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导弹弹道学
导弹弹道学missileballistics
研究导弹飞行中质心运动的学科。
它是在外弹道学基础上发展起来的,是导弹飞行力学的一个分支,属于应用力学范畴。
导弹是现代武器,只有约50年的历史。
随着导弹出现而发展起来的导弹弹道学是一门新的边缘学科。
研究导弹运动状态的现代学科,除导弹弹道学外,还有研究导弹绕质心运动的姿态控制学和研究导弹落点散布的制导理论等。
这些学科是相互紧密联系的。
导弹弹道学涉及地球物理学、空气动力学、应用数学、计算机程序设计等广泛的知识领域。
导弹弹道学是研究和解决导弹及其系统在研制、试验和战斗使用中直接与导弹质心运动规律有关的各种实际问题。
它与研究一般力学对象运动规律的理论力学,既有区别又有联系。
在理论力学中给出一般力学对象作机械运动时,应遵循普遍规律和描述其运动的运动方程;而导弹弹道学则根据理论力学的普遍规律,深入地分析导弹这一特定对象的运动规律。
其主要研究内容有:
①研究描述导弹运动的微分方程组的建立和解法,进行弹道计算;②研究导弹的飞行特性(主要是导弹的射程和飞行高度)与设计参数的依从关系,合理选择导弹的设计参数;③选择最佳飞行路线,以保证导弹能量的最佳运用;④研究各种干扰因素对弹道性能的影响;⑤编制导弹射表,供试验或战斗使用。
导弹质心运动的轨迹称为导弹弹道。
根据导弹弹道形成的特点,一般可以把弹道分为三类:
第一类是弹道导弹弹道,亦称自主弹道。
这类弹道在导弹发射前是预先规定的,适用于攻击固定目标,导弹发射后一般不能随意改变,只能沿预定曲线飞向目标。
第二类是有翼导弹弹道,亦称导引弹道。
这类弹道是一种随机弹道,在导弹发射前不能预先规定,须视目标的活动情况而定,一般适用于攻击活动目标。
大部分有翼导弹(如地空导弹、空空导弹等)的弹道属于这一类。
第三类是巡航导弹弹道,亦称复合弹道。
这类弹道一般分为两部分,一部分是按预先规定的程序飞行,另一部分须根据目标特性实时确定。
这类弹道既适用于攻击固定目标,又适用于攻击活动目标,陆基、舰载、机载巡航导弹属于这一类。
弹道导弹弹道 根据受力情况,弹道一般分为三段(图1):
主动段(OK)、自由段(KE)和再入段(EC)。
主动段是导弹推进系统工作的飞行阶段,亦称动力飞行段。
在这一段,导弹的飞行是有控的。
此时,作用在导弹上的力有推力、空气动力、控制力、地球引力和由于地球旋转引起的惯性力等。
主动段飞行时间约100秒到200秒左右。
在自由段,导弹弹头与弹体分离,弹头依靠在主动段终点获得的能量,在接近真空的环境下作惯性飞行,此时,作用在弹头上的力主要是地球引力和地球旋转引起的惯性力。
自由段飞行时间较长,如洲际弹道导弹的自由段飞行时间可长达数千秒。
再入段是弹头再入大气层一直到落点的一段弹道。
再入段起始点(E)的高度一般为80公里左右。
此时,导弹飞行处于稠密的大气层内,弹头将受到巨大的空气动力的作用,飞行时间约数十秒。
以某一洲际弹道导弹为例:
导弹在发射台上点火,当其推力超过导弹所受的重力后,导弹从发射台上起飞,作垂直上升运动,垂直上升段的持续时间为10秒左右,此时离地面的高度约200米,速度约40米/秒。
此后,导弹在控制系统作用下,开始转弯,并指向目标。
随着时间的增长,导弹的飞行速度、飞行高度及飞行距离逐渐增大,而弹道倾角θ(导弹飞行速度矢量与地平线的夹角)逐渐减小。
到发动机关机时,即到主动段终点K时,导弹的速度Vk约7000米/秒,K点离地面高度约为200公里,离发射点O的水平距离约为700公里。
