第2节 科学探究向心力春物理 必修 第二册 鲁科版新教材Word文档下载推荐.docx
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2.实验方法
控制变量法。
3.探究过程
(1)m、r相同,改变角速度ω,则ω越大,向心力F就越大。
(2)m、ω相同,改变半径r,则r越大,向心力F就越大。
(3)ω、r相同,改变质量m,则m越大,向心力F就越大。
4.结论
物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量成正比,与半径成正比,与角速度的二次方成正比。
5.公式
F=mrω2或F=m
。
(1)研究某一物理量的大小与多个物理量间的关系时,要采用控制变量法。
(√)
(2)做圆周运动的物体,质量越大,所需要的向心力越大。
(3)做匀速圆周运动的物体线速度越大,所需向心力越大。
当某个物理量与多个物理量都有关时,经常采用控制变量法研究它们的相互关系。
物体转的越快,细线被拉断的可能性越大。
知识点三 向心加速度
做圆周运动的物体受到向心力的作用,那么它必然存在一个由向心力产生的加速度。
这个加速度叫做向心加速度。
2.物理意义
描述线速度方向改变的快慢。
3.大小
a=ω2r=
4.方向
总是指向圆心。
所以,不论a的大小是否变化,它都是一个变化的量。
(1)向心加速度只改变速度的方向,不改变速度的大小。
(2)由于匀速圆周运动的速度大小不变,故向心加速度不变。
(3)由于a=ω2r,则向心加速度与半径成正比。
),
做圆周运动的物体,向心加速度与速度垂直,不改变速度的大小,只改变速度的方向。
向心加速度的方向时刻变化。
核心要点
对向心力的理解及来源的分析
[情景探究]
如图所示,飞机在空中水平面内做匀速圆周运动;
在光滑漏斗内壁上,小球做匀速圆周运动。
试分析飞机和小球受到哪些力的作用?
它们的向心力由什么力提供?
答案 飞机受到重力和空气对飞机的作用力,二者的合力提供向心力;
小球受筒壁的弹力和重力作用,二者的合力提供向心力。
[探究归纳]
1.向心力的特点
(1)方向:
方向时刻在变化,始终指向圆心,与线速度的方向垂直。
(2)大小:
F=m
=mrω2=mωv=m
r。
在匀速圆周运动中,向心力大小不变;
在非匀速圆周运动中,其大小随速率v的变化而变化。
2.向心力的作用效果:
由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直,故向心力不改变线速度的大小,只改变线速度的方向。
3.向心力的来源
常见几个实例分析:
实例
示意图
用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时
绳子的拉力和小球的重力的合力提供向心力,F向=F+G
用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动
线的拉力提供向心力,F向=T
物体随转盘做匀速圆周运动,且相对转盘静止
转盘对物体的静摩擦力提供向心力,F向=f
小球在细线作用下,在水平面内做圆周运动
小球的重力和细线的拉力的合力提供向心力,F向=F合或细线拉力的水平分力提供向心力
木块随圆桶绕轴线做圆周运动
圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力,F向=N
[经典示例]
[例1]如图所示,在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上,离轴心r=20cm处放置一小物块A,其质量为m=2kg,A与圆盘间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍(k=0.5)。
试求:
(1)当圆盘转动的角速度ω1=2rad/s时,物块A与圆盘间的静摩擦力为多大?
方向如何?
(2)欲使物块A与圆盘间不发生相对滑动,则圆盘转动的最大角速度为多大?
