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(2)对立事件:
不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件;
(3)包含:
事件A发生时事件B一定发生,称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);
4.事件间的运算
(1)并事件(和事件)
若某事件的发生是事件A发生或事件B发生,则此事件称为事件A与事件B的并事件。
注:
当A和B互斥时,事件A+B的概率满足加法公式:
P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥);
且有P(A+
)=P(A)+P(
)=1。
(2)交事件(积事件)
若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生,则此事件称为事件A与事件B的交事件。
5.古典概型
(1)古典概型的两大特点:
1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
2)每个基本事件出现的可能性相等;
(2)古典概型的概率计算公式:
P(A)=
;
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是
。
如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P(A)=
四.典例解析
题型1:
随机事件的定义
例1.判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件?
(1)“抛一石块,下落”.
(2)“在标准大气压下且温度低于0℃时,冰融化”;
(3)“某人射击一次,中靶”;
(4)“如果a>b,那么a-b>0”;
(5)“掷一枚硬币,出现正面”;
(6)“导体通电后,发热”;
(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”;
(8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”;
(9)“没有水份,种子能发芽”;
(10)“在常温下,焊锡熔化”.
解析:
根据定义,事件
(1)、(4)、(6)是必然事件;
事件
(2)、(9)、(10)是不可能事件;
事件(3)、(5)、(7)、(8)是随机事件。
点评:
熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。
针对不同的问题加以区分。
例2.
(1)如果某种彩票中奖的概率为
,那么买1000张彩票一定能中奖吗?
请用概率的意义解释。
不一定能中奖,因为,买1000张彩票相当于做1000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,即每张彩票可能中奖也可能不中奖,因此,1000张彩票中可能没有一张中奖,也可能有一张、两张乃至多张中奖。
买1000张彩票,相当于1000次试验,因为每次试验的结果都是随机的,所以做1000次试验的结果也是随机的,也就是说,买1000张彩票有可能没有一张中奖。
(2)在一场乒乓球比赛前,裁判员利用抽签器来决定由谁先发球,请用概率的知识解释其公平性。
这个规则是公平的,因为抽签上抛后,红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5,因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5,也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
这个规则是公平的,因为每个运动员先发球的概率为0.5,即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。
事实上,只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
题型2:
频率与概率
例3.某种菜籽在相同在相同的条件下发芽试验结果如下表:
(求其发芽的概率)
种子粒数
2
5
10
70
130
310
700
1500
优质试题
3000
发芽粒数
4
9
60
116
282
639
1339
1806
2715
我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是:
1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905。
随着种子粒数的增加,菜籽发芽的频率越接近于0.9,且在它附近摆动。
故此种子发芽的概率为0.9。
我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率。
例4.进行这样的试验:
从0、1、2、…、9这十个数字中随机取一个数字,重复进行这个试验10000次,将每次取得的数字依次记下来,我们就得到一个包括10000个数字的“随机数表”.在这个随机数表里,可以发现0、1、2、…、9这十个数字中各个数字出现的频率稳定在0.1附近.现在我们把一个随机数表等分为10段,每段包括1000个随机数,统计每1000个随机数中数字“7”出现的频率,得到如下的结果:
段序:
n=1000
1
3
6
7
8
出现“7”的频数
95
88
112
99
82
89
111
102
出现“7”的频率
0.095
0.088
0.112
0.099
0.082
0.089
0.111
0.102
由上表可见,每1000个随机数中“7”出现的频率也稳定在0.1的附近.这就是频率的稳定性.我们把随机事件A的频率P(A)作为随机事件A的概率P(A)的近似值。
利用概率的统计定义,在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验,列出一个表格,从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率。
这从某种意义上说是很繁琐的。
题型3:
随机事件间的关系
例5.
