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有的用式子表示,比较抽象,对于这类概念,必须深刻揭示每一次词、句的真实含义。
例如:
((参看赵振威教材141及案例)
两个定点、和为定长、动点的轨迹这三条,基本上就可以描述椭圆定义的发生过程,并可画出图形帮助理解和记忆。
同时,在利用图形引入概念时,要注意图形的变式,以舍弃无关特征,突出对象的关键属性,使获得的概念更准确、易于迁移。
而且,应使学生明确表示概念的符号的含义。
数学中的概念常用符号表示,这是数学的特点,也是数学的优点。
在实际教学中要防止两种脱节:
一是概念与实际对象脱节;
二是概念与符号脱节。
联系现实原型,对概念做唯物的解释,丰富学生的感性认识,利于理解概念的实际内容,体会学习新概念的目的意义,激发学生学习的主动性和积极性。
有理数、无理数概念(参看赵振威教材140)及“数怎么不够用了”
(ⅱ)掌握内涵。
概念的定义,并不反映概念所包含的全部本质属性,因此概念的形成,还必须掌握概念的内涵。
概念的内涵有的是由定义推衍得到的,例如,由平行四边形的定义可以推衍得:
两对边相等,两对角分别相等,对角线互相平分;
有的还必须借助其他概念和知识的积累而趋于完善,例如,正方形的内涵:
正方形有内切圆、外接圆,在周长一定的四边形中正方形所围的面积最大等等。
因此,认识概念的过程是逐步深化的过程,只有对事物的本质属性达到比较完整的认识时,才能形成概念。
(ⅲ)完成分类。
掌握概念不仅要掌握概念的内涵,而且要掌握概念的外延,这是概念的质和量的表现,二者是不可分割的。
完成分类也是形成概念的必要条件和具体标志之一。
(ⅳ)掌握有关概念间的逻辑联系。
每一个概念都处在和其余一切概念的一定关系、一定联系中,引导学生正确地认识有关数学概念之间的逻辑联系,认识它们外延之间的关系,通过比较加深对概念的理解,边使知识系统化、条理化。
(参看赵振威教材142、143比较、对比)
下面给出函数概念教学设计的例子。
提出问题:
出于防洪灌溉的需要,某水库常需要知道它的实际储水量,你能设计出一个简单易行的测量储水量的方案吗?
具体地应该做哪些工作?
学生容易知道,直接测量水库的储水量是困难的,但是测量水库在某一点的水深却是很容易的。
那么,能不能通过测量水深来间接地测量储水量呢?
通过对以上问题(及类似问题)的讨论,让学生理解建立函数关系的目标(即用较容易刻划的变量来刻划另一个变量),产生建立函数概念的意识。
揭示函数概念的内涵。
当然,并不是两个互不相关的变量都可以实现用其中的一个来表示另一个的目的。
这样就有了问题:
当两个变量具有什么样的联系时,才能实现用一个变量来刻划另一个变量?
这样,在此问题的指引下,寻找函数概念本质属性的活动就可以展开了,于是学生就可以利用其原有的认知结构来进行建构函数概念的活动,从而掌握了学习与思考的主动权。
2.2.2巩固
由于概念具有高度的抽象性,不易达到牢固掌握,而且数学概念数目不少,不易记忆,故巩固概念的教学十分重要。
可采取以下作法:
(ⅰ)引入新概念后,让学生及时做一些巩固练习。
例如,为使学生理解和明确“集合”的“三性”,可提问:
“大数的集合”、“老年人的集合”、“胖子的集合”对吗?
