《离散数学》试题及答案.doc
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《离散数学》试题及答案
一、填空题
1设集合A,B,其中A={1,2,3},B={1,2},则A-B={3}; r(A)-r(B)={3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2.设有限集合A,|A|=n,则|r(A×A)|=.
3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是a1={(a,1),(b,1)},a2={(a,2),(b,2)},a3={(a,1),(b,2)},a4={(a,2),(b,1)},其中双射的是a3,a4.
4.已知命题公式G=Ø(P®Q)∧R,则G的主析取范式是(P∧ØQ∧R)
5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为12,分枝点数为3.
6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AÇB={4};AÈB={1,2,3,4};
A-B={1,2}.
7.设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是自反性,对称性
传递性.
8.设命题公式G=Ø(P®(QÙR)),则使公式G为真的解释有(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0)
9.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R1={(1,4),(2,3),(3,2)},R2={(2,1),(3,2),(4,3)},则 R1·R2={(1,3),(2,2),(3,1)},R2·R1={(2,4),(3,3),(4,2)}_ R12={(2,2),(3,3).
10.设有限集A,B,|A|=m,|B|=n,则||r(A´B)|=.
11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A={x|-1≤x≤1,xÎR},B={x|0≤x<2,xÎR},则A-B=-1<=x<0,B-A={x|1 A∩B={x|0≤x≤1,xÎR},. 13.设集合A={2,3,4,5,6},R是A上的整除关系,则R以集合形式(列举法)记为 {(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}. 14.设一阶逻辑公式G="xP(x)®$xQ(x),则G的前束范式是$x(ØP(x)∨Q(x)). 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加21条边才能把G变成完全图。 (完全图的边数,树的边数为n-1) 16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式"xR(x)→$xS(x)中量词消除,写成与之对应的命题公式是_(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b))_. 17.设集合A={1,2,3,4},A上的二元关系R={(1,1),(1,2),(2,3)},S={(1,3),(2,3),(3,2)}。 则R×S={(1,3),(2,2)}, R2={(1,1),(1,2),(1,3)}. 二、选择题 1设集合A={2,{a},3,4},B={{a},3,4,1},E为全集,则下列命题正确的是(C)。 (A){2}ÎA(B){a}ÍA (C)ÆÍ{{a}}ÍBÍE(D){{a},1,3,4}ÌB. 2设集合A={1,2,3},A上的关系R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)},则R不具备(D). (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性 (D)反对称性 1 2 3 4 5 6 3设半序集(A,≤)关系≤的哈斯图如下所示,若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的(B)。 (A)下界 (B)上界 (C)最小上界(D)以上答案都不对 4下列语句中,(B)是命题。 (A)请把门关上(B)地球外的星球上也有人 (C)x+5>6(D)下午有会吗? 5设I是如下一个解释: D={a,b}, 则在解释I下取真值为1的公式是(D). (A)$x"yP(x,y)(B)"x"yP(x,y) (C)"xP(x,x)(D)"x$yP(x,y). 6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度,能画出图的是(C). (A)(1,2,2,3,4,5)(B)(1,2,3,4,5,5) (C)(1,1,1,2,3)(D)(2,3,3,4,5,6). 7.设G、H是一阶逻辑公式,P是一个谓词,G=$xP(x),H="xP(x),则一阶逻辑公式G®H是(C). (A)恒真的(B)恒假的 (C)可满足的(D)前束范式. 8设命题公式G=Ø(P®Q),H=P®(Q®ØP),则G与H的关系是(A)。 (A)GÞH(B)HÞG (C)G=H(D)以上都不是. 9设A,B为集合,当(D)时A-B=B. (A)A=B (B)AÍB (C)BÍA (D)A=B=Æ. 10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(1,1),(2,3),(2,4),(3,4)},则R具有(B)。 (A)自反性 (B)传递性 (C)对称性(D)以上答案都不对 11下列关于集合的表示中正确的为(B)。 (A){a}Î{a,b,c} (B){a}Í{a,b,c} (C)ÆÎ{a,b,c}(D){a,b}Î{a,b,c} 12命题"xG(x)取真值1的充分必要条件是(A). (A)对任意x,G(x)都取真值1.(B)有一个x0,使G(x0)取真值1. (C)有某些x,使G(x0)取真值1.(D)以上答案都不对. 13.设G是连通平面图,有5个顶点,6个面,则G的边数是(A). (A)9条(B)5条 (C)6条(D)11条. 14.设G是5个顶点的完全图,则从G中删去(A)条边可以得到树. (A)6(B)5 (C)10(D)4. 15.设图G的相邻矩阵为,则G的顶点数与边数分别为(D). (A)4,5 (B)5,6 (C)4,10 (D)5,8. 三、计算证明题 1.设集合A={1,2,3,4,6,8,9,12},R为整除关系。 (1)画出半序集(A,R)的哈斯图; (2)写出A的子集B={3,6,9,12}的上界,下界,最小上界,最大下界; (3)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元。 解: (1) (2)B无上界,也无最小上界。 