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即:
若,则(当且仅当时取等号)
2.基本变形:
①;
②若,则
3.基本应用:
求函数最值:
①一正二定三取等;
②积定和小,和定积大。
常用的方法为:
拆、凑、平方;
如:
①函数的最小值。
②若正数满足,则的最小值。
三、绝对值不等式:
,注意:
上述等号“=”成立的条件;
五、不等式的解法:
1.一元二次不等式的图解法:
(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)
判别式:
△=b2-4ac
x1
x2
x
y
O
x1=x2
二次函数
的图象
一元二次方程
的根
有两相异实数根
有两相等实数根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
“>”取两边
R
“<”取中间
3.绝对值不等式的解法:
(“>”取两边,“<”取中间)
(1)当时,的解集是,的解集是
(2)当时,,
4.分式不等式的解法:
通解变形为整式不等式;
⑴;
(2);
5.高次不等式组的解法:
数轴标根法。
第三章函数
一.函数
1、映射:
按照某种对应法则f,集合A中的任何一个元素,在B中都有唯一确定的元素和它对应,
记作f:
A→B,若,且元素a和元素b对应,那么b叫a的象,a叫b的原象。
2、函数:
(1)、定义:
设A,B是非空数集,若按某种确定的对应关系f,对于集合A中的任意一个数x,集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,就称f:
A→B为集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),
(2)、函数的三要素:
定义域,值域,对应法则;
3、求定义域的一般方法:
①整式:
全体实数R;
②分式:
分母,0次幂:
底数;
③偶次根式:
被开方式,例:
④对数:
真数,例:
4、求值域的一般方法:
①图象观察法:
②单调函数法:
③二次函数配方法:
,
④“一次”分式反函数法:
⑥换元法:
5、求函数解析式f(x)的一般方法:
①待定系数法:
一次函数f(x),且满足,求f(x)
②配凑法:
求f(x);
③换元法:
,求f(x)
6、函数的单调性:
(1)定义:
区间D上任意两个值,若时有,称为D上增函数;
若时有,称为D上减函数。
(一致为增,不同为减)
(2)区间D叫函数的单调区间,单调区间定义域;
(3)复合函数的单调性:
即同增异减;
7.奇偶性:
定义:
注意区间是否关于原点对称,比较f(x)与f(-x)的关系。
f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数;
f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。
8.周期性:
若函数f(x)对定义域内的任意x满足:
f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。
9.函数图像变换:
(1)平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b;
(2)法则:
加左减右,加上减下
(3)注意:
(ⅰ)有系数,要先提取系数。
把函数y=f(2x)经过 平移得到函数y=f(2x+4)的图象。
(ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量(m,n)平移的意义。
10.反函数:
函数的反函数为;
函数和互为反函数;
(2)反函数的求法:
①由,反解出,②互换,写成,③写出的定义域(即原函数的值域);
(3)反函数的性质:
函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域;
函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称;
点(a,b)关于直线的对称点为(b,a);
第四章指数函数与对数函数
1.指数及其运算性质:
当n为奇数时,;
当n为偶数时,
2.分数指数幂:
正分数指数幂:
负分数指数幂:
3.对数及其运算性质:
如果,以10为底叫常用对数,记为lgN,以e=2.7182828…为底叫自然对数,记为lnN
(2)性质:
①负数和零没有对数,②1的对数等于0:
,③底的对数等于1:
,④积的对数:
,商的对数:
,
幂的对数:
,方根的对数:
4.指数函数和对数函数的图象性质
函数
指数函数
对数函数
定义
1
y=ax
()
()
图象
a>
0<
a<
1
y=logax
性
质
定义域
(-∞,+∞)
(0,+∞)
值域
单调性
在(-∞,+∞)
上是增函数
上是减函数
在(0,+∞)
函数值变化
图
象
定点
过定点(0,1)
过定点(1,0)
