步步高选修22第二章 222Word格式.docx
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跟踪训练1 已知三个正数a,b,c成等比数列但不成等差数列,求证:
,
不成等差数列.
证明 假设
成等差数列,
则2
=
+
∴4b=a+c+2
.①
∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,②
由②得b=
,代入①式,
得a+c-2
=(
-
)2=0,
∴a=c,从而a=b=c.
这与已知a,b,c不成等差数列相矛盾,
∴假设不成立.故
类型二 用反证法证明“至多、至少”类问题
例2 a,b,c∈(0,2),求证:
(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.
证明 假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1.
因为a,b,c∈(0,2),
所以2-a>
0,2-b>
0,2-c>
0.
所以
≥
>
1.
同理,
1,
三式相加,得
3,
即3>
3,矛盾.
所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.
引申探究
已知a,b,c∈(0,1),求证:
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于
.
证明 假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于
∵a,b,c都是小于1的正数,
∴1-a,1-b,1-c都是正数.
∴
>
即
,显然不成立.
∴(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于
反思与感悟 应用反证法常见的“结论词”与“反设词”
当命题中出现“至多”“至少”等词语时,直接证明不易入手且讨论较复杂.这时,可用反证法证明,证明时常见的“结论词”与“反设词”如下:
结论词
反设词
至少有一个
一个也没有
对所有x成立
存在某个x0不成立
至多有一个
至少有两个
对任意x不成立
存在某个x0成立
至少有n个
至多有n-1个
p或q
綈p且綈q
至多有n个
至少有n+1个
p且q
綈p或綈q
跟踪训练2 已知a,b,c是互不相等的实数,求证:
由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a和y3=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点.
证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点,
由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b,
得Δ1=(2b)2-4ac≤0,Δ2=(2c)2-4ab≤0,
且Δ3=(2a)2-4bc≤0.
同向不等式求和,得
4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0,所以a=b=c.
这与题设a,b,c互不相等矛盾,
因此假设不成立,从而命题得证.
类型三 用反证法证明唯一性命题
例3 求证:
方程2x=3有且只有一个根.
证明 ∵2x=3,∴x=log23.
这说明方程2x=3有根.
下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.
假设方程2x=3至少有两个根b1,b2(b1≠b2),
则2b1=3,2b2=3,两式相除得2b1-b2=1,
∴b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2矛盾.
∴假设不成立,从而原命题得证.
反思与感悟 用反证法证明唯一性命题的一般思路:
证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,可先证“存在性”,由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾,因此可用反证法证其唯一性.
跟踪训练3 若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,求证:
方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根.
证明 假设方程f(x)=0在区间[a,b]上至少有两个实根,设α、β为其中的两个实根.因为α≠β,不妨设α<
β,又因为函数f(x)在[a,b]上是增函数,所以f(α)<
f(β).这与假设f(α)=0=f(β)矛盾,所以方程f(x)=0在区间[a,b]上至多有一个实根.
1.证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”,第一步应假设( )
A.三角形中至少有一个直角或钝角
B.三角形中至少有两个直角或钝角
C.三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
答案 B
2.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°
”,应先假设这个三角形中( )
A.有一个内角小于60°
B.每一个内角都小于60°
C.有一个内角大于60°
D.每一个内角都大于60°
3.“a<
b”的反面应是( )
A.a≠bB.a>
b
C.a=bD.a=b或a>
答案 D
4.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( )
A.a不垂直于cB.a,b都不垂直于c
C.a⊥bD.a与b相交
5.用反证法证明:
关于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a≤-
或a≥-1时,至少有一个方程有实数根.
证明 假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零,得
则
解得-
<
a<
-1,
与a≤-
或a≥-1矛盾,故原命题成立.
用反证法证题要把握三点:
(1)必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能,要逐一论证,缺少任何一种可能,证明都是不全面的.
(2)反证法必须从否定结论进行推理,且必须根据这一条件进行论证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法.
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾,但推导出的矛盾必须是明显的.
课时作业
一、选择题
1.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是
①与已知条件矛盾;
②与假设矛盾;
③与定义、公理、定理矛盾;
④与事实矛盾.
其中正确的为( )
A.①②B.①③
C.①③④D.①②③④
2.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为( )
A.a,b,c都是偶数
B.a,b,c都是奇数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
解析 自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:
3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为“a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数”.