(取g=10m/s2)
审题提示
(1)做匀速圆周运动的物体,合外力指向圆心充当向心力。
(2)发生相对滑动的临界条件是摩擦力达到最大静摩擦力。
解析
(1)根据牛顿第二定律可得物块受到的静摩擦力的大小为
f=F向=mω
r=1.6N,方向沿半径指向圆心。
(2)欲使物块与圆盘间不发生相对滑动,物块做圆周运动所需的向心力不能大于最大静摩擦力,所以有
mω2r≤kmg,
解得ω≤
=5rad/s。
即圆盘转动的最大角速度为5rad/s。
答案
(1)1.6N,方向沿半径指向圆心
(2)5rad/s
方法总结 计算向心力的基本思路
(1)明确研究对象,必要时要将它从转动系统中隔离出来。
(2)确定物体做圆周运动的轨道平面,确定圆心和半径。
(3)分析运动物体的受力情况,从中确定是哪些力提供向心力,千万不能臆想出一个向心力来。
(4)建立直角坐标系(以指向圆心方向为x轴的正向),将力正交分解到坐标轴方向上。
(5)在x轴方向,选用向心力公式F=mrω2=m
=m
r=m(2πf)2r列方程求解,若为匀速圆周运动,必要时再在y轴方向按F合y=0求解。
[针对训练1]如图所示,有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动,某人站在距圆心为r处的P点不动,下列关于人的受力的说法中正确的是( )
A.人在P点不动,因此不受摩擦力作用
B.人随圆盘做匀速圆周运动,其重力和支持力充当向心力
C.人随圆盘做匀速圆周运动,圆盘对他的摩擦力充当向心力
D.若使圆盘以较小的转速转动时,人在P点受到的摩擦力不变
解析 由于人随圆盘做匀速圆周运动,所以一定需要向心力,且该力一定指向圆心方向,而重力和支持力均在竖直方向上,它们不能充当向心力,因此该人会受到摩擦力的作用,且摩擦力充当向心力,选项A、B错误,C正确;
由于人随圆盘转动,半径不变,当圆盘的转速变小时,由F=m(2πn)2r可知,所需向心力变小,受到的摩擦力变小,选项D错误。
答案 C
探究影响向心力大小的因素
[要点归纳]
1.实验器材
向心力演示仪
当转动手柄1时,变速轮2和3就随之转动,放在长滑槽4和短滑槽5中的球A和B都随之做圆周运动。
球由于惯性而滚到横臂的两个短臂挡板6处,短臂挡板就推压球,向球提供了做圆周运动所需的向心力。
由于杠杆作用,短臂向外时,长臂就压缩塔轮转轴上的测力部分的弹簧,使测力部分套管7上方露出标尺8的格数,便显示出了两球所需向心力之比。
2.实验步骤
(1)把两个质量不同的小球放在长槽和短槽上,调整塔轮上的皮带和小球的位置,使两球的转动半径和角速度都相同。
转动手柄,观察向心力大小和质量的关系。
(2)换两个质量相同的小球,使两球的角速度相同。
再增大长槽上小球的转动半径,使两球的转动半径不同。
转动手柄,观察向心力大小和半径的关系。
(3)把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上,使它们的转动半径相同,调整皮带的位置,使两球转动的角速度不同,转动手柄,观察向心力大小和角速度的关系。
3.实验结论
物体做圆周运动需要的向心力跟物体的质量成正比,跟半径成正比,跟角速度的二次方成正比。
4.注意事项
(1)实验前应将横臂紧固,螺钉旋紧,以防球和其他部件飞出造成事故。
(2)实验时,不宜使标尺露出格数太多,以免由于球沿滑槽外移引起过大的误差。
(3)摇动手柄时,应力求加速缓慢,速度增加均匀。
(4)皮带跟塔轮之间要拉紧。
[例2]如图所示,图甲为“向心力演示器验证向心力公式”的实验示意图,图乙为俯视图。
图中A、B槽分别与a、b轮同轴固定,且a、b轮半径相同。
当a、b两轮在皮带的带动下匀速转动时:
(1)两槽转动的角速度ωA________ωB。
(选填“>
”“=”或“<
”)。
(2)现有两质量相同的钢球,①球放在A槽的边缘,②球放在B槽的边缘,它们到各自转轴的距离之比为2∶1。
则钢球①、②的线速度大小之比为________;
受到的向心力大小之比为________。
解析
(1)因两轮ab转动的角速度相同,而两槽的角速度与两轮角速度相同,则两槽转动的角速度相等,即ωA=ωB。
(2)钢球①、②的角速度相同,半径之比为2∶1,则根据v=ωr可知,线速度大小之比为2∶1;
根据F=mω2r可知,受到的向心力大小之比为2∶1。
答案
(1)=
(2)2∶1 (3)2∶1
[针对训练2]用如图所示的装置来探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系。
两个变速塔轮通过皮带连接,转动手柄使长槽和短槽分别随变速塔轮匀速转动,槽内的钢球就做匀速圆周运动。
横臂的挡板对钢球的压力提供向心力,钢球对挡板的反作用力通过横臂的杠杆作用使弹簧测力筒下降,从而露出标尺,标尺上的黑白相间的等分格显示出两个钢球所受向心力的比值。
如图是探究过程中某次实验时装置的状态。
(1)在研究向心力的大小F与质量m关系时,要保持________相同。
A.ω和rB.ω和m
C.m和rD.m和F
(2)如果两个钢球质量和半径相等,则是在研究向心力的大小F与________的关系。
A.质量mB.半径r
C.角速度ω
解析 在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时,需先控制某些量不变,研究另外两个物理量的关系,该方法为控制变量法。
(1)因F=mω2r,根据控制变量法的原理可知,在研究向心力的大小F与质量m关系时,要保持其他的物理量不变,其中包括角速度ω与半径r,即保持角速度与半径相同。
故选A。
(2)图中所示两球的质量相同,转动的半径相同,根据F=mω2r,则研究的是向心力与角速度的关系。
故选C。
答案
(1)A
(2)C
向心加速度的理解
[情境探究]
如图所示,自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样,A、B、C是它们边缘上的三个点,哪两个点的向心加速度与半径成正比?