特征
图象在x轴上方
图象在y轴右边
关系
的图象与的图象关于直线对称
第五章三角函数
1、角:
与终边相同的角的集合为{}
2、弧度制:
等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。
(2)度数与弧度数的换算:
弧度,1弧度
(3)弧长公式:
(是角的弧度数)扇形面积:
3、三角函数定义:
(如图)
P(x,y)
r
4、同角三角函数基本关系式
(1)平方关系:
(2)商数关系:
(3)倒数关系:
5、诱导公式(理解记忆方法:
奇变偶不变,符号看象限)
公式一:
公式二:
公式三:
公式四:
公式五:
公式六:
公式七:
公式八:
公式九:
6、两角和与差的正弦、余弦、正切
:
:
7、辅助角公式:
(其中称为辅助角,的终边过点,)
8、二倍角公式:
(1)、:
(2)、降次公式:
:
9、三角函数的图象性质
(1)函数的周期性:
①定义:
对于函数f(x),若存在一个非零常数T,当x取定义域内的每一个值时,都有:
f(x+T)=f(x),那么函数f(x)叫周期函数,非零常数T叫这个函数的周期;
②如果函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫f(x)的最小正周期。
(2)函数的奇偶性:
对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有:
f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数,f(-x)=f(x),则称f(x)是偶函数
②奇偶函数的定义域关于原点对称;
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
(3)正弦、余弦、正切函数的性质()
周期性
奇偶性
递增区间
递减区间
[-1,1]
奇函数
偶函数
(-∞,+∞)
图象的五个关键点:
(0,0),(,1),(,0),(,-1),(,0);
(0,1),(,0),(,-1),(,0),(,1);
-1
o
(4)、函数的相关概念:
振幅
周期
频率
相位
初相
[-A,A]
A
五点法
当A时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍
当A时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍
的图象与的关系:
当时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍
当时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的倍
①振幅变换:
当时,图象上的各点向左平移个单位倍
当时,图象上的各点向右平移个单位倍
②周期变换:
③相位变换:
10.反三角函数:
11、解三角形:
(1)三角形的面积公式:
(2)正,余弦定理
①正弦定理:
②余弦定理:
求角:
第六章数列
一.数列:
(1)前n项和:
(2)前n项和与通项的关系:
二.等差数列:
1.定义:
。
2.通项公式:
(关于n的一次函数),
3.前n项和:
(1).
(2).(即Sn=An2+Bn)
4.等差中项:
或
5.等差数列的主要性质:
(1)等差数列,若,则。
也就是:
,如图所示:
(2)若数列是等差数列,是其前n项的和,,则,,成等差数列。
如下图所示:
三.等比数列:
(其中:
首项是,公比是)
3.前n项和]:
(推导方法:
乘公比,错位相减)
说明:
①;
;
当时为常数列,。
4.等比中项:
,即(或,等比中项有两个)
5.等比数列的主要性质:
(1)等比数列,若,则
如图所示:
(2)若数列是等比数列,是前n项的和,,则,,成等比数列。
四.求数列的前n项和的常用方法:
分析通项,寻求解法
1.公式法:
等差等比数列;
2.分部求和法:
如an=2n+3n
3.裂项相消法:
如an=;
4.错位相减法:
“差比之积”的数列:
如an=(2n-1)2n
第七章平面向量
1.向量的有关概念:
向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。
2.向量的运算:
(1)、向量的加减法:
三角形法则
平行四边形法则
向量的加法
首位连结
向量的减法
指向被减向量
(2)实数与向量的积:
实数与向量的积是一个向量,记作:
②它的长度:
③:
它的方向:
当,与的方向相同;
当,与的方向相反;
当时,=;
3.平面向量基本定理:
如果是同一平面内的两个不共线的向量,那么对平面内的任一向量,有且只有一对实数,使;
4.平面向量的坐标运算:
(1)坐标运算:
设,则
设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则.
(2)实数与向量的积的运算律:
设,则λ,
(3)平面向量的数量积:
,.