又如:
举反例144
(ⅱ)后次复习前次概念,进行知识的“返回”、“再现”。
新概念必然涉及一系列旧概念,可通过复习回顾原有概念,为新概念的引入铺平道路,做到承前启后,进一步巩固原油概念。
(ⅲ)注意概念的比较143比较、对比)。
针对数学概念中容易出错的地方、易混淆和难理解的概念,有目的地设计一些问题,运用分析比较的方法,指出它们的相同点和不同点,供学生鉴别,以加深印象。
例如,“排列”与“组合”;
“随机现象”与“随机事件”等等都是有区别的。
(ⅳ)及时小结或总结。
在讲完某一节或某一单元后,注意引导学生进行知识内容的小结和总结。
概念是其中的主要内容,包括概念的关系、概念间的区别及联系等,使学生的概念知识系统化、条理化。
142.145
(ⅴ)通过解题及反复应用。
解题是使学生熟练掌握概念和数学方法的手段。
2.2.3运用
数学概念的运用是指学生在理解概念的基础上,运用它去解决同类事物的过程。
数学概念的运用有两个层次:
一种是知觉水平上的运用,是指学生在获得同类事物的概念以后,当遇到这类事物的特例时,就能立即把它看作这类事物中的具体例子,将它划入一定的知觉类型。
另一种是思维水平上的运用,是指学生学习的新概念被纳入水平较高的原有概念中,新概念的运用必须对原有概念重新组织和加工,以满足解当时问题的需要。
因此数学概念运用的设计应注意精心设计例题和习题:
(ⅰ)数学概念的简单运用。
编制一组问题对所概括的数学概念加以运用,这组问题应当是递进的,有一定的变化,难度不宜过高。
(ⅱ)数学概念的灵活运用。
有时直接利用概念的定义来解决问题,常常可以把问题化难为易,如利用椭圆、双曲线和抛物线的定义解有关焦点半径、焦点弦的问题,往往比较简单,教师可以选择有关的问题作为例题和习题,培养学生灵活运用数学概念解决问题的能力。
数学概念的运用应充分体现学生在教学中的主体地位,可以广泛发动学生寻找新旧概念的联系和区别,鼓励学生自行设计能说明概念的例子,使学生对概念的本质属有更为深刻的理解。
3课堂教学实践(2课时)
小结:
数学概念教学与人们对客观事物的认识一样,是不能一次完成的,数学概念教学也必须通过从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践这样多次反复才能完成。
作业:
1.概念教学在整个数学教学中的地位和作用分析
2.数学概念教学的基本要求是什么?
举例说明数学概念教学的具体方法。
(下次的实践内容)
第五节数学命题的教学设计及实践训练
数学命题的教学设计
明确命题教学的基本要求,能结合具体命题进行初步的教学设计
命题教学设计的基本要求
命题教学初步设计
讲授、实践
1数学命题教学的基本任务
1.1数学命题教学的重要性
命题教学是数学教学的一个重要组成部分。
它包括定义、法则、定律、公式、性质、公理、定理等,是数学知识的主体,与概念、推理、证明有密切的联系:
命题由概念组成,概念用命题揭示;
命题是组成推理的要素,而很多命题是经过推理获得的;
命题是证明的重要依据,而命题的真实性一般要经过证明才能确认。
1.2数学命题教学的基本任务
使学生认识命题的条件和结论,掌握证明命题的推理过程或证明方法,运用所学的命题进行计算、推理或论证,提高数学基本能力,解答实际问题,并在此基础上,使学生弄清数学命题间的关系,把学过的命题系统化,形成结构紧密的知识体系
(概念教学与命题教学原则的一致性)
2数学命题教学的设计
数学命题的设计一般分命题的提出、命题的明确、命题的证明与推导、命题的运用与系统化等等。
教学设计应有利于学生透彻理解并灵活地运用。
数学命题的教学设计的重点是结论的发现过程与推导的思考过程。
例如,“三角形内角和定理”(见附录),
数学命题的设计需注意以下几个方面:
2.1命题的明确
在设计时,要分清已知条件、结论和其应用范围。
每个命题都是在且仅在条件完全具备之后才能适用,反之,在不具备这些条件时使用时就会出现错误。
同样地,应用范围变了,命题则有可能不成立。
例如。
公式
,必须以a,b
为前提。
还有一些公式的条件是隐含的,如二次函数的极值的公式就隐含着顶点横坐标包含在x的取值范围之中。
另外,公式的外形与特点,命题中的关键性词语,都是我们在设计时需考虑的方面。
2.2命题的证明与推导
命题的教学设计的重点是让学生理解命题的思路与方法,对那些思路、方法和技巧上具有典型意义的要加以总结,从中让学生学会数学思想方法,以提高学生的思维能力和分析、解决问题的能力。
