉岂y乞:
连续,
且无穷积分fx,ydx在区间!
J一致收敛,则函数「y在区间「「1
连续,且limfx,ydx二limfx,ydx.
faaf
定理14(可微性)若函数fx,y与fyx,y在区域
Da_x_•:
〉_『_:
连续,且无穷积分yVifx,ydx在区间'
」收敛
且无穷积分>
=fx,ydx在区间上J一致收敛,则函数「y在区间.,11
-bO
可导,且y=.fyx,ydx,即
fX,ydx二
简称积分号下可微分
定理15(可积性)若函数fx,y与在区域Da辽xl=,>
_y*:
「连
续,且无穷积分fx,ydx在区间・「一致收敛,贝U函数:
y在区间
P-boP
■/■可积,且:
yd^dxfx,ydy,即
P-bo-boP
dyfX,ydx二dxfx,ydy.
J.aa乂
定理13、14分别表明:
在一致收敛的条件下,极限运算、求导运算和
积分运算可以交换;
定理15表明在一致收敛的条件下,积分顺序可以交换
这三个定理在计算含参变量无穷积分上有极其广泛的应用
计算Ia二
dxa0
/-ax22
解法一[5]设fX,a=-e—,fax,a=xe^x,
因为-a0,有
-ax
-e
-x2ax2
e…e**
所以,函数fX,a=在x,0可连续开拓。
使fX,a与fax,a在区
域D0乞x乞•:
0乞a.亠「]连续,一a•0,二二>
0;
1与、:
1,使aI;
、:
,,
无穷积分
-e'
x2
)dx
r-ax2-
xedx
在I,J一致收敛.
事实上,-a•I;
」,有
-be-be
已知xe「"
dx收敛,则xe"
dx在〔;
,匸一致收敛.
00
根据定理14,I;
da1
从而IaIna•C.令a=1,已知I1=0,有
2a2
’1
I1In1C=0,因此,C=0,
于是,—aO有IaIna.
解法二61
由于
=xe4"
dt,所以
讥a
+2
Ia=dxxedt.
01
.2
记fx,t二xe%,则
fx,t在0「:
1,a丨或0,=a,1上连续,且xe」xdx对一切
1,al或ta,i1上一致收敛,所以
由定理15,得
a:
Ia=dxxe"
dt=dtxeJx
10
当定理15中y的取值范围为无限区间
a,•:
时,则有如下定理:
定理16设fx,y在a,亠—I上连续,若
(i)fx,ydx关于y在任何闭区间C,d】上一致收敛,
dbO
fx,ydy关于x在任何闭区间b,b】上一致收敛,
(ii)积分Jdx』f(x,y)dy与jdyj|f(x,y柑x(*)
acca
中只有一个收敛,则(*)式中另一个积分也收敛,且
-be-be-be-be
dxfx,ydy二dyfx,ydx.
同定理15一样,满足定理16中两个条件的积分也可交换积分顺序,其积分值不变.
3.小结本文全面的总结了含参变量无穷积分的一致收敛性的判别法和性质,并对某些定理作出了应用举例,然而要熟练掌握以上定理,关键是理解它们各自应用的范围及其相互联系,以趋达到灵活应用.
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414
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643
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