在自由段的升弧段飞行高度继续增大,飞行速度下降,当到达弹道最高点(约1000公里)时,飞行速度为自由段的最小值。
从此,弹道开始下降,飞行速度开始增大,当到达再入点E时,飞行速度达到7000米/秒以上。
进入大气层后,由于空气阻力的作用,飞行速度又开始下降,直到落地。
在弹道上飞行速度V、飞行高度h随时间t的变化规律(图2)。
导弹飞行时所受的力 导弹飞行时所受的力主要有地球引力、发动机推力、空气动力和控制力等。
地球引力是地球万有引力对导弹的作用力,它与地球形状和地球内部质量分布有关。
发动机推力是导弹发动机喷流产生的反作用力,是导弹飞行的主动力。
空气动力是导弹相对于空气运动时,产生作用于导弹的力,空气动力可分解为阻力和升力,阻力与气流方向相反,升力垂直于气流方向。
空气动力与导弹飞行速度、飞行攻角和大气环境等有关。
控制力是为了改变导弹的飞行姿态而需要的力,控制力的产生可通过摆动发动机、燃气舵、空气舵等方式来实现。
导弹质心运动方程 导弹在飞行中需不断消耗弹上燃料,因此在建立运动方程时,必须把导弹作为变质量体来考虑,计入变质量的力学效果。
用变质量的动量定理建立的导弹质心运动方程为:
式中VX、VY、VZ为导弹飞行速度在发射坐标系中的分量,FX、FY、FZ是除地球引力以外的外部合力在发射坐标系中的分量,m是导弹的质量,aeX、aeY、aeZ和acX、acY、acZ分别为地球旋转引起的牵连加速度和科氏加速度的分量,íx、íy、íz是引力加速度的分量。
对运动方程积分,经简化后,可得到导弹主动段终点速度Vk的公式:
式中í0为地面标准重力加速度,Pb为发动机比推力,m0为导弹的初始质量,mk为导弹的主动段终点质量,ΔVg为主动段飞行中重力造成的速度损失,ΔVd为主动段飞行中空气阻力造成的速度损失,ΔVt为主动段飞行中大气压力使发动机推力下降而造成的速度损失。
表达式的第一项
称为理想速度。
导弹射程与主动段终点弹道参数的关系 当忽略大气影响,在地球有心力场作用下,弹道方程的极坐标形式(圆锥截线方程)为:
式中r为导弹质心到地心的距离,f为发射点到导弹质心的地心夹角,fB为弹道最高点对应的f值,p为圆锥截线的焦点参数,e为圆锥截线的偏心率。
p、e是主动段终点弹道参数速度Vk、弹道倾角θk和地心矢径rk的函数。
在椭圆型弹道情况下,导弹射程与主动段终点弹道倾角的关系见图3。
图中虚线所示为最小能量线,即在给定主动段终点速度Vk下所能达到的最大射程。
此时所对应的弹道倾角θk,称为最佳弹道倾角。
在射程较小时,最佳弹道倾角接近45°,当射程增大时,最佳弹道倾角随之减小。
导弹主动段飞行程序的选择 在弹道设计中占有重要地位,飞行程序决定导弹飞行弹道的形状。
具体说飞行程序是指俯仰角(导弹纵轴与地球水平面的夹角)φ的变化规律。
飞行程序选择关系到能否正确使用和充分发挥导弹的性能。
导弹的一些重要性能,如最大射程、落点散布以及导弹飞行中的载荷等都与选择飞行程序有关。
对飞行程序选择的要求是:
①垂直起飞,这样能克服倾斜发射的缺点,使发射设备简单;②导弹飞行转弯时,法向过载要有限制;③俯仰角变化应是连续的,角速度和角加速度要有限制;④应保证可靠的级间分离和弹头分离的条件;⑤满足所需要的主动段终点弹道倾角θk的要求。
在飞行程序选择中要运用优化方法,使导弹的性能(如最大射程、落点散布)为最佳。
常用的优化方法有:
直接法(如参数优选法、图解法、梯度法)和间接法(如古典变分法、极大值原理)。
应用于飞行程序的优化方法,目前还在不断发展中。
优化设计对提高导弹的性能有着重要意义。
弹道计算 通常用数值方法来求解导弹的运动方程。
