空间点线面之间的位置关系(一)Word文件下载.doc
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(3)三个平面两两相交且交线重合
(4)三个平面两两相交且交线平行
(5)三个平面两两相交且交线相交
例2、如图,是平面外的一点分别是的重心,
求证:
.
例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则棱A1B1所在直线与面对
角线BC1所在直线间的距离是
能力提升训练
1.已知A、B表示点,b表示直线,、表示平面,下列命题和表示方法都正确的是( ).
(A) (B)
(C) (D)
2.一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ).
(A)平行或异面 (B)异面 (C)相交 (D)相交或异面
3.如图,空间四边形ABCD中,M、N分别是△ABC
和△ACD的重心,若BD=m,则MN=__________.
4.下列命题中正确的个数是( )
若直线上有无数个点不在平面内,则.
若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都平行.
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
若直线与平面平行,则与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A. B.1 C.2 D.3
5.若直线不平行于平面,且,则下列结论成立的是( )
A.内的所有直线与异面 B.内不存在与平行的直线
C.内存在唯一的直线与平行 D.内的直线与都相交
6.已知,,是三条直线,角,且与的夹角为,那么与夹角为 .
7.如图,是长方体的一条棱,这个长方体中与垂直的棱共 条.
[来源:
Zxxk.Com]
(第7题图)(第10题图)
8.如果,是异面直线,直线与,都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个.
9.已知两条相交直线,,则与的位置关系是 .
10.如图,三条直线两两平行且不共面,每两条确定一个平面,一共可以确定几个平面?
如果三条直线相交于一点,它们最多可以确定几个平面?
11.如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:
与平行. 与是异面直线.
与成角. 与垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是( )
A.,, B.,C., D.,,
12.下列命题中,正确的个数为()
①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行;
②平行移动两条异面直线中的任何一条,它们所成的角不变;
③过空间四边形的顶点引的平行线段,则是异面直线与所成的角;
④四边相等,且四个角也相等的四边形是正方形
A.0 B.1 C.2 D.3
13.在空间四边形中,,分别是,的中点,则与的大小关系是 .
14.已知是一对异面直线,且成角,为空间一定点,则在过点的直线中与所成的角都为的直线有 条.
15.已知平面,是平面外的一点,过点的直线与平面分别交于两点,过点的直线与平面分别交于两点,若,
则的长为 .
16.空间四边形中,,,,分别是,,,的中点,若,且与所成的角为,则四边形的面积是 .
17.已知正方体中,,分别为,的中点,,.求证:
(1),,,四点共面;
(2)若交平面于点,则,,三点共线.
二、直线与平面平行、平面与平面平行
1、掌握线面、面面平行的性质
2、掌握线面平行的证明方法
3、掌握面面平行的证明方法
1、直线与平面的位置关系:
平行、相交、在平面内
2、直线和平面平行的判定及性质
(1)判定如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
(简述为线线平行线面平行)
(2)性质如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。
(简述为线面平行线线平行)
3、两个平面的位置关系:
平行、相交
4、两个平面平行的判定与性质
(1)判定如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
(2)性质如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行
5、两个平行平面的距离
和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平面的公垂线.公垂线夹在平行平面间的部分.叫做这两个平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度,叫做两个平行平面的距离
例1、如图,在三棱锥P-ABC中,点Ο、D分别是AC、PC的中点,
OD//平面PAB
例2、如图在四棱锥P-ABCD中,M、N分别是AB,PC的中点,若ABCD是平行
四边形,求证:
MN//平面PAD
例3、如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
平面A1BD//平面CB1D1
例4、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,其棱长为1.求证:
平面AB1C∥平面A1C1D.
变式拓展:
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、E、F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点.
求证:
平面AMN∥平面EFDB.
例5、已知正方体ABCD-A′B′C′D′中,面对角线AB′、BC′的中点分别为点E、F,且B′E=C′F.
(1)EF∥平面A′ACC′;
(2)平面ACD′∥平面A′BC′.
例6、已知平面α∥β,Pα且Pβ,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且PA=6,AC=9,PD=8,求BD的长.
