高考数学一轮复习11集合讲义理Word下载.docx
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集合A,B的元素完全相同
A⊆B,B⊆A
A=B
空集
不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集
∀x,x∉∅,∅⊆A,∅B(B≠∅)
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA❹
图形表示
意义
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
{x|x∈U,且x∉A}
元素互异性,即集合中不可能出现相同的元素.此性质常用于题目中对参数的取舍.
任何集合是其自身的子集.
(1)注意∅,{0}和{∅}的区别:
∅是集合,不含任何元素;
{0}含有一个元素0;
{∅}含有一个元素∅,且∅∈{∅}和∅⊆{∅}都正确.
(2)在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如若A⊆B,则要考虑A=∅和A≠∅两种可能.
(1)求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”,集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素,剩下的元素构成的集合即为∁UA.
(2)补集∁UA是针对给定的集合A和U(A⊆U)相对而言的一个概念,一个确定的集合A,对于不同的集合U,它的补集不同.
[熟记常用结论]
1.A⊆B,B⊆C⇒A⊆C;
AB,BC⇒AC.
2.含有n个元素的集合A={a1,a2,…,an}有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
3.A∪∅=A,A∪A=A,A∪B=B∪A,A⊆(A∪B),B⊆(A∪B).
4.A∩∅=∅,A∩A=A,A∩B=B∩A,A∩B⊆A,A∩B⊆B.
5.A∩B=A∪B⇔A=B.
6.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)=∅.
7.(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B),(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B).
8.A∪∁UA=U,A∩∁UA=∅,∁U(∁UA)=A,∁AA=∅,∁A∅=A.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”,错的打“×
”)
(1){x|x≤1}={t|t≤1}.( )
(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( )
(3)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(4)若A∩B=A∩C,则B=C.( )
答案:
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×
二、选填题
1.设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:
选C A中包含的整数元素有-2,-1,0,1,2,共5个,所以A∩Z中的元素个数为5.
2.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是( )
A.-3∈AB.3∉B
C.A∩B=BD.A∪B=B
选C 由题意知A={y|y≥-1},B={x|x≥2},故A∩B={x|x≥2}=B.
3.设全集U={1,2,3,4},集合S={1,3},T={4},则(∁US)∪T=( )
A.{2,4}B.{4}
C.∅D.{1,3,4}
选A 由补集的定义,得∁US={2,4},从而(∁US)∪T={2,4},故选A.
4.集合{-1,0,1}共有________个子集.
因为集合有3个元素,所以集合共有23=8个子集.
8
5.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________.
由题意得m+2=3或2m2+m=3,则m=1或m=-.当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合元素的互异性可知不满足题意;
当m=-时,m+2=,而2m2+m=3,故m=-.
-
考点一
[基础自学过关]
集合的含义及表示
[题组练透]
1.(2018·
全国卷Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )
A.9 B.8
C.5D.4
选A 法一:
将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),
(1,0),(1,1),共有9个.故选A.
法二:
根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.
2.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则a=( )
A.B.
C.0D.0或
选D 当a=0时,显然成立;
当a≠0时,Δ=(-3)2-8a=0,即a=.
3.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=,则b-a=( )
A.1B.-1
C.2D.-2
选C 因为{1,a+b,a}=,a≠0,所以a+b=0,则=-1,所以a=-1,b=1,所以b-a=2.
4.已知集合A={x∈N|1<x<log2k},若集合A中至少有3个元素,则k的取值范围为( )
A.(8,+∞)B.[8,+∞)
C.(16,+∞)D.[16,+∞)
选C 因为集合A中至少有3个元素,所以log2k>
4,所以k>
24=16,故选C.
[名师微点]
与集合中的元素有关问题的求解策略
(1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合.
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
考点二
[师生共研过关]
集合的基本关系
[典例精析]
(1)设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( )
A.P⊆QB.Q⊆P
C.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP
(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
[解析]
(1)因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>
0},所以∁RP={y|y>
1},所以∁RP⊆Q,故选C.
