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=n?
ivi/(mi+m2)。
而两球从球心相距最近到分开过程中,球“2继续受到向前的弹力作用,因此速度会更大,根据对称可猜想其速度恰好增大一
倍即也】+马,而这恰好是⑦式,因此⑦式就可上述推理轻松记住,⑥式
也就不难写出了。
如果⑥式的分子容易写成则可根据质量mi的乒乓球以速度W去碰原来静止的铅球〃2,碰撞后乒乓球被反弹回,因此应当是负的(“‘<
0),故分子写成mi-m2才行。
在“验证动量守恒定律”的实验
^1=一-一乃
中,要求入射球的质量E大于被碰球的质量也可山⑥式旳+牝解
释。
因为只有n?
i>
n?
2,才有>
0<
>
否则,若<
0,即入射球mi返回,由于摩擦,入射球力1再回来时速度已经变小了,不再是原来的巾‘To
另外,若将上面的⑤式变形可得:
乃二必即碰撞就两球相互鼎近的相对速度V!
-0等于碰撞后两球相互分开的相对速度诂-X。
山此可轻松记住⑤式。
再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。
二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式
如图2所示,在光滑水平面上,质量为“1、m2的两球发生对心弹性碰撞,碰撞前速度分别为W和1/2,求两球碰撞后各自的速度
设碰撞后速度变为和吃'
,在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得:
miVi+m2V2=miVif+rr)2"
2'
®
+土迅讶二+土迅^②
由①型1何・引)二廻仏-诂)③
由②旳肿-甘卜旳2也-评)④
山④/③X+乃二%+匕⑤
由③⑤式可以解出
斗_伽一+2加沁
1廻+儈⑥
巧_(%-+2巾乃
2叫W⑦
要记住上面⑥⑦式更是不容易的,而且推导也很费时间。
如果采用下面等效的方法则可轻松记住。
mi.“2两球以速度“和巾发生的对心弹性碰撞,可等效成m以速度巾去碰静止的力2球,再同时加上“2球以速度匕碰静止的mi球。
因此曲前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式,可得两球碰撞后各自的速度斗_%_旳)h地耳2那血-加血
1购i+叫+叫+叫;
论二叫+叫+叫知®
即可得到上面的⑥⑦式。
卩厂匕二必一冈,即碰撞询两球相互靠近的相对速度“W2等于碰撞后两球相互分开的相对速度必•"
冈。
山此可轻松记住⑤式,再结合①式可解得⑥⑦式。
例题:
如图3所示,有大小两个钢球,下面一个的质量为"
2,上面一个的质量为m2=3mio它们山地平面上高力处下落。
假定大球在和小球碰撞之前,先和地面碰撞反弹再与正下落的小球碰撞,而且所有的碰撞均是弹性的,这两个球的球心始终在一条竖直线上,则碰后上面mi球将上升的最大高度是多少
Q加
or
/了/水/
图3
解法1:
设两球下落力后的速度大小为"
,则
vi2=2gh?
Q)
选向上为正方向,球与地面碰撞后以速度W反弹并与正在以速度一力下落的rm球发生弹性碰撞,设rm和巾2两球碰撞后瞬间的速度分别变为和V2Z,在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能(动能)守恒定律得:
mi(—vi)+m2Vi-mivif+rr)2V2r②
林匕啸二抑"
+曲③
将m2=3mi代入,得
2vi=vi'
+3“2‘④
4讨二心窮⑤
由④⑤式消去吃'
得:
0=v[2-3vlv[+2片2
即g(W-2%)(甘-匕)
故解出=ui(舍去,因为该解就是rm球碰前瞬间的速度)
vif=2vi?