弹道计算在导弹各设计阶段和导弹试验以及射表编制工作中,是一项必不可少的工作。
由于导弹射程的增大和导弹命中精度的提高,对弹道计算的精度要求也愈来愈高。
弹道计算的精度,依赖于导弹运动方程的描述精确度和数值计算方法。
对有控制的导弹来说,弹道计算影响命中精度的主要因素,是制导特征量的计算精度和地球非球形摄动。
当导弹射程达到1000公里左右时,就必须考虑地球扁率的摄动,而对洲际导弹还必须顾及高阶项的摄动(如重力异常等),计算结果表明,高阶摄动对射程影响为1~2公里的量级。
随着导弹命中精度的提高,对这些因素的考虑必须愈来愈精确(如果导弹采用末制导,情况则不同,这时命中精度只依赖于制导的精度)。
弹道计算与高速电子计算技术结合,使飞行仿真模拟成为现实。
给定弹道飞行模型,编制计算程序,通过计算机大量计算,可以得到各种随机过程的许多结果,例如导弹最大射程的概率特征、落点散布等。
用飞行仿真模拟可以部分代替昂贵的飞行试验。
射表编制 编制导弹射表的目的是在已知发射条件下,确定发射装定诸元与目标位置的关系。
装定诸元包括基本装定诸元和辅助装定诸元。
基本装定诸元为射程控制特征量和发射方位角,装入制导系统的射程控制特征量用来确定发出最后一级发动机关机指令时间,而方位角则用于导弹方位瞄准。
辅助装定诸元包括制导系统的有关参数、标准导引装定量、必要的时间信号等装定诸元。
一般远程导弹的发射装定诸元多达数百个参数。
射表编制是在精确的弹道计算和飞行试验基础上进行的。
随着电子计算机向高速、大容量、小型化方向发展,用电子计算机代替表册形式的射表已成为现实。
有翼导弹弹道 攻击活动目标的地空或空空等有翼导弹的飞行弹道,属于导引弹道。
导引弹道是根据导弹与目标的相对运动关系进行控制的,所以目标的运动总是直接或间接地决定着导弹的弹道。
同时不同的导引方式使弹道形状各不相同。
常用的导引方式有追踪法、前置角法、三点法等(见导弹制导系统)。
巡航导弹弹道 巡航导弹是指具有飞机动力型式并携带战斗载荷的无人驾驶有翼式飞行器。
它的显著特点是弹道主要部分是作定态等速水平飞行,通常采用空气喷气发动机。
这类导弹一般都具有较大的弹翼,用以产生升力来平衡本身的重量和作必要的机动飞行。
在飞行弹道方面与普通有人驾驶的飞机颇为类似。
其弹道可以分为如下几段:
①初始段。
从地面爬升到足够高度,转为水平飞行时的这段弹道;②水平飞行段。
这一段占全部弹道的大部分,这时发动机的推力大致刚好克服迎面阻力,而弹翼的升力刚好克服重力;③最终段。
当接近目标上空时,从水平飞行转入俯冲到命中目标的这段弹道。
为了提高命中精度,在最终段要采用自动瞄准。
攻击空中活动目标的导弹,在水平飞行之后,立即转入自动瞄准。
摘要随着一种高精度的弹道导弹外弹道测量途径GPS的产生,弹道导弹制导误差的分离工作就变得相对简单了。
在分析了GPS用于靶场外弹道测量的可行性和实施方案之后,推导了使用精确外测数据对导弹飞行轨迹偏差尤其是制导误差进行分离的方法和过程;着重研究了在制导误差分离工作中占统治地位的制导工具误差系数分离工作的Bayes方法;分析了在具备高精度GPS外测数据时制导工具误差系数分离结果的精度变化情况。
关键词全球定位系统,制导误差,Bayes方法。
TheApplicationofGPSinGuidanceInstrumentErrorSeparation
onBallisticMissile
KangJianbinLiuXinxueWangMinghaiZhangShengcai
(StaffRoomof603,TheSecondArtilleryEngineeringCollege,Xi′an,710025)