提示:
例7、在正方形中,已知正方体的棱长为,M、N分别在其对角线AD1与DB上,若AM=BN=x。
(1)求证:
MN//平面CDD1C1;
(2)设MN=y,求y=f(x)的表达式;
(3)求MN的最小值,并求此时x的值;
(4)求AD1与BD所成的角。
1.是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定的是:
__________(填序号)
(1).a,b是平面内的直线,且a//,b//;
(2).内不共线的三点到平面的距离相等;
(3).都垂直于平面;
(4).a,b是两条异面直线,且均与平面平行;
2.下列命题正确的是:
(1)平行于同一条直线的两个平面平行;
(2)平行于同一平面的两个平面平行;
(3)垂直于同一直线的两个平面平行;
(4)与同一直线成等角的两个平面平行;
3.下列命题,其中真命题的个数为.
①直线l平行于平面内的无数条直线,则l∥;
②若直线a在平面外,则a∥;
③若直线a∥b,直线b,则a∥;
④若直线a∥b,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.
4.设l,m,n是三条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列命题:
①若l∥n且m∥n,则l∥m;
②若l∥α且m∥α,则l∥m;
③若n∥α且n∥β,则α∥β;
④若α∥γ且β∥γ,则α∥β;
其中正确命题的序号是________.(把正确命题的序号都填上).
5.下列条件中,不能判断两个平面平行的是(填序号).
①一个平面内的一条直线平行于另一个平面②一个平面内的两条直线平行于另一个平面
③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,
平面MNP//平面A1BD.
7.如图,在正三棱锥中,、、分别是棱、、上的点,
且,,,是的中点.求证:
平面∥平面;
∥平面
8.已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,
求证:
AP//GH
B
H
G
M
D
P
C
A
三、直线与平面垂直、平面与平面垂直
4、掌握线面、面面垂直的性质
5、掌握线面垂直的证明方法
6、掌握面面垂直的证明方法
1、线线垂直
判断线线垂直的方法:
所成的角是直角,两直线垂直;
垂直于平行线中的一条,必垂直于另一条。
三垂线定理:
在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理:
在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式:
。
注意:
⑴三垂线指PA,PO,AO都垂直α内的直线a其实质是:
斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置,并注意两定理交替使用。
2、线面垂直的定义
如果直线l和平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α垂直,记作l⊥α。
3、线面垂直的判定及性质
(1)判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线就垂直于这个平面。
(2)性质垂直于同一平面的两条直线平行。
4、线面角
直线和平面所成的角的定义:
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。
特别地,如果一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角为直角;
一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°
的角,
5、二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面,如图所示,即为一个二面角
α—l—β。
二面角的取值范围是。
6、面面垂直的判定及性质
(1)判定如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。
简述为“线面垂直,则面面垂直”。
(2)性质如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
例1、已知,如图正方体中
A1
B1
C1
D1
例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:
A1C⊥平面BC1D.
例3、如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,
(I)求证:
AC⊥BC1;
(II)求证:
AC1//平面CDB1;
(III)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
例4、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,且PA=AD=DC==1,M是PB的中点。
证明:
面PAD⊥面PCD
例5、已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,平面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.
(1)证明平面PED⊥平面PAB;
(2)求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.
例6、如图所示,在斜边为AB的Rt△ABC中,过A作PA⊥平面ABC,AM⊥PB于M,AN⊥PC于N。
(1)求证:
BC⊥面PAC;
(2)求证:
PB⊥面AMN;
(3)若PA=AB=4,设∠BPC=θ,试用tanθ表示△AMN的面积,当tanθ取何值时,△AMN的面积最大?
最大面积是多少?
线面垂直练习
1、下列命题中正确的序号是:
(1)若,,则(4)若,,则
(2)若,,则(5)、若,,则
(3)若,,则
2、与两条异面直线同时垂直的平面有________个.
3、若m、n表示直线,α表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为________.
①⇒n⊥α;
②⇒m∥n;
③⇒m⊥n;
④⇒n⊥α.
