初升高数学衔接课程Word文件下载.docx
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4
)
(2)
(2
x
3)(4
9)
变式
1:
利用公式计算
⎛
111
⎝
23
⎭
469
2:
利用立方和、立方差公式进行因式分解
(1)
27m3
n3
(2)
-
8
(3)
x3
125
(4)
m6
n6
【典型例题—2】:
4.计算:
(
m
5
n)(
mn
n
)
25
10
4
5.已知
3x
0
,求
+
的值.
6.已知
,求
a(
b(
c(
b
1:
计算:
1)(x
1)
.
已知
,
bc
ac
b2
c2
知识点二、根式
式子
≥
0)
叫做二次根式,其性质如下:
)2
a(a
0)
a2
=|
|
=(a
>
0,
aa
基本的化简、求值
7.化简下列各式:
2)2
1)2
(1-
x)2
1)
8.
计算
二次根式
-a
成立的条件是()
A.
0B.
<
0C.
≤
0D.
是任意实数
若
,则
9
|
的值是()
A.-3B.3C.-9D.9
3:
7
【说明】
1、二次根式的化简结果应满足:
①被开方数的因数是整数,因式是整式;
②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.
2、二次根式的化简常见类型有下列两种:
①被开方数是整数或整式.化简时,先将它分解因数或因式,然后把开得尽方的因数或因式开
出来;
②分母中有根式(如3
2
x
).这时可将其化为
形式(如
可
化为x
化简时,要把分母中的根式化为有理式,采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.(如3
化为3(2
3)
有理化因式和分母有理化
有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,那么这两个代
数式叫做有理化因式。
如
与
;
y
互为有理化因式。
分母有理化:
在分母含有根式的式子里,把分母中的根式化去,叫做分母有理化。
9.计算:
1)(1-a
)2
a
ab
10.设
=
y3
的值
知识点三、分式
分式的化简
96
xx
11.化简例
12.化简
279
x36
分式的证明
11
=-
n(n
1)nn
(其中
是正整数);
(2)计算:
⨯10
(3)证明:
对任意大于1
的正整数n
,有
【典型例题—3】:
分式的运用
14.设
e
c
,且
e>1,2c2-5ac+2a2=0,求
对任意的正整数
n,
2)
______________-
选择题:
若
=(
546
(A)1(B)(C)(D)
455
3:
计算
...
+
1⨯
⨯
99
⨯100
知识点四、因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形,它与整式乘法是相反方向的变形。
在分式运算、解
方程及各种恒等变形中起着重要的作用。
是一种重要的基本技能。
因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方
公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。
5
公式法(立方和、立方差公式)
我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:
)a3
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。
运用
这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。
15.用立方和或立方差公式分解下列各多项式:
8
x3
(2)
0.125
27b3
变式:
分解因式:
3a3b
81b4
(2)
a7
ab6
分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于四项
以上的多项式,如ma
mb
na
nb
既没有公式可用,也没有公因式可以提取.因此,可以先将多
项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.
分组分解法的关键在于如何分组.常见题型:
(1)分组后能提取公因式
(2)分组后能直接运用公式
(1)分组后能提取公因式
16.把
2ax
10ay
5by
bx
分解因式。
变式:
把
ab(c2
d
)cd
(2)分组后能直接运用公式
17.把
ax
ay
z
十字相乘法
p
q)
pq
型的因式分解
这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:
①二次项系数是1;
②常数项是两个数之积;
③
一次项系数是常数项的两个因数之和.
∵
px
qx
x(
p)
q(
p)(
,
运用这个公式,可以把某些二次项系数为
的二次三项式分解因式.
(2)一般二次三项式
由
)(a
,我们发现,二次项系数a
分解成
21
22
11
211221
22
果
它
正
好
等
于
的
一
次
项
系
那
么
就
可
以
分
解
成
,其中
位于上一行,
位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数,
11221122
从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法.
必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个
二次三项式能否用十字相乘法分解.
18.把下列各式因式分解:
6
13x
36
19.把下列各式因式分解:
5x
24
15
20.把下列各式因式分解:
8(
x)
12
21.把下列各式因式分解:
12
2
(2)
变式练习:
(1)x2-6x+5
(2)x2+15x+56(3)x2+2xy-3y2
(4)(x2+x)2-4(x2+x)-12
其它因式分解的方法
(1)配方法
22.分解因式
16变式:
(1)x2+12x+20
(2)a4+a2b2+b4
(2)拆项法(选讲)
23.分解因式
3x2
(3)其它方法(选讲)
24.(x2-5x+2)(x2-5x+4)-8
课后练习
1.填空:
(1)
a)
);
(4
+)2
16m2
4m
()
c)2
4b2
(4)若
(x
)(x2
)+
x,
的值为________
(5)若
x4
______________
(6)
=,
=,则
23
3a2
5ab
2b2
________________
3xy
(7)若
,则=
_______________
(8)若
=-b
,则()
(A)
b(B)
b(C)
0(D)
(9
)计算
等于(
-a(B)a(C)
-a(D)
13x
-=
,则
xyx
的值为(
C.
m1
9m
10m-
2m2
325m
(2)
÷
3.把下列各式分解因式:
3ax
3ay
8x3
15
(5)
4b
3b
x6
讲一元二次函数与二次不等式
教学目标1、能熟练掌握二次函数的图像,能够根据解析式快速画出函数的图像
2、理解并掌握二次函数的三种表达式
3、理解并掌握二次函数的最值问题
4、能够根据二次函数、一元二次不等式不等式的关系解二次不等式
二次函数的最值问题
一元二次不等式的解法
考点及考试要求二次函数的最值与一元二次不等式的解法
1、二次函数的图像与性质2、二次函数的三种表达式
3、二次函数的最值问题4、一元二次不等式
知识点一、
ax2
的图像与性质
1、
当
时,
函数
图象开口方向;
顶点坐标为,对称轴为直
线;
当
时,y
随着
的增大而
当时,函数取最小值.