①平面向量的数量积的几何意义:
向量的长度||与在的方向上的投影||的乘积;
③、坐标运算:
设,则;
向量的模||:
模||
④、设是向量的夹角,则。
5、重要结论:
(1)两个向量平行的充要条件:
设,则
(2)两个非零向量垂直的充要条件:
设,则
(3)两点的距离:
(4)P(x,y)分线段P1P2的定比满足,且P1(x1,y1),P2(x2,y2)
则定比分点坐标公式,中点坐标公式
(5)平移公式:
如果点P(x,y)按向量平移至P′(x′,y′),则
第八章直线和圆的方程
一、直线
1.直线的倾斜角和斜率
(1)直线的倾斜角α∈[0,π).
(2)直线的斜率,即
(3)斜率公式:
经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为
2.直线的方程
(1)点斜式:
y-y0=k(x-x0)
(2)斜截式:
y=kx+b
(3)两点式:
(4)截距式:
(5)一般式Ax+By+C=0(A、B不同时为0).
3.两条直线的位置关系
(1)平行:
当直线l1和l2有斜截式方程时,k1=k2且b1≠b2;
(2)重合:
当l1和l2有斜截式方程时,k1=k2且b1=b2;
(3)相交:
当l1,l2是斜截式方程时,k1≠k2
(4)垂直:
设两条直线和的斜率分别为和,则有
一般式方程时,(优点:
对斜率是否存在不讨论)
(5)到角:
直线到的角,是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角,它的范围是,当时.
(6)夹角:
两条相交直线与的夹角,是指由与相交所成的四个角中最小的正角,又称为和所成的角,它的取值范围是,当,则有.
(7)交点:
求两直线交点,即解方程组
4.点到直线的距离:
设点,直线到的距离为.
5.两条平行线间的距离公式:
设两条平行直线,它们之间的距离为,则有.
6.关于点对称和关于某直线对称:
利用直线垂直,平行等解决
7.简单的线性规划----线性规划的三种类型:
1.截距型:
形如z=ax+by,把z看作是y轴上的截距,目标函数的最值就转化为y轴上的截距的最值。
2.斜率型:
形如时,把z看作是动点与定点连线的斜率,目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
3.距离型:
形如时,可把z看作是动点与定点距离的平方,这样目标函数的最值就转化为PQ距离平方的最值。
二、曲线和方程:
求曲线方程的步骤:
①建系,设点;
②列式;
③代入④化简;
⑤证明.
三、圆
1..圆的方程:
(1)标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(a,b)为圆心,r为半径.
(2)圆的一般方程:
(.)
(3)圆的参数方程:
(为参数).
2.点和圆的位置关系:
给定点及圆.
①在圆内;
②在圆上
③在圆外
3.直线和圆的位置关系:
设圆圆:
直线:
圆心到直线的距离.
①几何法:
时,与相切;
时,与相交;
时,与相离.
②代数法:
方程组用代入法,得关于(或)的一元二次方程,其判别式为,则:
与相切;
与相交;
与相离.
几何法优于代数法
4.求圆的切线方法
①若已知切点(x0,y0)在圆上,则切线只有一条。
利用相切条件求k值即可。
②若已知切线过圆外一点(x0,y0),则设切线方程为y-y0=k(x-x0),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
5.圆与圆的位置关系:
已知两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2,则
第九章圆锥曲线
一.椭圆的定义标准方程及其几何性质
第一定义
平面内与两个定点、的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距.若为椭圆上任意一点,则有.
第二定义
平面内与定点的距离和它到定直线:
的距离比是常数()的轨迹叫椭圆.定点F是椭圆的一个焦点,定直线l是椭圆的一条准线,常数e椭圆的离心率
方程
图像
a,b,c关系
焦点
范围
对称性
坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心.
顶点
长短轴
离心率
(0<
e<
1)
准线
二.双曲线的定义标准方程及其几何性质
平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的焦距.
的距离比是常数()的轨迹叫双曲线.定点F是双曲线的一个焦点,定直线l是双曲线的一条准线,常数e双曲线的离心率
对成性
实轴虚轴
(e>
渐近线
三.抛物线定义标准方程及其简单几何性质
平面内与一定点F和一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线L叫做抛物线的准线.