下界1,3;最大下界是3 (3)A无最大元,最小元是1,极大元8,12,9;极小元是1 2.设集合A={1,2,3,4},A上的关系R={(x,y)|x,yÎA且x³y},求 (1)画出R的关系图; (2)写出R的关系矩阵. 解: (1) (2) 3.设R是实数集合,s,t,j是R上的三个映射,s(x)=x+3,t(x)=2x,j(x)=x/4,试求复合映射s•t,s•s,s•j,j•t,s•j•t. 解: (1)s•t=s(t(x))=t(x)+3=2x+3=2x+3. (2)s•s=s(s(x))=s(x)+3=(x+3)+3=x+6, (3)s•j=s(j(x))=j(x)+3=x/4+3, (4)j•t=j(t(x))=t(x)/4=2x/4=x/2, (5)s•j•t=s•(j•t)=j•t+3=2x/4+3=x/2+3. ▲4.设I是如下一个解释: D={2,3}, a b f (2) f(3) P(2,2) P(2,3) P(3,2) P(3,3) 3 2 3 2 0 0 1 1 试求 (1)P(a,f(a))∧P(b,f(b)); (2)"x$yP(y,x). 解: (1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))=P(3,f(3))∧P(2,f (2)) =P(3,2)∧P(2,3) =1∧0 =0. (2)"x$yP(y,x)="x(P(2,x)∨P(3,x)) =(P(2,2)∨P(3,2))∧(P(2,3)∨P(3,3)) =(0∨1)∧(0∨1) =1∧1 =1. 5.设集合A={1,2,4,6,8,12},R为A上整除关系。 (1)画出半序集(A,R)的哈斯图; (2)写出A的最大元,最小元,极大元,极小元; (3)写出A的子集B={4,6,8,12}的上界,下界,最小上界,最大下界. 解: (1) (2)无最大元,最小元1,极大元8,12;极小元是1. (3)B无上界,无最小上界。 下界1,2;最大下界2. 6.设命题公式G=Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)),求G的主析取范式。 解: G=Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)) =Ø(ØP∨Q)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧ØQ)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧ØQ)∨(Q∧P)∨(Q∧R) =(P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) =(P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R) =m3∨m4∨m5∨m6∨m7=S(3,4,5,6,7). 7.(9分)设一阶逻辑公式: G=("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x),把G化成前束范式. 解: G=("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x) =Ø("xP(x)∨$yQ(y))∨"xR(x) =(Ø"xP(x)∧Ø$yQ(y))∨"xR(x) =($xØP(x)∧"yØQ(y))∨"zR(z) =$x"y"z((ØP(x)∧ØQ(y))∨R(z)) 9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)}, (1)求出r(R),s(R),t(R); (2)画出r(R),s(R),t(R)的关系图. 解: (1) r(R)=R∪IA={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)=R∪R-1={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}, t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}; (2)关系图: 11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价: (1)G=(P∧Q)∨(ØP∧Q∧R) (2)H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R)) 解: G=(P∧Q)∨(ØP∧Q∧R) =(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) =m6∨m7∨m3 =å(3,6,7) H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R)) =(P∧Q)∨(Q∧R))∨(ØP∧Q∧R) =(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) =(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) =m6∨m3∨m7 G,H的主析取范式相同,所以G=H. 13.设R和S是集合A={a,b,c,d}上的关系,其中R={(a,a),(a,c),(b,c),(c,d)}, S={(a,b),(b,c),(b,d),(d,d)}. (1)试写出R和S的关系矩阵; (2)计算R•S,R∪S,R-1,S-1•R-1. 解: (1) (2)R•S={(a,b),(c,d)}, R∪S={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d),(d,d)}, R-1={(a,a),(c,a),(c,b),(d,c)}, S-1•R-1={(b,a),(d,c)}. 四、证明题 1.利用形式演绎法证明: {P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。 解: (1)P∨R P (2)ØR→P Q (1) (3)P→Q P (4)ØR→Q Q (2)(3) (5)ØQ→R Q(4) (6)R→S P (7)ØQ→S Q(5)(6) (8)Q∨S Q(7) 2.设A,B为任意集合,证明: (A-B)-C=A-(B∪C). 解: (A-B)-C= 3.(本题10分)利用形式演绎法证明: {ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D。 解: (1)A D(附加) (2)ØA∨B P (3)B Q (1) (2) (4)ØC→ØB P (5)B→C Q(4) (6)C Q(3)(5) (7)C→D P (8)D Q(6)(7) (9)A→D D (1)(8) 所以{ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D. 4.