2、当
函
图
象
开
口
方
向;
当时,函数取最大值.
上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,
可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.
【典型例题】
.
求二次函数
-3x2
1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)
并
指出当
取何值时,y
随
的增大而增大(或减小)?
并画出该函数的图象.
作出以下二次函数的草图
6
(2)
.某种产品的成本是
120
元/件,试销阶段每件产品的售价
x(元)与产品的日销售量
y(件)
之间关系如下表所示:
/元
y/件
130
70
150
50
165
35
若日销售量
是销售价
的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利润,每件产品的销售价
应定为多少元?
此时每天的销售利润是多少?
3.把二次函数
y=x2+bx+c
的图像向上平移
个单位,再向左平移
个单位,得到函数
y=x2
的
图像,求
b,c
知识点二、二次函数的三种表示方式
1、一般式:
y=ax2+bx+c(a≠0);
2、顶点式:
y=a(x+h)2+k
(a≠0),其中顶点坐标是(-h,k).
3、交点式:
y=a(x-x1)
(x-x2)
(a≠0).
4.已知某二次函数的最大值为
2,图像的顶点在直线
y=x+1
上,并且图象经过点(3,-1),求
二次函数的解析式.
5.已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到
轴的距离等于
2,求此二次函数的表
达式.
6.已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.
11
7.函数
y=-x2+x-1
图象与
轴的交点个数是()
(A)0
个(B)1
个(C)2
个(D)无法确定
已知二次函数的图象经过与
轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为
y=a(a≠0)
2:
二次函数
y=-x2+2
3x+1
的函数图象与
轴两交点之间的距离为.
根据下列条件,求二次函数的解析式.
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);
(2)当
x=3
时,函数有最小值
5,且经过点(1,11);
(3)函数图象与
轴交于两点(1-
2,0)和(1+
2,0),并与
轴交于(0,-2).
知识点三、二次函数的最值问题
1.二次函数
≠
的最值.
二次函数在自变量
取任意实数时的最值情况:
bb
时,函数在
-处取得最小值,无最大值;
2a2a
4ac
b2
处取得最大值,无最小值
4a
2.二次函数最大值或最小值的求法.
第一步:
确定
的符号,a>0
有最小值,a<0
有最大值;
第二步:
配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.
3.求二次函数在某一范围内的最值.
如:
在
)的最值.
先通过配方,求出函数图象的对称轴:
讨论:
(1)若
时求最小值或
时求最大值,需分三种情况讨论:
①对称轴小于
即
,即对称轴在
的左侧;
②对称轴
的内部;
③对称轴大于
的右侧。
(2)若
时求最大值或
时求最小值,需分两种情况讨论:
①对称轴
≤
n
的中点的左侧;
,即对称轴在
的中点的右侧;
说明:
求二次函数在某一范围内的最值,要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置
8.求下列函数的最大值或最小值.
(2)
9.当1
时,求函数
的最大值和最小值.
10.当
x(2
的取值范围.
11.当
t
1时,求函数
的最小值(其中
为常数).
设
,当
-1
时,函数
的最小值是
-4
,最大值是
0,求
a,
13
已知函数
上的最大值为
4,求
求关于
的二次函数
2tx
上的最大值(
4:
y=-x2-2x+3,当自变量
在下列取值范围内时,分别求函数的最大值或最小
值,并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量
的值:
(1)x≤-2;
(2)x≤2;
(3)-2≤x≤1;
(4)0≤x≤3.
知识点四、一元二次不等式
通过前面的学习,咱们已经掌握了根据二次函数的解析式画函数的图像,现在同学们根据图像
轴交点的个数分类,详细总结,然后对比二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关
系.(在黑板上画出表格的框架,让学生来填,引导学生自主找规律)
1、一元二次不等式
0或ax
0(a
0)的解集:
设相应的一元二次方程
0)的两根为
、x
且
∆
1212
则不等式的解的各种情况如下表:
∆>
0∆=
0∆<
14
二次函数
)的图象
一元二次方程
的根
0)的解集
2.简单分式不等式的解法
解简单的分式不等式的方法:
对简单分式不等式进行等价转化,转化为整式不等式,应当注
意分母不为零.
3.含有字母系数的一元一次不等式
一元一次不等式最终可以化为
的形式:
(1)当
时,不等式的解为:
;
(3)当
时,不等式化为:
⋅
①
,则不等式的解是全体实数;
②
,则不等式无解.
12.解下列不等式:
0
(2)
2)
2)(2
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