标准方程
图形
对称轴
轴
(0,0)
三.直线和圆锥曲线的位置关系
1.直线和椭圆的位置关系的判断方法
(1)代数法:
直线l:
Ax+By+C=0和圆锥曲线C:
f(x,y)=0的位置关系可分为:
相交、相切、相离.
设直线l:
Ax+By+C=0,圆锥曲线C:
f(x,y)=0;
由消去y(或x)得:
ax2+bx+c=0(a≠0);
令Δ=b2-4ac,则Δ>
0⇔相交;
Δ=0⇔相切;
Δ<
0⇔相离.
(2)几何法:
求大致位置和满足条件的直线时可用,精确计算时不可用。
2.弦长的计算:
弦长公式.
第十章立体几何
1.平面的基本性质:
三个公理及推论。
2.空间两条直线的位置关系:
平行、相交、异面;
3.直线与平面
位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点。
(2)直线和平面相交——有且只有一个公共点(3)直线和平面平行——没有公共点
直线和平面平行
判定定理
性质定理
直线与平面垂直
直线与平面所成的角
(1)平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条斜线与平面所成的角
(2)一条直线垂直于平面,定义这直线与平面所成的角是直角
(3)一条直线和平面平行,或在平面内,定义它和平面所成的角是00的角
三垂线定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直。
三垂线逆定理
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直。
4.平面与平面位置关系:
平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)
空间两个平面
两个平面平行
判
定
性
质
(1)如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(2)垂直于同一直线的两个平面平行
(1)两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面
(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
(3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面
相交的两平面
二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的线,这两个半平面叫二面角的面
二面角的平面角:
以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分另作垂直棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
两平面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直
(1)若二平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面
(2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内
5.常用证明方法:
(1)判断线线平行的常用方法:
①a∥b,b∥c,a∥c;
②a∥α,aβ,α∩β=ba∥b
③a⊥α,b⊥αa∥b;
④α∥β,α∩γ=a,β∩γ=ba∥b
(2)判定线线垂直的常用方法.
①a⊥α,bαa⊥b;
②b∥c,a⊥ca⊥b
③a⊥α,b∥αa⊥b;
④三垂线定理及逆定理
(3)判定线面平行的常用方法:
①定义
②aα,bα且a∥ba∥α.③α∥β,aβa∥β;
(4)判定线面垂直的常用方法
①c⊥a,c⊥b且aα,bα,a,b无公共点c⊥α;
②a∥b且a⊥αb⊥α
③α∥β且a⊥αa⊥β
(5)判定面面平行的常用方法:
①a、bβ,a∩b=A,若a∥α,b∥αα∥β
②a⊥α,α⊥βα∥β
③α∥β,β∥rα∥γ
(6)判定面面垂直的常用方法.
①a⊥α,aβα⊥β
②α∥β,b⊥rβ⊥r
③a⊥β,a∥αα⊥β
6.棱柱
(1)棱柱的定义、分类,直棱柱、正棱柱的性质;
(2)长方体的性质。
(3)平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体这些几何体之间的联系和区别,以及它们的特有性质。
(4)S侧=各侧面的面积和;
(5)V=Sh。
7.棱锥
1.棱锥的定义、正棱锥的定义(底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心)
2.相关计算:
S侧=各侧面的面积和 ,V=Sh
8.球的相关概念:
(1)S球=4πR2 V球=πR3
(2)球面距离的概念
9.计算问题:
计算步骤:
一作、二证、三算
(1)异面直线所成的角范围:
0°
<θ≤90°
方法:
①平移法;
②向量法.
(2)直线与平面所成的角范围:
≤θ≤90°
方法:
关键是作垂线,找射影.
(3)二面角方法:
①定义法;
②射影面积法:
S′=Scosθ三垂线法;
③向量法.
其中二面角的平面角的作法
①定义法:
由二面角平面角的定义做出平面角;
②三垂线法:
一般要求平面的垂线好找,一般在计算时
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