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丫二ALf(k)两边分别对K、L求导数:
£
Y1
资本的边际产品为:
——二ALf'
(k)——二f'
(k)
£
KAL
有效劳动的边际产品为:
K
f(k)ALf'
(k)[-pf(k)-kf'
(AL)2
(3)稻田条件:
limk>
of'
(k)二:
,limk心f'
(k)二0
一个满足上述条件假设的新古典生产函数图示
一个特殊的生产函数:
C-D生产函数
F(K,AL)二K〉(AL)1「,0:
:
1
试证明C-D生产函数满足3个特性假设。
3.生产投入品的变动
假设时间t是连续的(非离散的)
■
(1)劳动力的增长:
L(t)/L(t)叮dL(t)/dt]/L(t)二n
(2)知识的增长:
A(t)/A(t)叮dA(t)/dt]/A(t)=g
其中n为人口增长率,g为技术进步率,均为外生参数,表示不
变增长速度
L,A为何种形式的增长方式?
(指数形式增长,证明)
(3)资本的增长:
K(t)二[dK(t)/dK]二sY(t)-K(t)
其中s为储蓄率,■■:
为资本折旧率,均为外生变量
三、平衡增长路径
1.k的动态学
(1)k(t)的动态方程
已知k(t)二K(t),先做变换,两边取自然对数
A(t)L(t)
Ink(t)=1nK(t)—lnA(t)-1nL(t)
对t求导数,得:
也二上®
一AD_丄包
k(t)K(t)A(t)L(t)
代入’有:
k(t^SYA(t;
L(K)(tkk(t)^k(t)g
二sf(k(t))-、k(t)-nk(t)-gk(t)
二sf(k(t))-(ng)k(t)
k(t)二sf(k(t))-(ng,)k(t)是索洛模型的基本微分方程,
它表明k(t)是k的方程。
含义说明:
人均实际投资sf(k(t))用于两方面:
一是“资本的深
化”,即k(t),二是“资本的广化”(“持平投资”),即(n+g+6)k(t)
(2)稳态均衡
定义“稳态”:
一种其中各种数量都以不变速度增长的状况,即
k(t)=O。
当sf(k(t))>
(ng、)k(t)时,k(t)>
0(储蓄大于投资)
当sf(k(t))<
(ng)k(t)时,k(t)<
0(储蓄小于投资)
**
当sf(k(t))=(n•g,)k(t)时,k(t)=0(储蓄等于投资),即实际投资与持平投资相等。
无论k从何处开始,它都收敛于k*。
(3)图示:
稳态均衡图示1
稳态均衡图示2
证明:
dkdk
f(k)-kf'
k2
稳态均衡图示3(k的相图)
2.平衡增长路径
当k=k*时,模型中的各个变量将如何变动?
变量
含义
平衡增长速度
备注证明
绝对量
资本存量
n+g
k=K/AL
L
劳动力
n
A
知识或技术
g
AL
有效劳动
Y
总产出
F(cK,cAL)=cF(K,AL)
C
总消费
C=(1-s)Y
相对量
k(Y/AL)
有效劳动的平均资本
K/L
人均资本
y(Y/AL)
有效劳动的人均产出
y=f(k)=Y/AL
Y/L
人均产出
c(Y/AL)
有效劳动的人均消费
c=(1-s)f(k)
C/L
人均消费
K/Y
资本产出比
区分各变量(X)与时间(t)之间的变化关系,即X(t)、InX(t)、
[dX(t)/dt]/X(t)。
结论:
在索洛模型中,无论从任何一点出发,经济向平衡增长路径收敛,在平衡增长路径上,每个变量的增长率都是常数,且是外生决定的。
特别是,在该路径上,人均产出的增长率仅取决于技术进步率。
四、非均衡动态与收敛
考察两个非均衡问题:
(1)当经济增长处在非稳态时(k工k*时)各变量如何向稳态调整?
(如何收敛?
)
(2)向稳态调整有多快?
(收敛的速度和时间?