2.3命题的应用和系统化
命题的教学目的之一在于应用,其应用也是培养学生能力的重要途径。
3公理的教学
公理:
数学公理的教学,应该使学生了解什么是公理;
体会引入公理的必要性;
理解并记忆公理的具体内容;
在推理和计算汇总熟练地予以应用。
在逻辑上给出了数学公理的必要性以后,还应对公理作唯物的解释,使学生认识到公理是经过长期实践的反复证明才取得公理资格的,教学时可以采用观察、实验和验证等多种方法,帮助学生理解公理的具体内容,确信公理的真实性,在理解的基础上熟记。
4法则的教学
法则:
中学数学中的法则一般围绕运算展开,因此,教学重点就是法则的应用,应当使学生了解法则的由来,弄清法则的条件和内容,熟练地运用法则计算和推理。
5定理的教学
5.1了解定理的由来
了解定理由来的作用
(1)通过对具体事物的观察、测量、计算、作图等实践活动去猜想;
如附录案例
(2)通过一定的推理来发现如,“两点之间,线段最短”
5.2认识定理的结构
证明的出发点,
帮助学生分辨定理的条件和结论,发掘定理所涉及的概念特征或图形特征,利用有关数学符号,确切简练表达条件和结论。
如,角平分线定理
5.3掌握定理的证明
定理教学的重点
明确证明的思路,掌握证明的方法,遵守证明的规则,因此教学时必须加强分析,把分析法和综合法结合起来使用
在定理教学的入门阶段,要注意规范的板书,说明书写的格式和每步的推理依据,给学生提供必要的示范。
5.4熟悉定理的应用
利用定理去解决一些实际问题,可以结合例题和习题教学,让学生通过自己总结定理的使用范围,如,
5.5整理定理的系统
6公式的教学
公式是用数字和字母表示的命题,是定理的另一种表述形式,因此定理教学的原则公式教学一样适用。
6.1公式的意义
指导学生用不含字母的语言叙述公式的内容,并突出换元法的基本思想。
如:
6.2公式的逆用和变形
为克服标准型的负迁移作用,使学生能灵活运用所学的公式,教学时要注意公式的逆运算和变形,加强变形练习。
6.3公式的记忆
附录:
“三角形内角和定理”教学设计
实验1自己画一个三角形,用量角器量它的三个角。
实验2先将纸片三角形一角折向其对边使顶点落在对边上,折线与对边平行(图1);
然后把另外两角相向对折,使其顶点与已折角的顶点相嵌和(图2);
最后得图3所示结果。
观察、猜想三角形内角的和。
实验3将纸片三角形的顶点剪下,观察是否可拼成一个平角。
实验4用橡皮筋构成
其中顶点B,C是定点,A为动点,放松橡皮
筋后,点A自动收缩于BC上,让学生观察点A变动后形成的一系列的三角形
A1B1C1、
A2B2C2、
A3B3C3,……其内角会产生怎样的变化。
启发学生在观察的基础上得出下面的结论:
a)三角形各内角的大小在变化过程中是相互联系和相互制约的;
b)三角形的最大内角不会等于或大于180°
;
c)当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°
,而其它两角越来越接近0°
d)当点A远离BC时,∠A越来越小,逐渐趋近于0°
,而AB与AC逐渐趋向平行,∠B、∠C逐渐接近为互补的两同旁内角,即∠B+∠C180°
,让学生去猜想三角形的内角和可能是多少?
……
以上是几个不同水平的实验,其中实验4不仅显示了三角形变化的规律,而且还蕴涵了极限思想。
7课堂教学实践(2课时)
1、命题教学设计的基本要求和设计方法
2、命题教学的案例收集分析
对命题进行教学设计
教学后记:
第六节数学知识应用的教学设计及实践训练
数学知识应用的设计
明确数学例题、数学习题、数学讨论等的教学设计基本要求
数学例题、数学习题的教学设计及实践
数学例题、习题的具体设计分析
讲授
4+2(实践)
引:
常规课堂教学,从应用的用途上分:
有数学例题、数学习题、数学讨论等几种。
1数学例题的设计
1.1数学例题的设计的功能:
具有引入新知识、解题示范、加深理解、提高能力等
1.2例题的选择原则:
目的性、典型性、启发性、科学性、变通性(延伸性)和有序性(接受性)。
课本例题一般具有典型性和示范性,但设计时不排除对课本例题的深入剖析、改造与深化。
例题设计一般分例题的选择、例题的编制和例题的编排。
有时还可以设计一些熔知识、思想、方法为一体,内容和形式新颖、灵活、多样的题组,使学生的学习更富有情趣。