(2)∵B⊆A,
∴①若B=∅,则2m-1<m+1,此时m<2.
②若B≠∅,则解得2≤m≤3.
由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3].
[答案]
(1)C
(2)(-∞,3]
1.(变条件)在本例
(2)中,若“B⊆A”变为“BA”,其他条件不变,如何求解?
解:
∵BA,
∴①若B=∅,成立,此时m<2.
②若B≠∅,则或
解得2≤m≤3.
由①②可得m的取值范围为(-∞,3].
2.(变条件)在本例
(2)中,若“B⊆A”变为“A⊆B”,其他条件不变,如何求解?
若A⊆B,则即所以m的取值范围为∅.
[解题技法]
1.集合间基本关系的2种判定方法和1个关键
两种方法
(1)化简集合,从表达式中寻找两集合的关系;
(2)用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系
一个关键
关键是看它们是否具有包含关系,若有包含关系就是子集关系,包括相等和真子集两种关系
2.根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.
(1)若集合元素是一一列举的,依据集合间的关系,转化为解方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性;
(2)若集合表示的是不等式的解集,常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.
[过关训练]
1.设M为非空的数集,M⊆{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素,则这样的集合M共有( )
A.6个B.5个
C.4个D.3个
选A 由题意知,M={1},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.
2.已知集合A={1,2},B={x|x2+mx+1=0,x∈R},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.
①若B=∅,则Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.
②若1∈B,则12+m+1=0,
解得m=-2,此时B={1},符合题意;
③若2∈B,则22+2m+1=0,
解得m=-,此时B=,不合题意.
综上所述,实数m的取值范围为[-2,2).
[-2,2)
考点三
集合的基本运算
[典例精析]
(1)(2018·
天津高考)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )
A.{-1,1}B.{0,1}
C.{-1,0,1}D.{2,3,4}
(2)已知集合A={x|x2-x-12>
0},B={x|x≥m}.若A∩B={x|x>
4},则实数m的取值范围是( )
A.(-4,3)B.[-3,4]
C.(-3,4)D.(-∞,4]
[解析]
(1)∵A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},
∴A∪B={-1,0,1,2,3,4}.
又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.
(2)集合A={x|x<-3或x>
4},
∵A∩B={x|x>
4},∴-3≤m≤4,故选B.
[答案]
(1)C
(2)B
1.集合基本运算的方法技巧
(1)当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn图运算.
(2)当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍,可以单独检验.
2.集合的交、并、补运算口诀
1.[口诀第1句]集合M={y|y=-x2,x∈R},N={x|x2+y2=2,x∈R},则M∩N=( )
A.{(-1,-1),(1,-1)}B.{-1}
C.[-1,0]D.[-,0]
选D 由y=-x2,x∈R,得y≤0,所以集合M=(-∞,0],由x2+y2=2,x∈R,得N=[-,],所以M∩N=[-,0],故选D.
2.[口诀第2句]若集合A={x|-1<x<1,x∈R},B={x|y=,x∈R},则A∪B=( )
A.[0,1)B.(-1,+∞)
C.(-1,1)∪[2,+∞)D.∅
选C 由题意得B={x|x≥2},所以A∪B={x|-1<x<1或x≥2}.
3.[口诀第3句]已知集合A={x|x2-x-2>
0},则∁RA=( )
A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>
2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
选B ∵x2-x-2>
0,
∴(x-2)(x+1)>
∴x>
2或x<-1,即A={x|x>
2或x<-1}.
则∁RA={x|-1≤x≤2}.故选B.
4.设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x<a},若M∩N≠∅,则实数a的取值范围是________.
∵M={x|-1≤x<2},N={x|x<a},且M∩N≠∅,∴a>
-1.
(-1,+∞)
考点四
集合的新定义问题
(1)如图所示的Venn图中,A,B是两个非空集合,定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=},B={y|y=3x,x>
0},则A⊗B为( )
A.{x|0<x<2}B.{x|1<x≤2}
C.{x|0≤x≤1或x≥2}D.{x|0≤x≤1或x>
2}
(2)给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:
①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;
②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;
③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.
