极坐标摆线文档格式.docx
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、
且
當
,上述參數方程式,依d=a或
分別表示內擺線或內次擺線;
時,上述參數方程式,依d=a或
分別表示外擺線或外次擺線。
在圖二中,設A點是滾動圓上的定點在出發時的位置。
我們選取一個坐標系,使得A點為原點而且滾動圓在x軸上向右滾動。
假設動圓滾動到某位置時,圓心為O,O點至x軸的垂足為I,圓上的定點的位置為P(x,y),以
為始邊,
為終邊的有向角為t弧度,P點至直線OI的垂足為M。
又設滾動圓的半徑為a。
因為滾動圓上的定點已由A點移動到P點,而滾動圓與x軸的切點已由A點轉移到I點,所以,滾動圓上的弧PI滾過線段
,亦即:
=弧PI的長=at。
於是,可得
上面的表示法就是擺線的參數方程式。
請注意:
時,
;
不過,
與
兩式卻對所有t值都成立。
我們乃至可讓參數t代表任意實數,如此,擺線成為可向兩邊無限延伸的週期曲線。
x坐標每經歷一段長度為
的區間,圖形就恢復原狀。
擺線與底線相交的點都是尖點(cusp)。
當參數t由0增至
時,擺線就是圖二中由A至C至B的部份,其中
,這一部份圖形稱為擺線的一拱(arch)。
同理,t由2π至4π、由4π至6π、……等所對應的圖形也都是一拱。
仿照前面的方式,我們也可求次擺線的參數方程式。
假設必然點與滾動圓的圓心的距離為d,底線是x軸,出發時定點的坐標為(0,a-d),其中d是滾動圓的半徑。
當動圓滾到圖二所示的位置時,定點的位置在
上且與O點的距離為d。
由此可知其參數方程式為
習題:
試根據上面參數方程式,說明長擺線(d>
a)為什麼會與本身相交而形成迴圈(見圖一的下圖)。
在圖二中,當圓向前滾動時,P點描繪出擺線,那麼P點在直線OI上的垂足M點會描繪出什麼圖形呢?
1634年,GillesPersonedeRoberval(1602~1675年,法國人)考慮這條曲線,而利用它求出擺線的一拱與其底線間的面積。
所以,後世將這條曲線稱為Roberval曲線。
圖二中的虛線,就是Roberval曲線在擺線一拱內的部份,根據前一小節所討論的結果,不難發現Roberval曲線的方程式為
在圖二中,
的中點是
,而當
時,Roberval曲線上的點
對
的對稱點是
因為此對稱點也在Roberval曲線上,所以,Robertval曲線在A與C間的部份對於點
成對稱。
(圖二中的M與N就是一對對稱點。
)由此可知:
在以
與
為鄰邊的矩形中,Roberval曲線將此矩形分成面積相等的兩個區域。
更進一步可得:
Roberval曲線與AB所圍區域的面積,等於以
為鄰邊的矩形面積的一半,此值等於
第二,我們討論擺線與Roberval曲線間的區域面積。
此區域在C點的左、右兩側的面積顯然相等,所以,我們只須討論此區域左側部份的面積。
圖二中以
為直徑的半圓,乃是滾動圓在出發時的左半部份,直線PM被此半圓截出一線段
因為兩圓大小相等,而直線PM與兩圓圓心等距離,所以,
=
因為每一條水平直線在兩區域上所截出的線段都等長,所以,依據BonaventuraCavalieri(1598~1647年,義大利人)在1629年所提出的Cavalieri原理,這兩個區域的面積相等。
因此,擺線與Roberbval曲線所圍的區域(左、右兩部份)與滾動圓面積相等,此值等於
綜合前兩段的結果,可知擺線的一拱與其底線間的面積,等於滾動圓面積的三倍,亦即:
圖二
附帶一提:
Cavalieri所提的原理,中國數學家祖沖之在西元五世紀就已用來計算球體的體積。
試仿照本小節的方式,證明次擺線
的一拱與直線y=a-d所圍區域的面積為:
試利用定積分計算上述所提的面積。
若曲線C的所有法線都是某一曲線E的切線,則曲線E稱為曲線C的「漸屈線」(evolute)。
要討論曲線C的漸屈線,自然需要先討論曲線C的法線,但因法線是切線的垂直線,所以,我們需要先討論曲線C的切線。
擺線的切線如何求呢?