1.非均衡动态
定义k的增长率k二k/k二sf(k)/k-(ng),当sf(k(t))>
(ng)k(t)时,k(t)>
o;
当sf(k(t))<
0。
非稳态动态图示1
非稳态动态图示2
这表明k离k*越远,其增长率(正或负)越大,即■k”:
0。
(思考:
这意味着什么样的理论预测?
与现实是否相符?
)
接下来,可以证明索洛模型中的其他变量X的非均衡动态增长
率(X)与■k保持比例或线形关系,例如:
y=y/y=f'
(k)k/f(k)=[kf'
(k)/f(k)]•k八kk
■k=■kng
因此,对k的非均衡动态分析可以同样适用于X,即•X”0。
结论(索洛模型的收敛性):
每个经济都收敛于其自身的稳态,而且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比,或者说,经济离其自
身的稳态值越远,其增长率就越快。
2.绝对收敛与相对收敛
对索洛模型的收敛性的实证检验(样本的同质性与异质性),产
生绝对收敛与相对收敛的概念。
条件收敛的图示:
当穷国人均初始资本存量较小,而富国的储蓄率较高时,富国会比穷国有更高的增长率。
因此,一旦控制了稳态的决定的情况下,条件收敛将成立。
3.收敛的速度
考察收敛的速度的意义在于如果收敛的速度很快,就集中研究稳
态情况,如果收敛的速度很缓慢,研究动态过程就更有意义。
关键在考察k以多快的速度趋近k*。
由平衡增长的条件可知:
k=k(k),在k=k*处对k(k)作一阶泰勒级数近似,可得:
k®
)(k-k*)
k
"
K(k*)-1](ng)
因此k(t):
-口-:
K(k*)](ng、)[k(t)-k*]
在平衡增长路径上,k向k*收敛的速度与k与k*之间的距离成比例。
令x(t)二k(t)-k*,“收敛系数”•=(1-〉k)5*g,),则
X(t)—x(t),所以x的路径为x(t)二x(O)e"
(指数增长),即:
k(t)_k*e'
JK)(ng)t(k(0)_k*)
可以证明,y⑴-y*e'
1_K)(n〜」(y(0)-y*)。
举例:
假设ng=6%,:
K=1/3」,—4%(表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%),因此走完平衡增长路径距离(即消除与初始收入差距)的一半约需18年时间。
证明:
e-t=0.5,t=「ln(0.5)/=1n2/0.0418
五、黄金分割律、最优消费和黄金率资本存量水平
产出、储蓄和消费的关系:
有效劳动的平均消费c=f(k)-sf(k)
令c=c*(处在平衡增长路径上),贝卩:
c*二f(k*)-sf(k*)
由于sf(k(t))=(ng)k(t),
所以,c*二f(k*)-(ng)k*
目标为人均消费最大化,令:
:
c*/:
k*=O,则f'
(kg°
*〉韦n+g+§
,即为最优消费的一阶条件,该k*g°
id为黄金资本存量水平,最优消费。
9。
屛=f(kg。
/)-Sf(kg°
|d*),这被称为“黄金分割律”
图示:
再考虑储蓄率s变化对消费c*的影响。
由平衡增长路径的稳定条件可知:
导,有:
-c*
:
s
k*=k*(s,n,g,),由此c*=f(k*)-(ng)k*两边对s求
ck*(sng6)珥f'
(k*(s,n,g,))-(ng)](:
g,)
CS
k*(s,n,g,)>
0,因此竺的符号决定于f'
(k*(s,n,g「))与
ss
(n^)的大小。
.r亠
c
当k*k*gold,f'
(k*(s,n,g,))>
(ng),>
cs
cc*当k*k*gold,f'
(k*(s,n,g,))<
(ng),<
因此s与c*的关系为:
六、储蓄率变动的影响
F面考察政策控制变量s的变动的影响,包括:
(1)对稳态均衡的影响;
(2)两个稳态均衡之间的动态路径;
(3)对长期增长的影响程度;
(4)对长期增长的影响持续时间。
1.储蓄率变化的比较静态均衡
g)k(t)
*k
图示2
2.储蓄率变化的动态影响
(1)对k的影响:
先增加,并逐步收敛于新的更高水平
s与k的动态变化有何不同?
