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2.为了调查某产品的销售情况,销售部门从下属的92家销售连锁店中抽取30家了解情况.若用系统抽样法,则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为( )
A.3,2B.2,3
C.2,30D.30,2
答案 A
解析 92被30除余数为2,故需剔除2个数,90÷
30=3,
∴间隔为3.
3.将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为50的样本,按系统抽样的方法分为50组,如果第一组编号为000,001,002,…,019,且第一组随机抽取的编号为015,则抽取的第35个编号为( )
A.700B.669C.695D.676
答案 C
解析 由题意可知,第一组随机抽取的编号l=15,
分段间隔数k=
=
=20,则抽取的第35个编号为a35=15+(35-1)×
20=695.
4.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2∶3∶5,现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型产品有16件,那么此样本容量n=________.
答案 80
解析 依题意A、B、C三种不同型号样本个数之比为2∶3∶5,
∴样本中B型产品有24件,C型产品有40件,
∴n=16+24+40=80.
题型一 简单随机抽样
例1 下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?
(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
(2)盒子里共有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
(3)从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
(4)某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
思维点拨 由简单随机抽样的特征判断.
解
(1)不是简单随机抽样.因为被抽取的样本总体的个体数是无限的,而不是有限的.
(2)不是简单随机抽样.因为它是放回抽样.
(3)不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取.
(4)不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.
思维升华
(1)简单随机抽样需满足:
①被抽取的样本总体的个体数有限;
②逐个抽取;
③是不放回抽取;
④是等可能抽取.
(2)简单随机抽样常有抽签法(适用总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况).
(2013·
江西)总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
A.08B.07C.02D.01
答案 D
解析 从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02,14,07,01,所以第5个个体编号为01.
题型二 系统抽样
例2 将参加夏令营的600名学生编号为001,002,…,600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数依次为( )
A.26,16,8B.25,17,8
C.25,16,9D.24,17,9
思维点拨 根据“等距”抽样确定各营区被抽中的人数.
解析 由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1).
令3+12(k-1)≤300得k≤
,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;
令300<
3+12(k-1)≤495得
<
k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17.
结合各选项知,选B.
思维升华
(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
(2)使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.
(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.
陕西)某单位有840名职工,现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,…,840随机编号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )
A.11B.12C.13D.14
解析 由
=20,即每20人抽取1人,所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为
=12(人).
题型三 分层抽样
例3 (2014·
广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图
(1)和图
(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A.200,20B.100,20
C.200,10D.100,10
解析 该地区中小学生总人数为
3500+2000+4500=10000,
则样本容量为10000×
2%=200,其中抽取的高中生近视人数为2000×
2%×
50%=20,故选A.
思维升华 进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:
(1)
(2)总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.
湖南)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n等于( )
A.9B.10C.12D.13
解析 ∵
,∴n=13.
五审图表找规律
典例:
(12分)某单位有2000名职工,老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中,如下表所示:
人数
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
80
200
中年
120
160
240
600
青年
280
720
1200
320
480
1040
2000
(1)若要抽取40人调查身体状况,则应怎样抽样?
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的
座谈会,则应怎样抽选出席人?
(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解,则应怎样抽样?
审题路线图
抽取40人调查身体状况
↓(观察图表中的人数分类统计情况)
样本人群应受年龄影响
↓(表中老、中、青分类清楚,人数确定)
要以老、中、青分层,用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓(讨论单位发展与薪金调整)
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚,人数确定)
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层,用分层抽样
要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解
↓(可认为亚运会是大众体育盛会,一个单位人员对情况了解相当)
将单位人员看作一个整体
↓(从表中数据看总人数为2000人)
人员较多,可采用系统抽样
规范解答
解
(1)按老年、中年、青年分层,用分层抽样法抽取,[1分]
抽取比例为
.[2分]
故老年人,中年人,青年人各抽取4人,12人,24人.[4分]
(2)按管理、技术开发、营销、生产分层,用分层抽样法抽取,[5分]
,[6分]
故管理,技术开发,营销,生产各部门抽取2人,4人,6人,13人.[8分]
(3)用系统抽样,
对全部2000人随机编号,号码从0001~2000,每100号分为一组,从第一组中用随机抽样抽取一个号码,然后将这个号码分别加100,200,…,1900,共20人组成一个样本.[12分]
温馨提醒
(1)本题审题的关键有两点,一是对图表中的人员分类情况和数据要审视清楚;
二是对样本的功能要审视准确.
(2)本题易错点是,对于第
(2)问,由于对样本功能审视不准确,按老、中、青三层分层抽样.
方法与技巧
1.简单随机抽样的特点:
总体中的个体性质相似,无明显层次;
总体容量较小,尤其是样本容量较小;
用简单随机抽样法抽取的个体带有随机性;
个体间无固定间距.
2.系统抽样的特点:
适用于元素个数很多且均衡的总体;
各个个体被抽到的机会均等;
总体分组后,在起始部分抽样时,采用简单随机抽样.
3.分层抽样的特点:
适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;
分层后,在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样.