我們明白當一動點P繞一固定點I旋轉時,P點的軌跡是一圓弧,此圓弧在P點的切線就是過P點而與
垂直的直線。
當一滾動圓在一直線上作不滑的滾動時,我們沒有一個可做為旋轉中心的固定點,可是,在滾動過程中,滾動圓與底線在每個時刻都有一個切點,這個切點就是該時刻的瞬間旋轉中心。
若在某個時刻的瞬間旋轉中心是I,而圓上某定點在此時刻已移動到P點,則此定點所描繪的擺線在P點的切線,就是過P點而與
垂直的直線PJ,其中J是滾動圓過I的直徑的另一端點,直線PI則是此擺線過P點的法線。
在直線
上選取一點P'
,使I點成為
的中點。
若P點的坐標是(
),則因為I點的坐標是(as,0),所以,P'
點的坐標是(
)。
當P點描繪出擺線時,所有對應的P'
點描繪出什麼圖形呢?
觀察A與P'
的相關位置,不難發現它們的位置關係,與擺線上的C點與參數是
的Q點位置關係相同,因為C的坐標是(
),而Q點的坐標是(
換言之,當P點描繪圖三中的擺線弧APC時,對應的P'
點就會描繪出與擺線CQB全等的弧AP'
A。
事實上,弧AP'
A'
乃是將弧CQB平移而得的(左移
單位、下移2a單位)。
同理,當P點描繪出擺線弧CQB時,對應的P'
點就會描繪出弧A'
Q'
B,此弧乃是將擺線的下一拱的左半部份作同樣平移而得的。
因此,對整個擺線而言,當P點描繪出整個擺線時,對應的P'
點會描繪出一個全等的擺線。
若前者的參數方程式是
,則後者的參數方程式為
,後者乃是將前者先向左平移
單位,再向下平移2a單位而得的。
我們將說明後者是前者的漸屈線。
因為P'
點的軌跡是一個全等的擺線,所以它必是當一個半徑為a的圓在直線y=-2a上滾動時,由圓周上某定點描繪而成的。
因為P點與P'
點對I點對稱,所以當兩個滾動圓在I點相切時,上滾動圓通過P點而下滾動圓通過P'
點。
此時,P'
點的瞬間旋轉中心是直線P'
I'
與直線y=-2a的交點I'
於是,直線P'
是第二個擺線在P'
點的法線,直線P'
IP是第二擺線在P'
點的切線。
由此可知:
原擺線的每條法線PI都與第二擺線相切。
換言之,第二擺線是原擺線的漸屈線。
曲線的漸屈線在弧長方面有一個重要性質,這個性質對擺線的討論特別有效,我們先介紹這項性質。
此性質的證明只需利用微積分的方式即可。
設曲線E是曲線C的漸屈線,P與Q是曲線C上兩點,曲線C過P、Q的法線分別與漸屈線E相切於P'
、Q'
,則在漸屈線E上,弧P'
的長等於
兩線段長的差。
在圖四中,
比
小,所以,P'
弧的長等於
這個性質能够作下面的幾何解說:
假設有一條線纏繞在漸屈線E上,現在將一端點拉緊在P點,此時,在P'
往Q'
的部份,線仍然纏在漸屈線上,但在P'
往P的部份,則已經拉直成線段。
接著,將線繼續拉緊解開,纏在P'
弧上的線逐漸被拉成線段,此時,因為有前面所提的性質,所以,在將線拉緊解開的過程中,線的端點一定沿著曲線C由P點移向Q'
以擺線為例,在圖三中的漸屈線弧AP'
中,不論P'
點的位置在弧上何處,AP'
弧的長度都是等於P'
弧的長加上線段
的長。
將P'
趨近A'
,則P趨近C。
因此,擺線弧AP'
的長等於線段
的長,此值為4a。
因為擺線弧AP'
與擺線弧CQB全等,其長是擺線一拱ACB的一半,所以,可知:
若滾動圓的半徑為a,則擺線一拱的長度為8a。
圖三
同理,在圖三中,PC弧的長等於Q'
B弧的長,此值等於線段
的長,也等於前的兩倍。
因此,若P點的坐標是(
),則因為J的坐標是(as,2a),所以,PC弧的長等於
於是,AP弧的長為
試利用微積分方式證明上述有關擺線的弧長公式。
在力學上,擺線具有很重要的性質,我們第一介紹它的等時性質(tautochroneproperty)。