1.3实例分析
(教材例题,自学)
例题1:
不查表,求值:
例题2:
已知tgα与tgβ是一元二次方程3x2+5x-2=0的两个根,且0°
α
90°
,90°
β
180°
,求α+β的值及ctg(α-β)。
(补充例题分析)
例题1目的性,新编数学教学论138,
例题2有顺性(接受性)新编数学教学论138
例题3启发性新编数学教学论139
例题4典型性新编数学教学论140
例题5延伸性新编数学教学论141
2数学习题的设计
2.1习题设计的功能:
通过做习题可帮助学生加深和巩固知识,形成技能和培养能力,促进数学思考,获得解决问题的经验等。
对每一类、每一道习题都要明确它的具体要求,把握习题的分量,确定习题的使用方式。
2.1习题设计分类:
按题型可分:
封闭性习题和开放性习题,
按使用方式可分为:
课堂练习、课内作业、课外作业、单元复习、总复习参考题等。
2.3习题设计原则:
温故原则,即选择容纳尽可能多的知识点的习题;
解惑原则,即针对学生的学习误区设计习题;
普化原则,即设计能从中提炼数学通性,通法以及可以普遍化的习题。
2.4实例分析
例如在不等式证明的习题中,“已知x,y,z
求证
”就是一道很好的习题,它需要掌握一定的策略,需要运用不等式证明的多种方法,结论还可以进一步引申和推广。
又例如在学习了一元二次方程的一般解法后,可选用下面的开放性习题:
在一个长为50米、宽为30米的矩形空地上建造一个花园,要求种植花草的面积是整块空地面积的一半,请展示你的设计。
这个问题的参与性很强,每个学生都可以展开想像的翅膀,按照自己思考的设计原则,设计出不同的图案,并尽量使自己的方案定量化,在一些方案的定量化过程中,学生可以体会到一元二次方程在处理数量关系上的作用,认识到解一元二次方程不是一个机械的计算,得到的结果必须是对具体情况有意义的,需要恰当地选择解和检验解。
3数学讨论的设计
3.1数学讨论的功能
(1)讨论是教师与学生、学生与学生之间的一种互动方式,通过相互交流观点,形成对某一个问题的较一致的评价或判断。
(2)在讨论中,教师和学生可以获得同一知识不同侧面理解的信息,使学生更深刻地理解数学知识。
讨论有以下功能:
培养批判思维的能力、激发学生学习的主动性和积极性、培养数学交流能力、相互启发共同提高。
(3)促进教师的发展和终身学习
3.2讨论的设计
数学课的讨论有师生之间的讨论、学生之间的讨论。
不论哪一种讨论,在讨论前教师都要确定并准确地表达有待讨论的问题。
一般来说,可以这样来设计讨论的问题:
(1)使学生明确讨论的问题。
考虑学生已有知识、能力情况是讨论的起点,教师在准备讨论问题时必须注意问题难度以及学生的知识、能力水平。
而且要考虑学生的动机,组织具有挑战性、激励性的问题,增加问题的不一致性,从而起到激发学生讨论的目的。
(2)给学生充分讨论空间。
在整个讨论中,要留给学生充分的讨论时间,使学生自由地思考,在体验中学习。
教师完全不必也不能去干涉学生的讨论,除非学生的讨论完全偏离了学习活动的方向。
在学生讨论时,教师应多看、多听、多感受而少说话,要及时鼓励那些新颖的想法。
在心里记下学生发现的问题,在必要时给学生鼓励和支持。
为学生创造更多的创新机遇和氛围。
当学生陷于混乱和无谓的争论时,教师应强调指出互相矛盾的发现或说法,既不粗暴地加以干涉,也不能任其自然发展,而应当机立断,采取一定方法把讨论引导到主题。
教师同时要鼓励学生自由正确地表达自己在学习中的经历和感受,提出问题,解决问题并对收集到的信息做出自己的解释。
(3)反馈调节。
讨论课的反馈信息很多,教师不可能全部顾及到,教学反馈从内容上分,主要有学生学习兴趣的反馈、知识理解程度的反馈、掌握知识与运用能力的反馈、思维发展情况的反馈等等,从而有针对性地采取调节手段,解决学生所遇到的问题。
3.4实例分析
例1(教材例题)例如给出一道讨论题:
如图,PM切⊙O于A,PBC为割线,AD⊥BC于D,BE⊥PM于E,CF⊥PM于F,求证:
AD2=BE·
CF。
学生进行讨论的大致思路是:
①能分解成几个重要的基本图形?
它们分别有什么主要的性质?
②证明形如a2=bc问题有几种思考方法?
③如何证明本题?
有几种方法?
④如何推广此题?
(把PA转化为割线,结论仍然成立吗?
)证明你的结论。
⑤你能总结出证明“推广后的命题”的基本思考方法吗?
