三角函数、恒等变换归纳习题文档格式.doc
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0,0<
φ<
)的图象如右图所示,则当t=秒时,电流强度是( )
A.-5AB.5AC.5AD.10A
答案 A
解析 由图象知A=10,=-=,∴ω==100π.∴T=10sin(100πt+φ).
(,10)为五点中的第二个点,∴100π×
+φ=.∴φ=.∴I=10sin(100πt+),当t=秒时,I=-5A,故选A.
8.(2010·
全国卷Ⅱ,理)为了得到函数y=sin(2x-)的图像,只需把函数y=sin(2x+)的图像( )A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位答案 B
解析 由y=sin(2x+)y=sin[2(x+φ)+]=sin(2x-),即2x+2φ+=2x-,解得φ=-,即向右平移个长度单位.故选B.
9.要得到函数y=cosx的图象,只需将函数y=sin(2x+)的图象上所有的点的( )
A.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B.横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
C.横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
答案 C解析 y=cosx=sin(x+),y=sin(2x+)图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到y=sin(x+)的图象,再向左平移个单位.
二、填空题
10.将函数y=sin(-2x)的图象向右平移个单位,所得函数图象的解析式为________.答案 y=sin(π-2x)
11.已知f(x)=cos(ωx+)的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π,要得到y=f(x)的图象,只需把y=sinωx的图象向左平移________个单位.答案
解析 依题意,y=f(x)的最小正周期为π,故ω=2,因为y=cos(2x+)=sin(2x++)=sin(2x+)=sin[2(x+)],所以把y=sin2x的图象向左平移个单位即可得到y=cos(2x+)的图象.
12.已知将函数f(x)=2sinx的图象向左平移1个单位,然后向上平移2个单位后得到的图象与函数y=g(x)的图象关于直线x=1对称,则函数g(x)=______________.答案 2sinx+2
解析 将f(x)=2sinx的图象向左平移1个单位后得到y=2sin[(x+1)]的图象,向上平移2个单位后得到y=2sin[(x+1)]+2的图象,又因为其与函数y=g(x)的图象关于直线x=1对称,所以y=g(x)=2sin[(2-x+1)]+2=2sin[(3-x)]+2=2sin(π-x)+2=2sinx+2.
13.函数y=sin2x的图象向右平移φ(φ>
0)个单位,得到的图象恰好关于直线x=对称,则φ的最小值是________.答案
解析 y=sin2x的图象向右平移φ(φ>
0)个单位,得y=sin2(x-φ)=sin(2x-2φ).因其中一条对称轴方程为x=,则2·
-2φ=kπ+(k∈Z).因为φ>
0,所以φ的最小值为
三、解答题
14.(2011·
合肥第一次质检)已知函数f(x)=2sinxcos(-x)-sin(π+x)cosx+sin(+x)cosx.
(1)求函数y=f(x)的最小正周期和最值;
(2)指出y=f(x)的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称.
解析
(1)f(x)=2sinxsinx+sinxcosx+cosxcosx=sin2x+1+sinxcosx=+sin2x-cos2x=+sin(2x-),
∴y=f(x)的最小正周期T=π,y=f(x)的最大值为+1=,最小值为-1=.
(2)将函数f(x)=+sin(2x-)的图象左移个单位,下移个单位得到y=sin2x关于坐标原点对称.
(附注:
平移(--,-),k∈Z均可)
15.(2010·
山东卷,文)已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>
0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值.
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,]上的最小值.
解析
(1)因为f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx,所以f(x)=sinωxcosωx+
=sin2ωx+cos2ωx+=sin(2ωx+)+.由于ω>
0,依题意得=π,所以ω=1.
(2)由
(1)知f(x)=sin(2x+)+,所以g(x)=f(2x)=sin(4x+)+.当0≤x≤时,≤4x+≤,
所以≤sin(4x+)≤1.因此1≤g(x)≤.故g(x)在区间[0,]上的最小值为1.
