考研数学一真题与解析Word文件下载.docx
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2a
dJ
1°
3a2-1
d2t」
(a-1)(a-2)
(d_1)(d_2”
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换:
B=(A,b)二
(a_1)(a_2)=0,(d_1)(d_2)=0同时成
方程组无穷解的充分必要条件是r(A)二r(A,b)3,也就是
D上连续,则
f(x,y)dxdy=()
D
Ji
(A)
3drsin^f(rcoB,rsin^)rdr(B)3dr
~42sin2
si;
2rf(rcos,rsinv)rdr
2sin2r
Tt1
:
dr甲f(rcos,rsin日)dr
■42^n2-d
【详解】积分区域如图所示,
(C)
(D)「3dr
;
sin2r
1■'
2sin271
f(rcos,rsinv)dr
化成极坐标方程:
4xy=1=
也就是D:
2r2sinvcosv
4r2sinvcos"
JI
<
—
3
=1=
/
sin二
1_-_1
Jsin2B
2sin2=—
r2sin2r
JT
所以.1.1f(x,y)dxdy二3dr.響2二f(rcosr,rsinv)rdr,所以应该选
(B)•
"
『1、
5.设矩阵A=
b=
J
a丿
22>
2sin2
若集合门-「1,2,则线性方程组
条件是
Ax二b有无穷多解的充分必要
(A)a"
dF
(B)1,d-'
立,当然应该选(D).
6.设二次型f(洛,x2,x3)在正交变换x二Py下的标准形为
2y"
yl~y3,其中P丸耳叵鸟,若
Q=ei,-e3,e2,则f(X1,x?
x3)在x=Qy下的标准形为
222
(A)2y1-y2y3
2丄22
(B)2y1y2一y3
【详解】Q
f二xTAx
c222
2yi-y2-y3
(2
=yTPAPy
(1
0、
n
[1
0'
=P
qt=
-1
°
」
丿
(D)
—ei,_e3,e2~ei,e2,e3
PT
Ty
小222
2屮目2y3
广1
广2
z2、
所以QTAQ=
ptap
=
k
一1」
>
故选择(A).
7.若A,B为任意两个随机事件,则(
)
二y
(A)P(AB)辽P(A)P(B)
(B)P(AB)_P(A)P(B)
(C)P(AB)J(A)P(B)
(D)P(AB)_P(A)P(B)
C).
【详解】P(A)_P(AB),P(B)_P(AB),所以P(AB)一出…旦故选择
&
设随机变量X,Y不相关,
且EX=2,EY=1,DX=3,
则E(X(XY-2))
(A)-3
(B)
(C)-5
(D)5
【详解】E(X(XY-2))
-2EX=5
故应该选择(D).
二、填空题(本题共6小题,
每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
ln(cosx)
9.lim2—
xx
【详解】只要注意sinx为奇函数,在对称区间上积分为零,
1+cosx
11.若函数z=z(x,y)是由方程ez•xyzx•cosx=2确定,则dz|(o,n:
-
【详解】设F(x,y,z^ezxyzxcosx-2,则
z
Fx(x,y,z)=yz1-sinx,Fy(x,y,z)=xz,Fz(x,y,z)=exy
也就得到dz|(o,1)=_dx.
12.设i]是由平面xy1和三个坐标面围成的空间区域,则
iii(x2y3z)dxdydz=.
Q
【详解】注意在积分区域内,三个变量x,y,z具有轮换对称性,也就是
111xdxdydz二ydxdydz二zdxdydz
QQQ
1121
JJJ(x+2y+3z)dxdydz=6川zdxdydz=6Jzdzjjdxdy=3Jz(1-z)dz=-
五五0d;
04
III
13.n阶行列式
+
*
【详解】按照第-
「行展开,
得
Dn
=2Dn」+(-1)n*2(-1)n」=2Dn」+2,有Dn+2=2(%j+2)
由于D^2,D2
=6,
=22
(Dr+2)_2=2n*-2.
14•设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0;
1,1;
0),则PXYY:
0^二
【详解】由于相关系数等于零,所以X,Y都服从正态分布,X~N(1,1),Y~N(0,1),且相互独立.
则X-1~N(0,1).
P"
XYY:
0;
^PY(X一1):
0•;
=P0,X-10?
P〈Y0,X一1:
0^=丄---
22222
三、解答题
15.(本题满分10分)设函数f(x^xaln(Vx)bxsinx,g(x)二kx3在x—0时为等价无穷小,
求常数a,b,k的取值.
【详解】当X—0时,把函数f(x)二xaln(1x)bxsinx展开到三阶的马克劳林公式,得
23.
o(x3))
xx313
f(x)二xa(xo(x))bx(xx
236
a2a33
=(1a)x(-―b)x2(―)x3o(x3)
由于当X-.0时,f(x),g(x)是等价无穷小,则有
解得,a__1,b_-一,k___.
16.(本题满分10分)
设函数y二f(x)在定义域|上的导数大于零,若对任意的x0•I,曲线目二f(x)在点(x0,f(x0))处的
切线与直线x=x°
及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)=2,求f(x)的表达式.