哪两个点的向心加速度与半径成反比?
答案 B、C两点的向心加速度与半径成正比。
A、B两点的向心加速度与半径成反比。
1.向心加速度的方向:
不论向心加速度a的大小是否变化,a的方向始终指向圆心,是时刻改变的,所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变,圆周运动是一种变加速曲线运动。
2.向心加速度的几种表达式
3.向心加速度与半径的关系
(1)若ω一定,根据a=ω2r可知,向心加速度与r成正比,如图甲所示。
(2)若v一定,根据a=
可知,向心加速度与r成反比,如图乙所示。
(3)若无特定条件,则不能说向心加速度与r是成正比还是成反比。
[例3](多选)关于北京和广州随地球自转的向心加速度,下列说法中正确的是( )
A.它们的方向都是沿半径指向地心
B.它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴
C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大
D.北京的向心加速度比广州的向心加速度小
解析 如图所示。
地球表面各点的向心加速度方向都在平行于赤道的平面内指向地轴,B正确,A错误;
设地球半径为R0,在地面上纬度为φ的P点,做圆周运动的轨道半径r=R0cosφ,其向心加速度为a=ω2r=ω2R0cosφ。
由于北京的地理纬度比广州的大,cosφ小,两地随地球自转的角速度相同,因此北京随地球自转的向心加速度比广州的小,D正确,C错误。
答案 BD
方法总结 向心加速度公式的应用技巧
(1)先确定各点是线速度大小相等,还是角速度相同。
(2)在线速度大小相等时,向心加速度与半径成反比,在角速度相同时,向心加速度与半径成正比。
(3)向心加速度公式a=
和a=ω2r不仅适用于匀速圆周运动,也适用于变速圆周运动。
[针对训练3]A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动,A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍,A的转速为30r/min,B的转速为15r/min。
则两球的向心加速度大小之比为( )
A.1∶1B.2∶1
C.4∶1D.8∶1
解析 由题意知A、B两小球的角速度之比ωA∶ωB=nA∶nB=2∶1,所以两小球的向心加速度大小之比aA:
aB=ω
RA∶ω
RB=8∶1,D正确。
答案 D
1.(对向心力的理解)对做圆周运动的物体所受的向心力,说法正确的是( )
A.因向心力总是沿半径指向圆心,且大小不变,故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心,且与线速度方向垂直,所以它不能改变线速度的大小
C.向心力是物体所受的合外力
D.向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析 做匀速圆周运动的物体所受的向心力大小恒定,方向总是指向圆心,是一个变力,A错误;
向心力只改变线速度方向,不改变线速度大小,B正确;
只有做匀速圆周运动的物体其向心力是由物体所受合外力提供,C错误;
向心力与向心加速度的方向总是指向圆心,是时刻变化的,D错误。
答案 B
2.(对向心加速度的理解)下列关于匀速圆周运动中向心加速度的说法正确的是( )
A.向心加速度表示速率改变的快慢
B.向心加速度表示角速度变化的快慢
C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度不变
解析 匀速圆周运动中速率不变,向心加速度只改变速度的方向,显然A错误;
匀速圆周运动的角速度是不变的,所以B错误;
匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化,作为反映速度变化快慢的物理量,向心加速度只描述速度方向变化的快慢,所以C正确;
向心加速度的方向是变化的,所以D错误。
3.(向心力的来源分析)如图所示,一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动,在圆盘上放一小木块A,它随圆盘一起做匀速圆周运动,则关于木块A的受力,下列说法正确的是( )
A.木块A受重力、支持力和向心力
B.木块A受重力、支持力和静摩擦力,摩擦力的方向与木块运动方向相反
C.木块A受重力、支持力和静摩擦力,摩擦力的方向指向圆心
D.木块A受重力、支持力和静摩擦力,摩擦力的方向与木块运动方向相同
解析 由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度,所以,它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡。
而木块在水平面内做匀速圆周运动,其所需向心力由静摩擦力提供,且静摩擦力的方向指向圆心O。