16.(2010·
湖北卷,文)已知函数f(x)=,g(x)=sin2x-.
(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出?
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使h(x)取得最小值的x的集合.
解析
(1)f(x)=cos2x=sin(2x+)=sin2(x+),
所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得的图象向上平移个单位长度即可.
(2)h(x)=f(x)-g(x)=cos2x-sin2x+=cos(2x+)+.当2x+=2kπ+π(k∈Z)时,h(x)取得最小值-+=.h(x)取得最小值时,对应的x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
1.y=cosx在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是____.答案 -π≤a≤0
2.如图是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象,那么f(x)可以写成( )
A.sin(1+x)B.sin(-1-x)C.sin(x-1)D.sin(1-x)答案 D
解析 设y=sin(x+φ),点(1,0)为五点法作图的第三点,∴由sin(1+φ)=0⇒1+φ=π,φ=π-1,∴y=sin(x+π-1)=sin(1-x).
3.(09·
宁夏、海南卷)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>
0,-π≤φ<
π)的图象如图所示,则φ
=______.答案
解析 显然2π-==⇒T==⇒ω=,将x=代入y=sin(ωx+φ),得×
+φ=-+2kπ,k∈Z,从而可得φ=+2kπ,k∈Z,又φ∈[-π,π),∴φ=.
4.(09·
浙江)已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )
答案 D解析 当a=0时,f(x)=1,图象即为C;
当0<
a<
1时,三角函数的周期为T=>
2π,图象即为A;
当a>
1时,三角函数的周期为T=<
2π,图象即为B.故选D.
1.函数y=cos(x+),x∈[0,]的值域是( )A.(-,] B.[-,]C.[,]D.[-,-]
答案 B解析 x∈[0,],x+∈[,π],∴y∈[-,].
2.如果|x|≤,那么函数f(x)=cos2x+sinx的最小值是( )A.B.-C.-1D.
答案 D解析 f(x)=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+,当sinx=-时,有最小值,ymin=-=.
3.已知函数f(x)=sin(πx+θ)cos(πx+θ)在x=3时取得最小值,则θ的一个值可以是( )
A.-B.-C.D.答案 B解析 f(x)=sin(2πx+2θ),f(3)=sin(6π+2θ)=sin2θ,此时sin2θ=-1,2θ=2kπ-,∴θ=kπ-(k∈Z).
4.函数y=12sin(2x+)+5sin(-2x)的最大值是( )A.6+B.17C.13D.12答案 C
解析 y=12sin(2x+)+5cos[-(-2x)]=12sin(2x+)+5cos(2x+)=13sin(2x++φ)(φ=arctan),故选C.
5.当0<x<时,函数f(x)=的最小值是( )A.B.C.2D.4答案 D
解析 f(x)==,当tanx=时,f(x)的最小值为4,故选D.
6.在△OAB中,O为坐标原点,A(1,cosθ),B(sinθ,1),θ∈(0,],则当△OAB的面积达到最大值时,θ等于( )
A.B.C.D.答案 D
解析
如图θ=-α,∴S=1-×
1×
sinα-×
cosα-(1-cosα)(1-sinα)
=-sinαcosα=-sin2α=-sin2θ,∴当θ=时,S取到最大值.故选D.
7.已知f(x)=,下列结论正确的是( )A.有最大值无最小值B.有最小值无最大值
C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值
答案 B解析 令t=sinx,t∈(0,1],则y=1+,t∈(0,1]是一个减函数,则f(x)只有最小值而无最大值.另外还可通过y=1+,得出sinx=,由sinx∈(0,1]也可求出,故选B.
8.函数y=sin2x+2cosx在区间[-π,α]上最小值为-,则α的取值范围是________.答案 (-π,]
解析 y=2-(cosx-1)2,当x=-π时,y=-,根据函数的对称性x∈(-π,].
9.函数y=sinx+cosx在区间[0,]上的最小值为________.答案 1
解析 y=sinx+cosx=2sin(x+),x∈[0,].∴x+∈[,],∴ymin=2sin=1.