(1)某战士在打靶中,连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是()
(A)至多有一次中靶(B)两次都中靶
(C)两次都不中靶(D)只有一次中靶
答案:
C。
根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系。
(2)把标号为1,2,3,4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人,每人分得一个。
事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是()
(A)互斥但非对立事件(B)对立事件
(C)相互独立事件(D)以上都不对
A。
一定要区分开对立和互斥的定义,互斥事件:
对立事件:
不能同时发生,但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。
例6.(优质试题天津文,18)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,甲机床产品的正品率是
乙机床产品的正品率是。
(I)从甲机床生产的产品中任取3件,求其中恰有2件正品的概率(用数字作答);
(II)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件,求其中至少有1件正品的概率(用数字作答)。
(I)解:
任取甲机床的3件产品恰有2件正品的概率为
(II)解法一:
记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A,“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。
则任取甲、乙两台机床的产品各1件,其中至少有1件正品的概率为:
解法二:
运用对立事件的概率公式,所求的概率为:
本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识,及分析和解决实际问题的能力。
题型4:
古典概率模型的计算问题
例7.从含有两件正品a1,a2和一件次品b1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。
每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2)和,(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b2,a2)。
其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产用A表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一事件,
则A=[(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)],
事件A由4个基本事件组成,因而,P(A)=
=
利用古典概型的计算公式时应注意两点:
(1)所有的基本事件必须是互斥的;
(2)m为事件A所包含的基本事件数,求m值时,要做到不重不漏。
例8.现有一批产品共有10件,其中8件为正品,2件为次品:
(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续3次取出的都是正品的概率;
(2)如果从中一次取3件,求3件都是正品的概率。
分析:
(1)为返回抽样;
(2)为不返回抽样。
(1)有放回地抽取3次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x,y,z都有10种可能,所以试验结果有10×
10×
10=103种;
设事件A为“连续3次都取正品”,则包含的基本事件共有8×
8×
8=83种,因此,P(A)=
=0.512。
(2)解法1:
可以看作不放回抽样3次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,所以试验的所有结果为10×
9×
8=720种.设事件B为“3件都是正品”,则事件B包含的基本事件总数为8×
7×
6=336,所以P(B)=
≈0.467。
解法2:
可以看作不放回3次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则x有10种可能,y有9种可能,z有8种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x),是相同的,所以试验的所有结果有10×
8÷
6=120,按同样的方法,事件B包含的基本事件个数为8×
6÷
6=56,因此P(B)=
关于不放回抽样,计算基本事件个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会导致错误。
题型5:
利用排列组合知识解古典概型问题
例9.(优质试题山东文,19)盒中装着标有数字1,2,3,4的卡片各2张,从盒中任意任取3张,每张卡片被抽出的可能性都相等,求:
(Ⅰ)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率;
(Ⅱ)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概念;
(Ⅲ)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率。
(
)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A,
由题意得:
)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B,
则
)“抽出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为C,“抽出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为D,由题意,C与D是对立事件,
因为
,
所以
.
该题通过排列、组合知识完成了古典概型的计算问题,同时要做到所有的基本事件必须是互斥的,要做到不重不漏。
例10.(优质试题安徽文,19)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。
在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。
现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。
根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。
(Ⅰ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率;
(Ⅱ)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率;
设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A,“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2种:
、
,故
(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1种:
芳香度之和等于2的取法有1种:
高考对概率内容的考查,往往以实际应用题出现。
这既是这类问题的特点,也符合高考发展方向,考生要以课本概念和方法为主,以熟练技能,巩固概念为目标,查找知识缺漏,总结解题规律。
题型6:
易错题辨析
例11.掷两枚骰子,求所得的点数之和为6的概率。
错解:
掷两枚骰子出现的点数之和不同情况为{2,3,4,…,12},故共有11种基本事件,所以概率为P=
剖析:
以上11种基本事件不是等可能的,如点数和2只有(1,1),而点数之和为6有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)共5种.事实上,掷两枚骰子共有36种基本事件,且是等可能的,所以“所得点数之和为6”的概率为P=
我们经常见的错里还有“投掷两枚硬币的结果”,划分基本事件“两正、一正一反、两反”,其中“一正一反”与“两正”、“两反”的机会是不均等。
类型四:
基本事件“不可数”
由概率求值公式
,求某一事件发生的概率时,要求试验中所有可能出现的基本事件只有有限个。
如果试验所包含的基本事件是无限多个,那根本就不会得到基本事件的总数,也就不能用
公式来解决问题。
例12.(优质试题年天津、山西、江西高考试题)
甲、乙二人参加普法知识竞赛,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个,甲、乙二人一次各抽取一题,
(1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?
甲从选择题中抽到一题的可能结果有
个,乙从判断题中抽到一题的的可能结果是
,故甲抽到选择题,乙抽到判断题的可能结果为
又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有
,所以概率值为
错把分步原理当作分类原理来处理。
正解:
(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少?
甲、乙中甲抽到判断题的种数是6×
9种,乙抽到判断题的种数6×
9种,故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的种数为12×
9;
又甲、乙二人一次各抽取一题的种数是10×
9,故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是
显然概率值不会大于1,这是错解。
该问题对甲、乙二人至少有一个抽到选择题的计数是重复的,两人都抽取到选择题这种情况被重复计数。
甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×
9=90;
方法一:
分类计数原理
(1)只有甲抽到了选择题的事件数是:
6×
4=24;
(2)只有乙抽到了选择题的事件数是:
(3)甲、乙同时抽到选择题的事件数是:
5=30;
故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是
方法二:
利用对立事件
事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件。
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