(2)对Y/L的影响:
先暂时性的增加,但随后收敛于原来的平
衡增长速度。
如何证明?
提示:
Y/L二Af(k)。
储蓄率变动对K、Y、K/Y的动态影响如何?
(1)储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率,而不会永久性地影响。
或者说,储蓄率的变化只有水平效应,而没有增长效应。
(2)只有技术进步率的变化有增长效应。
(3)政策含义:
投入驱动的增长不会持续。
3•储蓄率变化对产出的长期影响考察储蓄率s变化对有效劳动人均产出y的影响(弹性分析)
由k*二k*(s,n,g「)可知:
由平衡增长的条件k=0得到:
sf(k*(s,n,g,))=(ng)k*(s,n,g,)
两边对s求导数,
^k*^k*
sf'
(k*)f(k*)=(ng)-
cscs
f'
(k*)f(k)
(ng)-sf'
(k*)
两边同乘s/y*,并用sf(k*)=(n•g,)k*代换s,得到:
s屮sf'
(k*)f(k)
S飞f(k*)(ng、)-sf'
_(ng、)k*f'
(k*)f(k)
-f2(k*)[(n+g+§
)_(n+g"
)k*f'
(k*)/f(k*)]
_(n+g+6)k*f'
-f(k*)[(ng)-(ng)k*f'
k*f'
(k*)/f(k*)
_1-[k*f'
定义k*f'
(k*)/f(k*)为k=k*处的产出的资本弹性:
K(k*),它
设:
K(k*)=1/3,则--^=1/2,y*cs
人均产出长期内仅变化5%
储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响。
4.储蓄率变化的影响时间
注意“收敛系数”冬=(1-〉K)(n•g'
)与s无关。
前例:
假设ng=6%,:
-K=1/3,则=4%(表示k和y向k*和y*每年移动剩余距离的4%),因此走完平衡增长路径距离的一半约需18年时间。
因此,当储蓄率增加10%时,人均产出长期内仅变化5%。
第1年增长0.04(5%)=0.2%,18年后增长0.5(5%)=2.5%
储蓄率变化对人均产出变化的作用较缓慢。
七、对索洛模型的总结和评论
1.主要结论
(1)无论从任何一点出发,经济向平衡增长路径收敛,在平衡增长路径上,每个变量的增长率都是常数。
(2)在其他外生变量相似的条件下,人均资本低的经济有更快的人均资本的提高,人均收入低的经济有更高的增长率。
(3)人均产出(Y/L)的增长来源于人均资本存量和技术进步,但只有技术进步才能够导致人均产出的永久性增长。
(4)通过调节储蓄率可以实现人均最优消费和最优资本存量的“黄金律”增长。
(5)储蓄率的变化只会暂时性地影响增长率,而不会永久性地影响;
储蓄率的显著变化对平衡增长路径上的产出变化只有较小的影响,且作用缓慢。
2.批评
(1)未能够解释长期经济增长的真正来源。
把技术进步(劳动的有效性)看成为外生给定的,而这恰恰是长期经济增长的关键。
因此,索洛模型是通过“假定的增长”来解释增长的。
(2)理论预测与实际数据不符。
如果资本取得的市场收益大致体现了其对产出的贡献,那么实物资本积累的变化既不能很好地解释
世界经济增长,也不能说明国家间的收入差距。
例如:
根据C-D生产函数,y二f(k)二k'
,一般的〉=1/3,设穷国变量带*,若y/y*=10,则k/k*=101几=1000。
(如此大的资本存量差异!
资本的边际产品MPk二f'
(k)=\k'
一1二〉y^_1)^,若
y/y*=10,则MPk/MP*K=1/100。
(如此高的资本报酬率差异!
八、经验检验
1.增长因素分析(经济增长核算)
2.收敛性(绝对收敛和相对收敛)
3.储蓄(投资)、人口与产出的关系
作业:
求在平衡增长路径上每单位有效劳动的平均产出y*对人口增长率n的弹性。
如果〉K=1/3,g=2%「=3%,则当n从2%降至1%时,y*将上升多少?
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- 第二 古典 增长 模型