4.(向心加速度公式的应用)(多选)如图所示的皮带传动装置,主动轮的半径与从动轮的半径之比R1∶R2=2∶1,A、B分别是两轮边缘上的点,假定皮带不打滑,则下列说法正确的是( )
A.A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB=1∶2
B.A、B两点的线速度大小之比为vA∶vB=1∶1
C.A、B两点的加速度大小之比为aA∶aB=1∶2
D.A、B两点的加速度大小之比为aA∶aB=2∶1
解析 皮带不打滑,两轮边缘线速度的大小相等,A错误,B正确;
由a=
知两轮上A、B点的向心加速度大小跟两轮的半径成反比,故C正确,D错误。
答案 BC
5.(向心力的计算)如图所示,一位链球运动员在水平面内旋转质量为4kg的链球,链球每1s转一圈,转动半径为1.5m,求:
(1)链球的线速度大小;
(2)链球做圆周运动需要的向心力大小。
解析
(1)v=ωr=
=
m/s≈9.42m/s。
(2)根据向心力公式F=
可得F=
N=236.6N。
答案
(1)9.42m/s
(2)236.6N
基础过关
1.下列关于匀速圆周运动的性质的说法正确的是( )
A.匀速运动
B.匀加速运动
C.加速度不变的曲线运动
D.变加速曲线运动
解析 匀速圆周运动是变速运动,它的加速度大小不变,方向始终指向圆心,是变量,故匀速圆周运动是变加速曲线运动,A、B、C错误,D正确。
2.(多选)关于质点做匀速圆周运动的下列说法中正确的是( )
A.由a=
可知,a与r成反比
B.由a=ω2r可知,a与r成正比
C.当v一定时,a与r成反比
D.由ω=2πn可知,角速度ω与转速n成正比
解析 只有当线速度大小一定时,a与r成反比;
只有当角速度一定时,a与r成正比,选项A、B错误,C正确;
公式ω=2πn中,2π为常数,所以角速度ω与转速n成正比,选项D正确。
答案 CD
3.在水平冰面上,狗拉着雪橇做匀速圆周运动,O点为圆心。
能正确表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力f的图是( )
解析 由于雪橇在冰面上滑动,其滑动摩擦力方向必与运动方向相反,即沿圆的切线方向;
因雪橇做匀速圆周运动,合力一定指向圆心。
由此可知C正确。
4.如图所示,一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动,则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B.老鹰受重力和空气对它的作用力
C.老鹰受重力和向心力的作用
D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析 老鹰在空中做圆周运动,受重力和空气对它的作用力两个力的作用,两个力的合力充当它做圆周运动的向心力。
但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用。
选项B正确。
5.如图所示,在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。
若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动,下列说法正确的是( )
A.物体所受弹力增大,摩擦力增大
B.物体所受弹力增大,摩擦力减小
C.物体所受弹力减小,摩擦力减小
D.物体所受弹力增大,摩擦力不变
解析 物体在竖直方向上受重力G与摩擦力f,是一对平衡力,在水平方向上受弹力N,根据向心力公式,可知N=mω2r,当ω增大时,N增大,所以应选D。
6.如图所示,在水平转动的圆盘上,两个完全一样的木块A、B一起随圆盘做匀速圆周运动,转动的角速度为ω,已知木块A、B到圆盘中心O的距离为rA和rB,则两木块的向心力之比为( )
A.rA∶rBB.rB∶rA
C.r
∶r
D.r
解析 木块A、B在绕O点转动的过程中,是木块与圆盘间的静摩擦力提供了向心力,因两木块随圆盘转动的角速度ω相等,质量一样,由向心力公式F=mrω2得FA=mrAω2,FB=mrBω2,解得FA∶FB=rA∶rB。
答案 A
7.链球运动员在将链球抛掷出去之前,总要双手抓住链条,加速转动几圈,如图所示,这样可以使链球的速度尽量增大,抛出去后飞行更远,在运动员加速转动的过程中,能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大,则以下几个图像中能描述ω与θ的关系的是( )
解析 设链条长为L,链球质量为m,则链球做圆周运动的半径r=Lsinθ,向心力F=mgtanθ,而F=mω2r。
由以上三式得ω2=
·
,即ω2∝
,D正确。
8.一轿车以30m/s的速率沿半径为60m的圆形跑道行驶,当轿车从A运动到B时,轿车与圆心的连线转过的角度为90°
,求:
(1)轿车的周期多大?