其中正确结论的序号是________.
[解析]
(1)因为A={x|0≤x≤2},B={y|y>
1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},所以A⊗B=∁A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1或x>
2}.
(2)①中,-4+(-2)=-6∉A,所以①不正确;
②中,设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;
③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=k,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但3k+k∉(A1∪A2),故A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.
[答案]
(1)D
(2)②
解决集合新定义问题的2个策略
紧扣新定义
先分析新定义的特点,常见的新定义有新概念、新公式、新运算和新法则等,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到解题的过程中,这是解答新定义型问题的关键所在
用好集合的性质
集合的性质(集合中元素的性质、集合的运算性质等)是解答集合新定义问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件,在关键之处用好集合的性质
1.定义集合的商集运算为=,已知集合A={2,4,6},B=,则集合∪B中的元素个数为( )
A.6B.7
C.8D.9
选B 由题意知,B={0,1,2},
=,
则∪B=,
共有7个元素,故选B.
2.设P和Q是两个集合,定义集合P-Q={x|x∈P,且x∉Q},如果P={x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么P-Q=( )
A.{x|0<x<1}B.{x|0<x≤1}
C.{x|1≤x<2}D.{x|2≤x<3}
选B 由log2x<1,得0<x<2,
所以P={x|0<x<2}.
由|x-2|<1,得1<x<3,
所以Q={x|1<x<3}.
由题意,得P-Q={x|0<x≤1}.
一、题点全面练
1.已知集合M={x|x2+x-2=0},N={0,1},则M∪N=( )
A.{-2,0,1} B.{1}
C.{0}D.∅
选A 集合M={x|x2+x-2=0}={x|x=-2或x=1}={-2,1},N={0,1},则M∪N={-2,0,1}.故选A.
2.设集合A={x|x2-x-2<0},集合B={x|-1<x≤1},则A∩B=( )
A.[-1,1]B.(-1,1]
C.(-1,2)D.[1,2)
选B ∵A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x|-1<x≤1},∴A∩B={x|-1<x≤1}.故选B.
3.设集合M={x|x=2k+1,k∈Z},N={x|x=k+2,k∈Z},则( )
A.M=NB.M⊆N
C.N⊆MD.M∩N=∅
选B ∵集合M={x|x=2k+1,k∈Z}={奇数},N={x|x=k+2,k∈Z}={整数},∴M⊆N.故选B.
4.设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={1,2,3},则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{4}B.{2,4}
C.{4,5}D.{1,3,4}
选A 图中阴影部分表示在集合A中但不在集合B中的元素构成的集合,故图中阴影部分所表示的集合是A∩(∁UB)={4},故选A.
5.(2018·
湖北天门等三地3月联考)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )
A.3B.4
C.5D.6
选B a∈{1,2,3},b∈{4,5},则M={5,6,7,8},即M中元素的个数为4,故选B.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.已知集合M={x|y=lg(2-x)},N={y|y=+},则( )
A.M⊆NB.N⊆M
C.M=ND.N∈M
选B ∵集合M={x|y=lg(2-x)}=(-∞,2),N={y|y=+}={0},∴N⊆M.故选B.
2.(2019·
皖南八校联考)已知集合A={(x,y)|x2=4y},B={(x,y)|y=x},则A∩B的真子集个数为( )
A.1B.3
C.5D.7
选B 由得或
即A∩B={(0,0),(4,4)},
∴A∩B的真子集个数为22-1=3.
3.已知集合P={y|y2-y-2>
0},Q={x|x2+ax+b≤0}.若P∪Q=R,且P∩Q=(2,3],则a+b=( )
A.-5B.5
C.-1D.1
选A 因为P={y|y2-y-2>
0}={y|y>
2或y<-1}.由P∪Q=R及P∩Q=(2,3],得Q=[-1,3],所以-a=-1+3,b=-1×
3,即a=-2,b=-3,a+b=-5,故选A.