10.函数y=+的最小值是________.答案 3+2
解析 y=+=+=3++≥3+2∴ymin=3+2.
11.(2011·
烟台质检)设函数f(x)=a·
b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间;
(2)当x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求m的值.
解析 ∵
(1)f(x)=2cos2x+sin2x+m=2sin(2x+)+m+1,∴函数f(x)的最小正周期T==π.
在[0,π]上的单调递增区间为[0,],[,π].
(2)当x∈[0,]时,∵f(x)单调递增,∴当x=时,f(x)取得最大值为m+3,即m+3=4,解之得m=1,∴m的值为1.
12.(2010·
北京卷)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.
(1)求f()的值;
(2)求f(x)的最大值和最小值.
解析
(1)f()=2cos+sin2-4cos=-1+-2=-.
(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1=3(cosx-)2-,x∈R,
因为cosx∈[-1,1],所以,当cosx=-1时,f(x)取最大值6;
当cosx=时,f(x)取最小值-.
13.(2010·
湖北卷)已知函数f(x)=cos(+x)cos(-x),g(x)=sin2x-.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使h(x)取得最大值的x的集合.
解析
(1)f(x)=cos(+x)cos(-x)=(cosx-sinx)(cosx+sinx)=cos2x-sin2x=-=cos2x-,f(x)的最小正周期为=π.
(2)h(x)=f(x)-g(x)=cos2x-sin2x=cos(2x+),
当2x+=2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最大值.h(x)取得最大值时,对应的x的集合为{x|x=kπ-,k∈Z}.
《三角恒等变换练习题》
1.已知,,则()A.B.C.D.
2.函数的最小正周期是()A.B.C.D.
3.在△ABC中,,则△ABC为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判定
4.设,,,则大小关系()
A.B.C.D.
5.函数是()A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数
C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数
6.已知,则的值为()A.B.C.D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)
1.求值:
_____________.2.若则.
3.已知那么的值为,的值为.
4.的三个内角为、、,当为时,取得最大值,且这个最大值为.
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,满分30分)
1.①已知求的值.②若求的取值范围.2.求值:
3.已知函数
①求取最大值时相应的的集合;
②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到的图象.
参考答案
一、选择题1.D,
2.D3.C为钝角4.D,,5.C,为奇函数,6.B
1.
2.
3.
4.
当,即时,得
1.①解:
.
②解:
令,则
2.解:
原式
3.解:
(1)当,即时,取得最大值
为所求
(2)
1.已知,则()A.B.C.D.
2.若均为锐角,()A.B.C.D.
3.()A.B.C.D.
4.()A.B.C.D.
5.()A.B.C.1D.
6.已知x为第三象限角,化简()A.B.C.D.
7.已知等腰三角形顶角的余弦值等于,则这个三角形底角的正弦值为()
A.B.C.D.
8.若,则()A.B.C.D.
9.已知,则()A.B.C. D.
10.已知,则的值为()A.B.C.D.1
11.求()A.B.C.1D.0
12.函数的图像的一条对称轴方程是()A.B.C.D.
二.填空题(共4小题,每小题4分,共16分)
13.已知为锐角,.14.在中,已知tanA,tanB是方程的两个实根,则.15.若,则角的终边在象限.
16.代数式 .
三.解答题(共6个小题,共74分)
17.(12分)△ABC中,已知.
18.(12分)已知.
19.(12分)已知α为第二象限角,且sinα=求的值.
20.(12分)已知,求的值及角.
21.(12分)已知函数,.
(1)求证的小正周期和最值;
(2)求这个函数的单调递增区间.
22.(14分)已知A、B、C是三内角,向量
且m.n=1
(1)求角A;
(2)若.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
B
D
A
C
答案
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13、14、15、第四16、
三、解答题(共6个小题,满分74分)
21.解:
(1)
(2)因为函数的单调递增区间为,由
(1)知,故
故函数的单调递增区间为
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- 三角函数 恒等 变换 归纳 习题