4、PA垂直于以AB为直径的圆所在平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列关系正确的是________(填序号).
①PA⊥BC;
②BC⊥平面PAC;
③AC⊥PB;
④PC⊥BC.
5、P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC内的射影.
(1)若P到△ABC三边距离相等,且O在△ABC的内部,则O是△ABC的________心;
(2)若PA⊥BC,PB⊥AC,则O是△ABC的______心;
(3)若PA,PB,PC与底面所成的角相等,则O是△ABC的________心.
6、如图所示,在正三棱柱中,底面边长和侧棱都是2,D是侧棱上任意一点.E是的中点.
(1)求证:
7、已知正方形ABCD的边长为1,.将正方形ABCD沿对角线折起,使,得到三棱锥A—BCD,如图所示.
;
8、(2011江苏高考改编)如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,
AB∥DC,∠BCD=900,求证:
PC⊥BC
S
9、如图,在四面体SABC中,SA=SB=SC,∠ASC=90°
,∠ASB=∠BSC=60°
,若为中点,求证:
10、(2011.湖北高考第18题)如图,已知三棱柱中,和为边长2正三角形,侧棱垂直于底面,侧棱长为,点在侧棱上,点在侧棱上,且, 求证:
F
E
11、如图,PA=BC=6,AC=8,PC=AB=10,点E在线段AB上,CE⊥平面PAB,F是线段PB上一点,CF=。
PC⊥BC;
PB⊥平面CEF。
N
12、如图,四边形为矩形,平面,
为上的点,且平面.
(2)设点为线段的中点,点为线段的中点.
平面.
13、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA垂直于底面ABCD,E,F分别是AB,PC的中点。
CD⊥PD;
EF∥平面PAD;
(3)直线PD与平面ABCD成多大角时,直线EF⊥平面PCD?
14、如图,四面体ABCD中,CD⊥平面ABC,AC⊥BC,H为C点在面ABD内的射影,P为棱BC的中点,连结AH并延长交BD于M。
AC⊥BD;
点H为△ABD的垂心;
(3)试过点P与点M作四面体ABCD的一个截面,使之与CH平行。
能力提升强化训练
题型1:
线线垂直问题
1.如图1所示,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1,A1B1,BC,CD,DA,DE,CL的中点,求证:
EF⊥GF。
题型2:
线面垂直问题
2.
(1)(2006北京文,17)如图,ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱,求证:
BD⊥平面ACC1A1。
(2)(2006天津文,19)如图,在五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,面CDE是等边三角形,棱。
(I)证明平面;
(II)设证明平面。
3.如图,直三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°
,AA1=,D是A1B1中点.
(1)求证C1D⊥平面A1B;
(2)当点F在BB1上什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?
并证明你的结论。
题型3:
面面垂直问题
4.如图,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA。
5.(2003京春理,19)如图所示,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4.E,F分别为棱AB,BC的中点,EF∩BD=G。
(Ⅰ)求证:
平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(Ⅱ)求点D1到平面B1EF的距离d;
(Ⅲ)求三棱锥B1—EFD1的体积V。
题型4:
射影问题
6.
(1)如图,正方形所在平面,过作与垂直的平面分别交、、于、K、,求证:
、分别是点在直线和上的射影.
(2)(2006湖北理,18)如图,在棱长为1的正方体中,是侧棱上的一点,。
(Ⅰ)试确定,使直线与平面所成角的正切值为;
(Ⅱ)在线段上是否存在一个定点Q,使得对任意的,D1Q在平面上的射影垂直于,并证明你的结论。
7.如图1所示,已知A1B1C1—ABC是正三棱柱,D是AC的中点。
(1)证明AB1∥DBC1;
(2)假设AB1⊥BC1,BC=2,求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长。
题型5:
垂直的应用
8.已知是边长为的正三角形所在平面外一点,,求异面直线与的距离。
图⑴
图⑵
图⑶
9.如图,在空间四边形中,、、、分别是边、、、的中点,对角线且它们所成的角为。
⑴求证:
,⑵求四边形的面积。
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- 空间 点线 之间 位置 关系