4.已知集合M=,集合N=,则( )
A.M∩N=∅B.M⊆N
C.N⊆MD.M∪N=M
选B 由题意可知,M==,N=,所以M⊆N,故选B.
安庆二模)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},若B⊆A,则实数a=( )
A.-1B.2
C.-1或2D.1或-1或2
选C 因为B⊆A,所以必有a2-a+1=3或a2-a+1=a.
①若a2-a+1=3,则a2-a-2=0,解得a=-1或a=2.
当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足条件;
当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足条件.
②若a2-a+1=a,则a2-2a+1=0,解得a=1,
此时集合A={1,3,1},不满足集合中元素的互异性,所以a=1应舍去.
综上,a=-1或2.故选C.
6.(2018·
合肥二模)已知A=[1,+∞),B=,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞)B.
C.D.(1,+∞)
选A 因为A∩B≠∅,所以解得a≥1.
(二)难点专练——适情自主选
7.已知全集U={x∈Z|0<x<8},集合M={2,3,5},N={x|x2-8x+12=0},则集合{1,4,7}为( )
A.M∩(∁UN)B.∁U(M∩N)
C.∁U(M∪N)D.(∁UM)∩N
选C 由已知得U={1,2,3,4,5,6,7},N={2,6},M∩(∁UN)={2,3,5}∩{1,3,4,5,7}={3,5},M∩N={2},∁U(M∩N)={1,3,4,5,6,7},M∪N={2,3,5,6},∁U(M∪N)={1,4,7},(∁UM)∩N={1,4,6,7}∩{2,6}={6},故选C.
8.(2018·
日照联考)已知集合M=,N=,则M∩N=( )
A.∅B.{(4,0),(3,0)}
C.[-3,3]D.[-4,4]
选D 由题意可得M={x|-4≤x≤4},N={y|y∈R},所以M∩N=[-4,4].故选D.
9.(2019·
河南八市质检)在实数集R上定义运算*:
x*y=x·
(1-y).若关于x的不等式x*(x-a)>
0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是( )
A.[0,2]B.[-2,-1)∪(-1,0]
C.[0,1)∪(1,2]D.[-2,0]
选D 依题意可得x(1-x+a)>
0.因为其解集为{x|-1≤x≤1}的子集,所以当a≠-1时,0<1+a≤1或-1≤1+a<0,即-1<a≤0或-2≤a<-1.当a=-1时,x(1-x+a)>
0的解集为空集,符合题意.所以-2≤a≤0.
10.非空数集A满足:
(1)0∉A;
(2)若∀x∈A,有∈A,则称A是“互倒集”.给出以下数集:
①{x∈R|x2+ax+1=0};
②{x|x2-4x+1<0};
③;
④.
其中“互倒集”的个数是( )
A.4B.3
C.2D.1
选C 对于①,当-2<a<2时为空集,所以①不是“互倒集”;
对于②,{x|x2-4x+1<0}={x|2-<x<2+},所以<<,即2-<<2+,所以②是“互倒集”;
对于③,y′=≥0,故函数y=是增函数,当x∈时,y∈[-e,0),当x∈(1,e]时,y∈,所以③不是“互倒集”;
对于④,y∈∪=且∈,所以④是“互倒集”.故选C.
11.已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>
1}.
(1)分别求A∩B,(∁RB)∪A;
(2)已知集合C={x|1<x<a},若C⊆A,求实数a的取值范围.
(1)∵3≤3x≤27,即31≤3x≤33,
∴1≤x≤3,∴A={x|1≤x≤3}.
∵log2x>
1,即log2x>
log22,
2,∴B={x|x>
∴A∩B={x|2<x≤3}.
∴∁RB={x|x≤2},
∴(∁RB)∪A={x|x≤3}.
(2)由
(1)知A={x|1≤x≤3},C⊆A.
当C为空集时,满足C⊆A,a≤1;
当C为非空集合时,可得1<a≤3.
综上所述,实数a的取值范围是(-∞,3].
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