將擺線的一拱倒轉,亦即:
對其底線作鏡射,則此段擺線的最高點C變成最低點,見圖三與五。
此時,若一質點從此段擺線上任意點出發,在重力作用下沿擺線向下滑,則此質點到達最低點C所需的時間與出發點的位置無關,亦即:
從任意兩相異點出發,它們到達C點的時間相同。
這就是擺線的等時性質。
圖五是由擺線的一拱及其漸屈線等倒置而成,若我們以一條長為擺線一拱長之半的線繫住一個擺錘,另一端固定在漸屈線弧AA'
B的中點A'
當擺錘擺動時,線的上端纏在漸屈線上,而下端有一段拉直。
由於線長等於擺線一拱長的一半,根據前小節的說明,擺錘擺動的路線就是圖五中的擺線孤。
前段所提的等時性,則是表示:
不論振幅為何,其週期是個定值,此定值等於
,其中a是擺線的滾動圓的半徑,g是重力加速度。
前段所提的設置,稱為擺線鐘(cycloidalpendulum),這是ChristiaanHuygens(1629~1695年,荷蘭人)在1673年所發明的,它是其有真正等時性的鐘擺。
要證明前面所提的等時性質,必須利用一些物理與微積分知識,讓我們略作說明如下:
設倒置的擺線的參數方程式為
,質點下滑的出發點P所對應的參數為
(我們將參數t換成θ,以避免誤以為它就是時間。
)當質點下滑到參數為θ的點時,根據能量守恆定律,質點喪失的位能轉變成動能,所以質點在該處的瞬時速度為
圖四
另一方面,弧長s的微分為
於是,質點滑落到最低點C(見圖五)所需的時間為
此值等於
,與
無關,而擺線鐘的週期則是此值的四倍。
前段證明的細節留給有興趣的讀者自行補足。
圖五
擺線在力學上的另一項重要性質,乃是最速降性質(brachistochroneproperty),我們說明如下。
若一質點在重力作用下,由P點沿著某曲線滑落到較低的Q點,設P與Q不在同一鉛垂直線上,則當滑行的曲線是以P為尖點的一段倒轉的擺線弧時,質點由P點滑落到Q點所需的時間為最短。
這就是擺線的最速降性質。
設P與Q的坐標分別是P(x1,y1)與Q(x2,y2),x1<
x2且y1>
y2,而y=f(x)是滿足f(x1)=y1與f(x2)=y2的一個函數,仿照前小節的方式,可知一質點沿著曲線y=f(x)由P點落到Q點所需的時間為
在所有此種函數y=f(x)中,那一個函數能使上述定積分的值最小,這個問題乃是「一個以函數(或曲線)為變數的極值問題」。
研究這類問題的方式稱為「變分法」(calculusofvariation)。
它與微積分中討論極值的方式不相同,而且也困難得多。
探討最速降曲線的問題,乃是變分學的先驅問題之一,一般的變分學書籍都會談到這個例子。
在最速降曲線問題中,有一個問題必須交待,那就是:
對任意二點P(x1,y1)與Q(x2,y2),x1<
x2且y1>
y2,有多少擺線以P為一尖點而又通過Q呢?
答案是:
恰有一條。
這條擺線是這樣來的。
第一,利用微積分或其他方式能够證明:
恰有一個
滿足下式:
然後,令
,則擺線
通過P與Q,而且P是一個尖點。
給了P、Q兩點,我們怎麼作出這樣的擺線呢?
任取一圓,使它與過P的水平直線切於P點且圓在水平直線下方。
讓圓在水平直線下滾動,設定點P的軌跡與直線PQ交於Q'
另取一圓,其半徑與前一圓的半徑之比為
,則將後一圓在過P的水平直線下滾動時,定點P所描繪的軌跡,就是以P為一尖點且通過Q的擺線。
前段所提的作法,事實上與擺線的一項性質有關。
若兩擺線的底線重合,且有一尖點重合,則其中任一擺線都可由另一擺線以重合尖點為中心,放大或縮小而得。
換言之,任意二擺線部是相似的曲線。
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