AbstractAlongwiththeappearanceofahighaccuracymeasurementdeviceGPSforexteriorballistics,itbecomesrelativelysimplefortheguidanceerrorseparationonballisticmissile.AfterthefeasibilityandimplementationmethodaboutmeasurementforexteriorballisticswithGPSareanalyzed,themethodandprocedureoferrorseparatingonflightpathdeviation,especiallytheguidanceerror,usingthehighprecisiondatafromexteriorballisticsmeasuringarepresented.Furthermore,theBayesmethodofcoefficientseparationaboutguidanceuniterrorthatoccupiesthemostoftheguidanceerrorisresearched.Finally,theimprovementamongtheaccuracyofinstrumenterrorseparationisanalysedwhileemployinghighprecisiondatafromtheexteriorballisticsapproachjustlikeGPS.
KeyWordGPS,Guidanceerror,Bayesmethod.
1引言
众所周知,导弹制导误差对于导弹的射击精度起着举足轻重的作用。
因此,分析清楚占制导误差80%以上的制导工具误差的工作,其重要性是显而易见的。
导弹精度分析的主要任务是分离出各制导工具误差系数的大小量级以及天地关系。
制导工具误差系数分离的工作基础需要高质量的遥、外测数据以及相当准确的工具误差模型。
提高导弹遥测数据的精度需要付出相当大的代价,而传统的外测手段如光学、红外以及雷测等则由于地形、天气的影响很难提供高精度的外测数据。
本文研究了将GPS用于外弹道测量时导弹制导误差的分离工作以及制导工具误差系数分离结果的精度变化情况。
2GPS外弹道测量
2.1GPS现状
GPS系统目前由24颗卫星组成(其中包括21颗工作卫星,3颗备份卫星),配置在赤道上相隔60°的6个轨道,每条轨道上均匀部置4颗卫星,卫星轨道为近圆轨道,轨道半径约为20000km,运行周期约为12h,轨道倾角约为55°。
每颗卫星均以双频(L1=1575.42MHz,L2=1227.6MHz)发送连续载波信号;其中,L1(波长为19.03cm)用P码和C/A码调制,L2(波长为24.42cm)使用P码调制;此外,L1、L2载波均以30bit/s的速度发送导航电文来提供卫星位置、钟差等信息。
GPS是目前世界上唯一投入实际运用的卫星导航系统,同时,GPS也为美国进行制导误差分析的飞行器试验即所谓的制导鉴定弹(GEM)试验弹道提供了一条理想的途径。
2.2GPS外弹道测量方案及测量方程
目前,GPS在导航、制导、快速定位、大地测量、重力测量等方向应用极为广泛,但不容忽视的是GPS用于弹道导弹外弹道测量也是一个极为重要的用途。
GPS用于弹道外弹道测量的方案大致可以分为以下两类。
2.2.1接收机方案
所谓接收机方案就是导弹上自带有GPS接收机,通过4颗卫星经多通道接收机接收,进行卡尔曼滤波处理后经由遥测系统将运动状态变量发往地面。