失误与防范
进行分层抽样时应注意以下几点:
(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是层内样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠.
(2)为了保证每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性相同.
A组 专项基础训练
(时间:
25分钟)
1.(2013·
课标全国Ⅰ)为了了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( )
A.简单随机抽样
B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样
D.系统抽样
解析 不同的学段在视力状况上有所差异,所以应该按照学段分层抽样.
2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A.6B.8C.10D.12
解析 设样本容量为N,则N×
=6,∴N=14,
∴高二年级所抽学生人数为14×
=8.
3.某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270,使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段,如果抽得号码有下列四种情况:
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270
关于上述样本的下列结论中,正确的是( )
A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样
C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样
解析 因为③为系统抽样,所以选项A不对;
因为②为分层抽样,所以选项B不对;
因为④不为系统抽样,所以选项C不对,故选D.
4.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应为( )
A.13B.19C.20D.51
解析 抽样间隔为46-33=13,
故另一位同学的编号为7+13=20,选C.
5.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人,其中高三学生是高一学生的两倍,高二学生比高一学生多300人,现在按
的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本,则高一学生应抽取的人数为( )
A.8B.11C.16D.10
解析 设高一学生有x人,则高三学生有2x人,高二学生有(x+300)人,学校共有4x+300=3500(人),解得x=800(人),由此可得按
的抽样比例用分层抽样的方法抽取样本,高一学生应抽取的人数为
×
800=8(人),故应选A.
6.已知某商场新进3000袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否达标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查,若第一组抽出的号码是11,则61组抽出的号码为________.
答案 1211
解析 每组袋数:
d=
=20,
由题意知这些号码是以11为首项,20为公差的等差数列,a61=11+60×
20=1211.
7.将某班的60名学生编号为01,02,…,60,采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号码为04,则剩下的四个号码依次是________.
答案 16,28,40,52
解析 编号组数为5,间隔为
=12,
因为在第一组抽得04号:
4+12=16,16+12=28,28+12=40,40+12=52,
所以其余4个号码为16,28,40,52.
8.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取________名学生.
答案 15
解析 抽取比例与学生比例一致.
设应从高二年级抽取x名学生,则x∶50=3∶10.解得x=15.
9.某校共有学生2000名,各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名,抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为________.
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
答案 16
解析 依题意可知二年级的女生有380人,那么三年级的学生人数应该是2000-373-377-380-370=500,即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2,故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64×
=16.
10.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本,将160名学生从1~160编号,按编号顺序平均分成20组(1~8号,9~16号,…,153~160号),若第16组抽出的号码为123,则第2组中应抽出个体的号码是________.
答案 11
解析 由题意可知,系统抽样的组数为20,间隔为8,设第1组抽出的号码为x,则由系统抽样的法则可知,第n组抽出个体的号码应该为x+(n-1)×
8,所以第16组应抽出的号码为x+(16-1)×
8=123,解得x=3,所以第2组中应抽出个体的号码为3+(2-1)×
8=11.
B组 专项能力提升
15分钟)
11.(2014·
湖南)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2<
p3B.p2=p3<
p1
C.p1=p3<
p2D.p1=p2=p3
解析 由于三种抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是相等的,因此p1=p2=p3.
12.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C.则抽到的人中,做问卷B的人数为( )
A.7B.9C.10D.15
解析 由系统抽样的特点知:
抽取号码的间隔为
=30,抽取的号码依次为9,39,69,…,939.落入区间[451,750]的有459,489,…,729,这些数构成首项为459,公差为30的等差数列,设有n项,显然有729=459+(n-1)×
30,解得n=10.所以做问卷B的有10人.
13.某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为________.
答案 160
解析 关键是确定样本的抽取比例.
男生人数为560×
=160.
14.
200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取40名职工作样本,采用系统抽样方法,按1~200编号分为40组,分别为1~5,6~10,…,196~200,第5组抽取号码为22,第8组抽取号码为________.若采用分层抽样,40岁以下年龄段应抽取________人.
答案 37 20
解析 将1~200编号分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22+3×
5=37;
由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×
50%=100,设在40岁以下年龄段中应抽取x人,则
,解得x=20.
15.一个总体中有90个个体,随机编号0,1,2,…,89,依从小到大的编号顺序平均分成9个小组,组号依次为1,2,3,…,9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同,若m=8,则在第8组中抽取的号码是________.
答案 76
解析 由题意知:
m=8,k=8,则m+k=16,也就是第8组抽取的号码个位数字为6,十位数字为8-1=7,故抽取的号码为76.
16.某公路设计院有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取,不用剔除个体,如果参会人数增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求n.
解 总体容量为6+12+18=36.
当样本容量是n时,由题意知,系统抽样的间隔为
,分层抽样的比例是
,抽取的工程师人数为
6=
,技术员人数为
12=
,技工人数为
18=
,所以n应是6的倍数,36的约数,即n=6,12,18.
当样本容量为(n+1)时,总体容量是35人,系统抽样的间隔为
,因为
必须是整数,所以n只能取6.即样本容量n=6.
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