@
设碰后上面球mi上升的最大高度为X,则
0—2=~2gh1⑦
联立①⑥⑦式解出X=4/7O
解法2:
在解法1中,列出②③式后,可根据前面介绍的用等效法得到的“一动碰一动”的弹性碰撞公式,求出mi球碰撞后瞬间的速度巾‘O
选向上为正方向,mi、m2两球分别以速度一“和”1发生对心弹性碰撞,可等效成E以速度一“去碰静止的E球,再同时加上力2球以速度W碰静止的斗_(廻-空)(-乃)2邂乃
皿球。
因此加球碰撞后的速度1叫+怕+叫+型
将m2=3mi代入得Vi=2vio
以下同解法1。
解法3:
在解法1中,列出②③式后,也可根据前面介绍的用等效法得到的'
'
一动碰一动”的弹性碰撞公式,求出力2球碰撞后瞬间的速度吃‘o
选向上为正方向,mi.m2两球以速度一“和“发生的对心弹性碰撞,可等效成n?
i以速度一“去碰静I匕的m2球,再同时加上E球以速度"
1碰静止的rr)i球。
因此碰撞后力2球的速度
些(-匕)(先-冋
v>;
二廻-I■迅+4■购2
将n?
2=3mi代入解得"
=0o
从加1球开始下落到力1球上升的最大高度,对加1、力2两球组成的系统,lil能量守恒得:
(n?
i+n?
2)gh=migh'
故解出加=4ho
解法4:
设两球下落力后的速度大小为W,则
®
选向上为正方向,力2球与地面碰撞后以速度"
反弹并与正在以速度一“下落的E球发生弹性碰撞,若以E球为参考系,则皿球以相对巾球为一2巾的速度去碰静止的力2球,由“一动碰一静”的弹性碰撞公式得:
呼=伽—乜)(_2叩
马+廻
山于碰前"
2球对地的具有向上的速度VI,
斗_网-邂)(-2引)
故碰后mi球对地的速度为:
1附+附+v1=2vio
上面的解法1属于常规的数学解法,求解比较麻烦,用时间也比较长而且容易出错。
而解法2、3、4直接应用巧记得到的弹性碰撞速度公式求解,简单而不易出错,是比较好的选择。
二.知识归纳、总结:
(一)弹性碰撞和非弹性碰撞
1、碰撞
碰撞是指相对运动的物体相遇时,在极短的时间内它们的运动状态发生显着变化的过程。
2、碰撞的分类(按机械能是否损失分类)
(1)弹性碰撞:
如果碰撞过程中机械能守恒,即为弹性碰撞。
(2)非弹性碰撞:
碰撞过程中机械能不守恒的碰撞。
3、碰撞模型
相互作用的两个物体在很多情况下皆可当作碰撞处理,那么对相互作用中两物体相距恰“最近”、相距恰“最远”或恰上升到“最高点”等一类临界问题,求解的关键都是“速度相等”,具体分析如下:
(1)如图所示,光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体,A、B两物体相距最近时,两物体速度必定相等,此时弹簧最短,其压缩量最大。
A
wvw
(2)如图所示,物体A以速度vo滑到静止在光滑水平面上的小车B上,当A在B上滑行的距离最远时,A、B相对静止,A、B两物体的速度必定相等。
I1
..一nB
(3)如图所示,质量为M的滑块静止在光滑水平面上,滑块的光滑弧面底部与桌面相切,一个质量为m的小球以速度V。
向滑块滚来,设小球不能越过滑块,则小球到达滑块上的最高点时(即小球竖直方向上的速度为零),两物体的速度肯定相等(方向为水平向右)。
(二)对心碰撞和非对心碰撞
2、对心碰撞
碰撞前后物体的速度都在同一条直线上的碰撞,乂称正碰。
2、非对心碰撞
碰撞前后物体的速度不在同一条直线上的碰撞。
3、散射
指微观粒子的碰撞。
(三)反冲
反冲运动
(1)定义:
原来静止的系统,当其中一部分运动时,另一部分向相反方向的运动,就叫做反冲运动。
(2)原理:
反冲运动的基本原理仍然是动量守恒定律,当系统所受的外力之和为零或外力远远小于内力时,系统的总量守恒,这时,如果系统的一部分获得了某一方向的动量,系统的剩余部分就会在这一方向的相反方向上获得同样大小的动量。
(3)公式:
若系统的初始动量为零,则动量守恒定律形式变为:
O=miViz+m2V2'
・
此式表明,做反冲运动的两部分,它们的动量大小相等,方向相反,而它们的速率则与质量成反比。
(4)应用:
反冲运动有利也有害,有利的一面我们可以应用,比如农田、园林的喷灌装置、旋转反击式水轮发电机、喷气式飞机、火箭、宇航员在太空行走等等。
反冲运动不利的一面则需要尽力去排除,比如开枪或开炮时反冲运动对射击准确性的影响等。
(四)火箭
1、火箭:
现代火箭是指一种黑喷射高温高压燃气获得反作用向前推进的E行器。
2、火箭的工作原理:
动量守恒定律
当火箭推进剂燃烧时,从尾部喷出的气体具有很大的动量,根据动量守恒定律,火箭获得大小相等、方向相反的动量,因而发生连续的反冲现象,随着推进剂的消耗。
火箭的质量逐渐减小,加速度不断增大,当推进剂燃尽时,火箭即以获得的速度沿着预定的空间轨道飞行。
3、火箭飞行能达到的最大飞行速度,主要决定于两个因素:
(1)喷气速度:
现代液体燃料火箭的喷气速度约为s,提高到3〜4km/s需很高的技术水平。
(2)质量比(火箭开始飞行的质量与火箭除燃料外的箭体质量之比),现代火箭能达到的质量比不超过10o
(五)用动量概念表示牛顿第二定律
1、牛顿第二定律的动量表达式
Ar
2、动量变化率
山反映动量变化的快慢,大小等于物体所受合力。
3、冲量
在物理学中,冲量的概念是反映力对时间的积累效果,不难想像,一个水平恒力作用在放置于光滑水平面上的物体,其作用时间越长,速度的改变越大,表明力的累积效果越大,在物理学中,力和力的作用时间的乘积叫做力的冲量
(1)定义:
作用在物体上的力和力的作用时间的乘积,叫做该力对物体的冲量。
(2)公式:
常用符号I表示冲量,即匸F・t。
(3)单位:
在国际单位制中,力F的单位是N,时间t的单位是s,所以冲量的单位是N・s,动量与冲量的单位关系是:
IN・s“kg・m/s,但要区别使用。
1如果力的方向是恒定的,则冲量的方向与力的方向相同,如果力的方向是变化的,则冲量的方向与相应时间内物体动量变化量的方向相同。
2冲量的运算服从平行四边形定则,如果物体所受的每一个外力的冲量都在同一条直线上,那么选定正方向后,每一个力的冲量的方向可以用正、负号表示,此时冲量的运算就可简化为代数运算。
3冲量描述的是力F对作用时间t的累积效果,力越大,作用时间越长,冲量就越大。
4冲量是一个过程量,讲冲量必须明确研究对象和作用过程,即必须明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体的冲量。
5计算冲量时,一定要明确是计算分力的冲量还是合力的冲量,如果是计算分力的冲量还必须明确是哪个分力的冲量。
6在F—t图象下的面积,数值上等于力的冲量,如图1所示,若求变力的冲量,仍可用“面积法”表示,如图2所示。
4、动量定理
(1)内容:
物体在一个过程中始、末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。
(2)表达式:
l=p‘—p或F合t=mvz—mv.