这种方案最致命的缺点是弹上设备较多,费用昂贵,而且弹上可能无法容纳很大的体积和重量,故这种方案基本已被淘汰。
2.2.2转发器方案
使用导弹上装载的LS波段的频率变换器来接收GPS卫星L波段的载波信号,并将其变频到S波段后转发至地面,由地面站运行相应的数据处理。
由于S波段与遥测频带一致,故可用遥测的射频来发送GPS外测信息。
这种方案的优点是弹载转发器体积小、重量轻、成本也比较低,同时还可以把接收到的所有卫星信息全部转发至地面站记录,从而获得更多外测信息,有利于精度的提高。
鉴于此种方案的种种优点,故为许多GPS外测系统(如SATRACK—Ⅱ)所采用。
a)广泛用的转发器方案的GPS测量方程。
图1GPS外弹道观测几何
如图1所示,在转发器方案中,导弹(M)转发GPS卫星(Si)信号给地面接收站(G),并由地面站作实时的导弹运动状态计算或大信息量的记录以待事后处理。
图1中,Ri为卫星到导弹的距离,且有:
设导弹转发器(M)与地面接收站(G)共用同一频率源及时间基准,当卫星数量大于4时,GPS卫星用于弹道导弹外弹道测量的外测方程如下:
式中C0——光速;
τi——第i颗卫星发射电磁波经转发器传送到地面站所需时间,i=1,2,…,n;
Δtr——地面接收站(G)的时钟偏差;
Δtjs——第j颗卫星的时钟偏差;
ρi——第i颗卫星经转发器到地面站的伪距和,i=1,2,…,n。
由上面的方程(n个)可以解得
或
以及地面站时钟偏差Δtr。
线性化方程
(2)可得外测误差方程为
式中
——第j颗卫星观测视线(LOS)的单位矢量;
b——转发器(导弹)钟差的等效距离,Δb=CΔtr;
li——近似伪距偏差量;
(x0,y0,z0)——导弹的概略坐标;
(xG,yG,zG)——地面接收站的坐标;
——第j颗卫星的坐标;
参考坐标系为WGS-84椭球坐标系。
观测误差方程(3)可写成如下矩阵形式:
V=EX-L(4)
其中
由上面误差方程的结果可以得到GPS卫星观测结果的方差和协方差阵。
关于GPS测量值归算到其他坐标系的问题可参阅文献[2],时钟统一问题也可参阅相关文献。
GPS对于导弹速度的测量计算既可通过测距定位方程的微分运算得到,也可通过测量多普勒频移得到,具体参考文献[2]。
目前,美国将GPS用于靶场外弹道测量后,其外测的位置精度可达到5m左右,速度精度可达到0.01m/s左右。
当然这是使用P码测量的结果。
3弹道导弹制导工具误差分离
3.1使用GPS外测数据分离全弹道飞行误差
不妨将导弹的实际落点的纵向偏差记为ΔL,则有:
ΔL=ΔL1+ΔL2+ΔL3(5)
式中ΔL1——制导误差造成的落点纵向偏差;
ΔL2——后效误差造成的落点纵向偏差;
ΔL3——再入误差造成的落点纵向偏差。
使用GPS外测数据得到关机点的状态以及再入点的信息之后,可以有:
LK=Lidea+ΔL1(6)
LRE=Lidea+ΔL1+ΔL2(7)
式中Lidea——不考虑误差因素影响条件下计算得到的理想射程;
LK,LRE——分别表示根据GPS精确外测数据得到的实际飞行弹道关机点以及再入点对应的导弹射程。
则该弹道导弹全弹道飞行误差的分离工作可以进行如下:
3.2导弹制导工具误差系数的分离
制导工具误差系数分离的数学方法很多,如线性回归模型的参数估计法、平稳统计方法、岭估计、广义压缩统计、Bayes估计等,本文选用实际分离效果较好的Bayes估计方法来进行这项工作。
3.2.1验前信息的确定
由于在Bayes估计中将待估计参数认为是随机变量,因此本文将该型号导弹的制导工具的精度设计指标、地面各制导工具误差系数的测量值、同批项目型号导弹的飞行试验弹道这三方面的信息综合作为该发弹制导工具误差系数的验前信息。