(本题10分)A,B为两个任意集合,求证: A-(A∩B)=(A∪B)-B. 解: 4.A-(A∩B) =A∩~(A∩B) =A∩(~A∪~B) =(A∩~A)∪(A∩~B) =Æ∪(A∩~B) =(A∩~B) =A-B 而(A∪B)-B =(A∪B)∩~B =(A∩~B)∪(B∩~B) =(A∩~B)∪Æ =A-B 所以: A-(A∩B)=(A∪B)-B. 参考答案 一、填空题 1.{3};{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. 2.. 3.a1={(a,1),(b,1)},a2={(a,2),(b,2)},a3={(a,1),(b,2)},a4={(a,2),(b,1)};a3,a4. 4.(P∧ØQ∧R). 5.12,3. 6.{4},{1,2,3,4},{1,2}. 7.自反性;对称性;传递性. 8.(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0). 9.{(1,3),(2,2),(3,1)};{(2,4),(3,3),(4,2)};{(2,2),(3,3)}. 10.2m´n. 11.{x|-1≤x<0,xÎR};{x|1 12.12;6. 13.{(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4),(5,5),(6,6)}. 14.$x(ØP(x)∨Q(x)). 15.21. 16.(R(a)∧R(b))→(S(a)∨S(b)). 17.{(1,3),(2,2)};{(1,1),(1,2),(1,3)}. 二、选择题 1.C.2.D.3.B.4.B. 5.D.6.C.7.C. 8.A.9.D.10.B.11.B. 13.A.14.A. 15.D 三、计算证明题 1. (1) (2)B无上界,也无最小上界。 下界1,3;最大下界是3. (3)A无最大元,最小元是1,极大元8,12,90+;极小元是1. 2.R={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)}. (1) (2) 3. (1)s•t=s(t(x))=t(x)+3=2x+3=2x+3. (2)s•s=s(s(x))=s(x)+3=(x+3)+3=x+6, (3)s•j=s(j(x))=j(x)+3=x/4+3, (4)j•t=j(t(x))=t(x)/4=2x/4=x/2, (5)s•j•t=s•(j•t)=j•t+3=2x/4+3=x/2+3. 4. (1)P(a,f(a))∧P(b,f(b))=P(3,f(3))∧P(2,f (2)) =P(3,2)∧P(2,3) =1∧0 =0. (2)"x$yP(y,x)="x(P(2,x)∨P(3,x)) =(P(2,2)∨P(3,2))∧(P(2,3)∨P(3,3)) =(0∨1)∧(0∨1) =1∧1 =1. 5. (1) (2)无最大元,最小元1,极大元8,12;极小元是1. (3)B无上界,无最小上界。 下界1,2;最大下界2. 6.G=Ø(P→Q)∨(Q∧(ØP→R)) =Ø(ØP∨Q)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧ØQ)∨(Q∧(P∨R)) =(P∧ØQ)∨(Q∧P)∨(Q∧R) =(P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) =(P∧ØQ∧R)∨(P∧ØQ∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R) =m3∨m4∨m5∨m6∨m7=S(3,4,5,6,7). 7.G=("xP(x)∨$yQ(y))→"xR(x) =Ø("xP(x)∨$yQ(y))∨"xR(x) =(Ø"xP(x)∧Ø$yQ(y))∨"xR(x) =($xØP(x)∧"yØQ(y))∨"zR(z) =$x"y"z((ØP(x)∧ØQ(y))∨R(z)) 9. (1)r(R)=R∪IA={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d),(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}, s(R)=R∪R-1={(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)(c,d),(d,c)}, t(R)=R∪R2∪R3∪R4={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(c,d)}; (2)关系图: 11.G=(P∧Q)∨(ØP∧Q∧R) =(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) =m6∨m7∨m3 =å(3,6,7) H=(P∨(Q∧R))∧(Q∨(ØP∧R)) =(P∧Q)∨(Q∧R))∨(ØP∧Q∧R) =(P∧Q∧ØR)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(ØP∧Q∧R) =(P∧Q∧ØR)∨(ØP∧Q∧R)∨(P∧Q∧R) =m6∨m3∨m7 =å(3,6,7) G,H的主析取范式相同,所以G=H. 13. (1) (2)R•S={(a,b),(c,d)}, R∪S={(a,a),(a,b),(a,c),(b,c),(b,d),(c,d),(d,d)}, R-1={(a,a),(c,a),(c,b),(d,c)}, S-1•R-1={(b,a),(d,c)}. 四证明题 1.证明: {P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S (1)P∨R P (2)ØR→P Q (1) (3)P→Q P (4)ØR→Q Q (2)(3) (5)ØQ→R Q(4) (6)R→S P (7)ØQ→S Q(5)(6) (8)Q∨S Q(7) 2.证明: (A-B)-C=(A∩~B)∩~C =A∩(~B∩~C) =A∩~(B∪C) =A-(B∪C) 3. 证明: {ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D (1)A D(附加) (2)ØA∨B P (3)B Q (1) (2) (4)ØC→ØB P (5)B→C Q(4) (6)C Q(3)(5) (7)C→D P (8)D Q(6)(7) (9)A→D D (1)(8) 所以{ØA∨B,ØC→ØB,C→D}蕴涵A→D. 5.证明: A-(A∩B) =A∩~(A∩B) =A∩(~A∪~B) =(A∩~A)∪(A∩~B) =Æ∪(A∩~B) =(A∩~B) =A-B 而(A∪B)-B =(A∪B)∩~B =(A∩~B)∪(B∩~B) =(A∩~B)∪Æ =A-B 所以: A-(A∩B)=(A∪B)-B. 第13页共13页
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