3.有下列叙述:
①“a>
b”的反面是“a<
b”;
②“x=y”的反面是“x>
y或x<
y”;
③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”;
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”.其中正确的叙述有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
解析 ①错,应为a≤b;
②对;
③错,应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上;
④错,应为三角形至少有2个钝角.
4.用反证法证明命题:
“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( )
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除
D.a不能被5整除
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b都不能被5整除”.
5.①已知p3+q3=2,证明:
p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2;
②若a,b∈R,|a|+|b|<
1,求证:
方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.
以下结论正确的是( )
A.①与②的假设都错误
B.①的假设正确;
②的假设错误
C.①与②的假设都正确
D.①的假设错误;
②的假设正确
解析 对于①,结论的否定是p+q>
2,故①中的假设错误;
对于②,其假设正确,故选D.
6.设a,b,c都是正数,则三个数a+
,b+
,c+
( )
A.都大于2
B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2
D.至少有一个不大于2
答案 C
解析 假设a+
2,b+
2,c+
2,
则(a+
)+(b+
)+(c+
)<
6.
又(a+
)
=(a+
)≥2+2+2=6,
这与假设得到的不等式相矛盾,从而假设不正确,所以这三个数至少有一个不小于2.
二、填空题
7.“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是
________________________________________________________________________.
答案 存在一个三角形,其外角最多有一个钝角
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”,“至少有两个”的否定是“最多有一个”.
8.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设________________.
答案 x=a或x=b
9.设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b=1;
②a+b=2;
③a+b>
2;
④a2+b2>
2.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是______.(填序号)
答案 ③
10.某珠宝店丢了一件珍贵珠宝,以下四人中只有一人说真话,只有一人偷了珠宝.甲:
我没有偷;
乙:
丙是小偷;
丙:
丁是小偷;
丁:
我没有偷.
根据以上条件,可以判断偷珠宝的人是________.
答案 甲
解析 假如甲:
我没有偷是真的,则乙:
丁是小偷是假的;
我没有偷就是真的,与他们四人中有一人说真话矛盾.
假如甲:
我没有偷是假的,则丁:
我没有偷就是真的,
丙是小偷,丙:
丁是小偷是假的,成立.
∴可以判断偷珠宝的人是甲.
11.若下列两个方程x2+(a-2)x+a2=0,x2+ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是____________________.
答案 (-∞,-8]∪[-2,+∞)
解析 若两方程均无实根,
则Δ1=(a-2)2-4a2=(3a-2)(-a-2)<
0,
∴a<
-2或a>
Δ2=a2+8a=a(a+8)<
∴-8<
0,故-8<
-2.
若两个方程至少有一个方程有实根,
则a≤-8或a≥-2.
三、解答题
12.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+
,b=y2-2z+
,c=z2-2x+
.求证a,b,c中至少有一个是大于0的.
证明 假设a,b,c都不大于0,
则a≤0,b≤0,c≤0,
∴a+b+c≤0,
而a+b+c=(x2-2y+
)+(y2-2z+
)+(z2-2x+
)=(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3,
∴a+b+c>
0.这与a+b+c≤0矛盾,
∴假设不成立,
故a,b,c中至少有一个是大于0的.
13.已知f(x)=ax+
(a>
1),求证:
方程f(x)=0没有负数根.
证明 假设x0是f(x)=0的负数根,
则x0<
0且x0≠-1,且ax0=-
∴0<
ax0<
1,∴0<
解得
x0<
2,这与x0<
0矛盾,
故方程f(x)=0没有负数根.
四、探究与拓展
14.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:
①∠A+∠B+∠C=90°
+90°
+∠C>180°
,这与三角形内角和为180°
矛盾,故假设错误;
②所以一个三角形不能有两个直角;
③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°
,∠B=90°
上述步骤的正确顺序为__________.(填序号)
答案 ③①②
15.对于直线l:
y=kx+1,是否存在这样的实数k,使得l与双曲线C:
3x2-y2=1的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称?
若存在,求出k的值;
若不存在,请说明理由.
解 假设存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
由
⇒(3-k2)x2-2kx-2=0.④
由②③得a(x1+x2)=k(x1+x2)+2,⑤
由④知x1+x2=
代入⑤整理得ak=3,与①矛盾.
故不存在实数k,使得A、B关于直线y=ax对称.
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