(2)此过程中轿车通过的路程是多少?
(3)轿车运动过程中的向心加速度是多大?
解析
(1)由v=
得轿车的周期T=
s=4πs。
(2)轿车通过的路程即轿车通过的弧长,轿车与圆心的连线转过的角度为90°
,即经过的时间t=
T=πs,
所以s=vt=30×
πm=30πm。
(3)向心加速度a=
m/s2=15m/s2。
答案
(1)4πs
(2)30πm (3)15m/s2
能力提升
9.如图所示,质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中,如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变,那么( )
A.加速度为零
B.加速度恒定
C.加速度大小不变,方向时刻改变,但不一定指向圆心
D.加速度大小不变,方向时刻指向圆心
解析 由题意知,木块做匀速圆周运动,木块的加速度大小不变,方向时刻指向圆心,D正确,A、B、C错误。
10.(多选)一小球质量为m,用长为L的悬绳(不可伸长,质量不计)固定于O点,在O点正下方
处钉有一颗钉子。
如图所示,将悬线沿水平方向拉直后无初速度释放,当悬线碰到钉子后的瞬间,则( )
A.小球的角速度突然增大
B.小球的线速度突然减小到零
C.小球的向心加速度突然增大
D.小球的向心加速度不变
解析 由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力,故小球的线速度不能发生突变,由于做圆周运动的半径变为原来的一半,由v=ωr知,角速度变为原来的2倍,A正确,B错误;
知,小球的向心加速度变为原来的2倍,C正确,D错误。
答案 AC
11.如图所示,将完全相同的两小球A、B,用长L=0.8m的细绳悬于以v=4m/s向左匀速运动的小车顶部,两球与小车前后壁接触。
由于某种原因,小车突然停止,此时悬线中张力之比FA∶FB为(g=10m/s2)( )
A.1∶1B.1∶2
C.1∶3D.1∶4
解析 小车突然停止,B球将做圆周运动,所以FB=m
+mg=30m;
A球做水平方向上的减速运动,FA=mg=10m,故此时悬线中张力之比为FA∶FB=1∶3,选项C正确。
12.(多选)如图所示,一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面,圆锥筒固定不动,有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动,则下列说法正确的是( )
A.球A的线速度必定大于球B的线速度
B.球A的角速度必定小于球B的角速度
C.球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D.球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
解析 两球均贴着圆锥筒的内壁,在水平面内做匀速圆周运动,它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用,其合力必定在水平面内时刻指向圆心,如图所示。
由图可知,筒壁对球的弹力为
,对于A、B两球,因质量相等,θ角也相等,所以A、B两球受到筒壁的弹力大小也相等,由牛顿第三定律知,A、B两球对筒壁的压力大小也相等,D错误;
对球运用牛顿第二定律得
=mrω2=mr
,可解得球的线速度v=
,角速度ω=
,周期T=2π
由此可见,球的线速度随轨道半径的增大而增大,所以A球的线速度必定大于B球的线速度,A正确;
球的角速度随半径的增大而减小,周期随半径的增大而增大,所以A球的角速度小于B球的角速度,A球的周期大于B球的周期,B正确,C错误。
答案 AB
13.如图所示,AB为固定在竖直平面内的
光滑圆弧轨道,轨道的B点与水平地面相切,其半径为R,质量为m的小球由A点静止释放,试求:
(1)小球滑到
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