(3)推导:
设质量为m的物体在合外力F作用下沿直线运动,经过时间
【典型例题】
例1、质量为mi的物体,以速度vi与原来静止的物体m2发生完全弹性碰撞,如图所示,设碰撞后它们的速度分别为叫和v‘2,试用mi、m2,vi表示vi和V‘2o
分析:
碰撞过程都要遵守动量守恒定律,据此可以列出包含上述各已知量和未知量的方程,弹性碰撞中没有机械能损失,于是可以列出另一个方程,两个方程联立,把陷和口作为未知量解岀来就可以了。
解:
根据动量守恒定律:
me尸miH+mzVX根据完全弹性碰撞过程中机械能守恒有
山以上两式解得
/»
-m2
vj=儿
碰撞结束时mi的速度"
+◎①
2“
V2=V]
m2的速度②
讨论:
(1)当mi=m2,即两物体的质量相等时,由①②两式得
叭=0,叫=#,即两者交换速度。
(2)当mi»
m2,即第一个物体的质量比第二个物体大得多时,
mi,mi+mz^mi,由式得儿=儿少2=2儿
(3)当mi«
m2时,即第一个物体的质量比第二个物体小得多时,mi-m2
2“
~—m2,由①②式得v,i=-vrv,2=0
则下列说法中正确的是()
A、两个人跳车后,
B、两个人跳车后,
C、两个人跳车后,
D、两个人跳车后,
例2、如图所示,小车静止在光滑水平面上,两个质量相等的人A和B,分别站在车的两端,A向前跳后B再向后跳,且两个人跳离车时对地的速度相等,车向后以一定速度运动,A、B受到的冲量一样大车向前以一定速度运动,A、B受到的冲量一样大车速为零,B受到的冲量大些
车速为零,A受到的冲量大些
不少同学没有通过分析和推证,就以为:
既然B在A后跳,由于反冲,车最终应向前运动;
既然质量相等的A、B两个人以相等的对地速率跳离车,由于动量相等,于是两人所受的冲量大小相等,因此错选了Bo
解:
选地作参考系,取向前方向为正方向,以两人和车的整体为对象,设人、车质量分别为m和人跳离车时对地速率为vo,由动量守恒定律得:
mvo-mvo+Mv=O
得到v=0,即车最终静止。
再以A和车为研究对象,山动量守恒定律得:
mvo+(M+m)vi=O
m
解得v尸M+八
于是对A,山动量定理得:
lA=ApA=mvo—O=mvo
v,
m.nt
%1+—对B:
Ib=Apb=—mvo-mvi=—mvi++lfJ=—M比较得到Ia>
|Ib|.
答案:
D
例3、质量是40kg的铁锤从5m高处落下,打在水泥桩上,跟水泥桩撞击的时间是,撞击时,铁锤对桩的平均冲击力有多大
铁锤与木桩作用过程中是锤自身重力与木桩平均冲击力共同作用使其减速到零的过程,该过程的初速度即铁锤自由下落5m的末速度。
1,
—mv
设铁锤自由下落5m时的速度为s由机械能守恒得mgh=2①铁锤与木桩作用过程中,设平均冲击力为F,以向下为正方向,由动量定理得(mg—F)t=0—mv②
将题给条件m=40kg,h=5m,t=,g取10m/s2,代入两式可解得,铁锤对桩的平均冲击力F=8400N・
8400N
例4、如图所示,质量为M=300kg的小船,长为L=3m,浮在静水中,开始时质量为m=60kg的人站在船头,人和船均处于静止状态,若此人从船头走到船尾,不计水的阻力,则船将前进多远
人在船上走,船将向人走的反方向运动;
由系统动量守恒知,任一时刻船、人的总动量都等于零,所以人走船动,人停船停,人走要经过加速、减速的过程,不能认为是匀速运动,所以船的运动也不是匀速运动,但可以用
_5*—S
v=-p=mv=m-
平均速度/表示,对应的是平均动量t,t是相同的,但要注意S
均应是对地的,所以SbL+s紺因s船为未知量,包括大小、方向。
S人对沪SEB+S船对地,人、船组成的系统动量守恒,取人行进的方向为正方向,不考虑未知量S船的正、负。
由于每时每刻都有以上关系式,则關人般
m(L+s船)[Ms船_0
B|Jt_一
mL60x3=m=-0.5m
山上式解得s.沪加+M60+300
负号表示船运动的方向与人行走的方向相反,则船向船头方向前进了。
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- 弹性 碰撞 速度 公式