【详解】y二f(x)在点(X。
f(x0))处的切线方程为y二厂(X。
)(x-x。
)f(x0)
令y=0,得x=x0f(x°
f(x0)
曲线y二f(x)在点(X。
f(X。
))处的切线与直线x及x轴所围成区域的面积为
1f(x0)
Sf(X0)(x°
-(X0-)=4
2f(X0)
1111
整理,得yy2,解方程,得CX,由于f(0)=2,得C=-
8y82
所求曲线方程为y—.
4-x
17.(本题满分10分)
设函数f(x,yHxyxy,曲线C:
x2•y2x^3,求f(x,y)在曲线C上的最大方向导数.
【详解】显然f/•y,f=1x.
xjy
f(x,y)=xyxy在(x,y)处的梯度gradf=
f(x,y)在(x,y)处的最大方向导数的方向就是梯度方向,最大值为梯度的模
gradf二(1y)(1x)2
所以此题转化为求函数F(x,y)=(1x)2(1•y)2在条件C:
x2y2xy=3下的条件极值.用拉格朗
日乘子法求解如下:
令L(x,y,)=(1x)2(1y)2"
(x2y2xy-3)
广
Fx"
=2(1+x)+2x丸+yX=0
进行比较,可得,在点x二2,y=-1或x二-1,y二2处,方向导数取到最大,为,^3.
18.(本题满分10分)
(1)设函数u(x),v(x)都可导,利用导数定义证明(u(x)v(x)f=u(x)v(x)u(x)v(x);
(2)设函数U1(X),U2(X),||(,Un(X)都可导,f(x)=U1(X)U2(X)|HUn(x),写出f(x)的求导公式.
【详解】
(1)证明:
设y=u(x)v(x)
y=u(x:
x)v(x:
x)_u(x)v(x)
二u(x:
=x)v(x:
=x)-u(x)v(x:
=x)u(x)v(x:
=x)-u(x)v(x)
-uv(xx)u(x)V
Xv(xx)u(x)
由导数的定义和可导与连续的关系
△y也u丄Au
y'
=zX=Mm?
zxv(x+”x)+u(x)瓦】=『(x)v(x)+u(x)v'
(x)
f(x)二Ui(X)Ui(X)U2(x)||(Un(X)U(X)U(X)|||Un(X)川Ui(X)U(X)([|Un(X)
19.(本题满分10分)
_1222_
已知曲线L的方程为z=X-y,起点为A(0,、.20),终点为B(O,_..J,0),计算曲线积分
Z=X
2222
Jyz)dX(z-x2-y)dy(x2-y)dz.
x=cost
【详解】曲线L的参数方程为y=$2sint,
z=cost
[(y+z)dx+(z-x+y)dy+(x+y)dz
迟
=-2(2sintcost)d(cost)(.2cost)d(2cost)(2-cost)dcost
~2
(2)设非零向量
20.(本题满分11分)
设向量组,〉2,〉3为向量空间R3的一组基,-^2-^-2k>
3,:
2=2〉2厂3=>
3(k-1)〉3.
向量组■-1,■-2,■-3为向量空间R3的一组基;
(2)当k为何值时,存在非零向量'
,使得•在基>
1,〉23和基-1,-2,-3下的坐标相同,并求出所有的非零向量'
.
2k
=4-0,且〉1,〉2,〉3显然线性无关,所以-1,-2,:
3是线性无关的,
在两组基下的坐标都是(%,x2,x3),则由条件
Xr'
1'
X^2'
X3〉3二X1:
1'
X2:
2'
X3:
可整理得:
X1(-12k-3)X2〉2-X3(rk3)=0,所以条件转化为线性方程组
〔:
心・2k〉3,2,k3x=0存在非零解.
「1
1先
(a1,a2,ct3)
=(a1,a2,a3
k」
从而系数行列式应该等于零,也就是
二0
(1)求a,b的值;
(2)求可逆矩阵P,使P'
AP为对角矩阵.
(1)因为两个矩阵相似,所以有
trA=trB,
也就是茄b
12a—3=b
广—1
解方程组(5E一A)x=0得矩阵A的属于特征值).3=5的线性无关的特征向量为巴3=1
L1
z2
£
-1、
令P=(2/2工3)=
,贝VP」AP=
1」
5丿
22.(本题满分11分)设随机变量X的概率密度为f(X)=2ln2,X0
10,X兰0
对X进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y为次数.求Y的分布函数;
(1)求Y的概率分布;
(2)求数学期望EY.
详解】
(1)X进行独立重复的观测,得到观测值大于3的概率为
显然Y的可能取值为2,3,4川|
(k-1)7,k=2,3,4,川
648
oO
(2)设S(x)二'
n(n-1)xn‘
n=2
八(xn)=、X
n=2
XV1
QO
E(Y)八kP(Y二k)二
k=2
卢丄k(k-1)「7〕n三64'
气8丿
k-2
=16
23.(本题满分11分)设总体X的概率密度为
f(x;
冷
其中d为未知参数,X1,X2,川,xn是来自总体的简单样本.
(1)求参数V的矩估计量;
(2)求参数二的最大似然估计量.
(1)总体的数学期望为
E(X)
令E(X)=X,解得参数二的矩估计量:
?
=2X-1.
(2)似然函数为
显然L(R是关于二的单调递增函数,为了使似然函数达到最大,只要使二尽可能大就可以,所以参数v的最大似然估计量为?
=min(x,,x2,川,召).
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- 考研 数学 一真题 解析