(补充例题分析)
例2(新编数学教学论131关于善待学生的讨论+试讲中的例子:
不关注学生的回答)
例3讨论结果的分析(新编数学教学论129)
4巩固课的教学设计(自学)
(1)练习课,基本结构是复习、典型、示范、练习、小结、布置作业。
(2)讲评课。
对课外作业或考试情况进行总结,纠正存在的问题。
基本结构是介绍一般情况,分析评议、总结、布置作业。
(3)复习课,基本结构是提出复习提纲、复习、总结、布置作业。
由于应试的需要,复习课的数量越来越多。
优秀的复习课有以下几种处理方法:
●高密度、大容量、快节奏的解题讲解。
教师准备系列的套题,逐步展开,步步深入,将知识和解题方法串起来。
这样,可以再较短时间内讲解大量的数学问题。
●以一个基本问题为核心,不断地采用变式,形成由简到繁的解题过程。
变式练习是我国数学教育的特点,在复习课中也常常使用。
●用开放题展开复习。
例如用以下开放题:
“给定直角三角形以及在斜边上的高。
请尽可能多地找出有关的边角关系。
”学生可以充分发挥想象和猜想能力,并通过证明得到正确的结论。
这样做,实际上是一次复习。
数学知识应用的设计一方面要认真分析标准、教材,掌握各种设计的基本要求,并不断学习积累知识,选择确定适宜的例题、习题,组织好数学讨论,数学知识应用的设计是数学教学设计的重要组成部分也是教学中占时最多的工作,也是检验和提升对数学概念、命题的理解和深入思考的有效途径。
1、结合实例分析阐述数学例题的设计原则
2、课堂教学实践:
例题设计及教学展示,具体方法……
第七节数学思想方法的教学设计及实践训练
第五章数学教学工作:
讲备课、写教案、说课、批改作业,数学考试、试卷分析等
第二部:
分教案三要素:
教学目标,设计意图,教学过程
--从一张实习教师的教案谈起
教师进行教学设计是为了达到教学活动的预期目的,减少教学中的盲目性和随意性,其最终目的是为了使学生能更高效地学习,开发学生的学习潜能,塑造学生的健全人格,以促进学生的全面发展。
既然是设计,就需要思考、立意和创新。
因而,数学教学设计是一个既要满足常规教学要求,又要进行个人创造的过程。
一.数学课堂教学设计的三个要素
数学教学设计,是为数学教学活动制定蓝图的过程。
完成数学教学设计,教
师需要考虑以下三个方面:
1.明确教学目标。
课堂教学必须完成课程标准设置的要求。
针对学生的学习任务,教师应该对教学活动的基本过程有一个整体的把握,按照教学情境的需要和教育对象的特点确定合理的教学目标。
2.形成设计意图。
根据教学目标,选择适当的教学方法、和教学策略,形成科学、合理、实用、艺术化的设计意图。
这种设计是一种创造过程。
具有自己的个性特征。
3.制定教学过程。
将设计意图转换为采用可操作的、有效的教学手段,创设良好的教学环境,有序地实施各个教学环节,可行的评价方案,从而促进教学活动的顺利进行,达成原定的目标。
数学教学设计的呈现形式是一份教案,恰如一份工程总体设计蓝图和具体的施工图纸。
以下是一张普通的教案。
一个实习生的教案
一元二次方程
(GX实验教材《代数》第三册第十章节一课)
一、教学目标
(一)知识目标
1.了解一元二次方程的有关概念;
2.会用因式分解法解一元二次方程,了解其他的几种解法;
3.明确用因式分解法解一元二次方程的依据和“降次”转化的数学思想方法。
(二)能力目标
1.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力;
2.培养学生观察、比较、抽象、概括的能力;
3.训练学生思维的灵活性。
(三)德育目标
1、激发学习的内在动机;
2、养成良好的学习习惯。
二、教学的重、难点及教学设计
(一)教学重点:
一元二次方程的有关概念;
用因式分解法解一元二次方程。
(二)教学难点:
“降次”转化的思想,解一元二次方程的依据和用途。
(三)教学设计要点
1.情境设计:
用上周科技活动中展示的“自动翻斗车”的“车斗”(无盖长方体盒子)的制作,设置问题情境激发学习动机,通过将实际问题转化为一元二次方程,引入新课。
2.教学内容的处理:
(1)补充一组理解一元二次方程相关概念的基本练习。
(写在小黑板A面上)
(2)补充一组解一元二次方程的变式练习。
(写在小黑板B面上)
(3)在作业中,补充思考题:
ab=1一定有a=1或b=1吗?
3.教学方法:
独立探究,合作交流与教师引导相结合。
三、教具准备无盖长方体盒子、长20cm,宽12cm的硬纸片、小黑板、彩色粉笔、幻灯片、投影仪等。
四、教学过程
(一)创设问题情境引入新课(预计5分钟)
1.问题情境
在上周科技活动展示中,同学们看见过一辆漂亮的“自动翻斗车”。
车斗是这样一种无盖的长方体盒子(出示教具)它的底面积为128cm2,你能用一块长20cm,宽12cm的铁片制作它吗?
你能用数学知识来解决这这样一个实
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