现以同批次导弹飞行试验弹道的信息为例来说明关于制导工具误差系数验前信息的确定。
设飞行试验弹道的落点纵、横向偏差为ΔL,ΔH,制导工具误差引起的落点偏差为ΔLg,ΔHg,制导方法误差引起的落点偏差为ΔLf,ΔHf,非制导误差引起的落点偏差为ΔL0,ΔH0,则有:
经过一系列数学推导可以得到如下的制导工具误差表示形式(详细过程请参阅文献[1]):
式中Wik——关机点的视速度;
Wk——关机点的视位移;
下标k——关机点的参数。
根据:
(Sij为n维制导工具误差系数Ci所对应的环境函数)
综合上面几式可以得到:
式中A,B——纵、横向的环境函数矩阵,其中,
则n维制导工具误差系数向量C的验前信息为
综合地面测量值以及精度设计指标,则制导工具误差系数的验前信息C0一般表示为下面的形式:
3.2.2制导工具误差系数的Bayes估计
弹道导弹的制导工具主要是加速度表、陀螺和惯性平台,其具体误差模型可参阅有关文献[1,3],下面不加推导地给出经过规范化的制导工具误差系数分离模型:
式中S——上面所用到的环境函数矩阵,可以通过遥测数据得到,具体参见文献[1];
ΔW——遥、外测设备的导弹视速度差;
ξ——m维测量误差向量;
I——单位矩阵。
联合上面的验前信息并经过整理可得到如下的Bayes估计模型(注意ξ,η为相互独立的随机变量):
由GaussMarkov定理可得n维制导工具误差系数向量C的Bayes估计如下:
4GPS用于惯性制导工具误差系数分离的结果分析
和以前传统的靶场弹道外测设备相比,GPS提供了相当高精度的定位数据,而且克服了传统外测途径的种种缺点,如跟踪困难、精度难以达到要求等。
下面对将GPS外测数据引入制导工具误差系数分离模型所带来的估计量的改善进行分析。
假设在其他条件不变的情况下,即只有遥外测视速度差因引入GPS外测结果而得到改善的情况下对Bayes估计量的影响加以对比分析。
不妨假设GPS外测系统的定位精度是10m,而传统的外测设备如光学、红外或雷测系统的定位精度是20m。
参考前面给出的GPS定位、测速原理,本文使用微分方程的方法来进行测速计算。
根据谱方法可得微分方程的误差传播方程如下(假设定位误差的误差为有限带宽的白噪声):
式中PSDr(W)——GPS定位功率谱密度,取
fc——卫星频率,fc<1。
通过上式可以得到GPS外测系统的测速误差为
传统外测手段如光学、红外或雷测系统的测速误差为
这两者在Bayes估计中的反映为
比较二者的方差可以得到:
上式表明,使用GPS外测系统所得到的工具误差系数的方差仅为使用传统外测结果误差系数方差的1/4,这样就大大降低了制导工具误差系数分离的不准确度,因为该Bayes估计量是一种渐进无偏估计量。
5结束语
诚然,美国对于GPS的使用制定了种种政策上的限制使得许多用户很难得到高精度的测量数据,国内也有许多人认为只有斥巨资建立自己的导航定位系统才有可能高精度地分离制导误差及其工具误差系数。
从目前形势来看,GPS已在许多商业领域内广泛应用,美国也很难贸然关闭GPS的民用系统(差分技术的应用将会大大提高GPS民用系统的测量精度);而且,使用GPS进入外弹道测量以进行导弹武器的制导工具误差分离工作也只需要在相当短的时间里完成,然而它对提高弹道导弹的射击精度却带来了相当大的益处。
本文所展示的使用GPS进行外弹道测量与使用传统外弹道测量所得到的制导工具误差系数的分离精度的显著差异就说明了这一点。
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