高中数学函数知识点总结Word下载.docx
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)
注意映射个数的求法。
如集合A中有m个元素,集合B中有n个元素,则从A到B的映射个数有nm个。
如:
若
,
;
问:
到
的映射有个,
的映射有个;
的函数有个,若
,则
的一一映射有个。
函数
的图象与直线
交点的个数为个。
8.函数的三要素是什么?
如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:
①表达式相同;
②定义域一致(两点必须同时具备)
9.求函数的定义域有哪些常见类型?
函数定义域求法:
●分式中的分母不为零;
●偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
10.如何求复合函数的定义域?
义域是_____________。
例若函数
的定义域为
,则的定义域为。
11、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例求函数y=
的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=
-2x+5,x
[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+
的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:
求函数y=
+
倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
12.求一个函数的解析式时,注明函数的定义域了吗?
切记:
做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂
15.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求
的正负号或者
与1的关系
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;
(特例:
奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。
(特例:
偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;
当c<0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;
(函数相加)
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;
如果负值函数f1
(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;
(函数相乘)
⑤函数f(x)与
在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;
若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。
(同增异减)
⑦若函数y=f(x)是严格单调的,则其反函数x=f-1(y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。
f(g)
g(x)
f[g(x)]
f(x)+g(x)
f(x)*g(x)都是正数
增
减
/
17.函数f(x)具有奇偶性的条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;
两个偶函数的乘积是偶函数;
一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
(3)f(x)是定义域在(-6,0),(0,6)上的奇函数,若x>0时f(x)=求x<0时f(x)
判断函数奇偶性的方法
一、定义域法
一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
二、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算
,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
三、复合函数奇偶性
f(x)*g(x)
奇
偶
非奇非偶
18.
函数,T是一个周期。
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:
告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t.推导:
同时可能也会遇到这种样子:
f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:
函数f(x)关于直线对称,对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如:
19.你掌握常用的图象变换了吗?
联想点(x,y),(-x,y)
联想点(x,y),(x,-y)
联想点(x,y),(-x,-y)
联想点(x,y),(y,x)
联想点(x,y),(2a-x,y)
联想点(x,y),(2a-x,0)
注意如下“翻折”变换:
19.
(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
的双曲线。
应用:
①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
利用它的单调性求最值
21.如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x,
2、令x=0或1来求出f(0)或f
(1)
3、求奇偶性,令y=—x;
求单调性:
令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±
y)=f(x)±
f(y)
2.幂函数型的抽象函数
f(x)=xa----------------f(xy)=f(x)f(y);
f(
)=
例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>
0时,f(x)>
0,f(-1)=-2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>
2,f(3)=5,求不等式f(a2-2a-2)<
3的解.
例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤
,求a的取值范围.
例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:
存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2);
对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求:
(1)f(0);
(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.
例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:
①f(x)>
0,x∈N;
②f(a+b)=f(a)f(b),a、b∈N;
③f
(2)=4.同时成立?
若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.
例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x·
y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:
(1)f
(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.
例7设函数y=f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·
g(b)是否正确,试说明理由.
例9已知函数f(x)(x≠0)满足f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求证:
f
(1)=f(-1)=0;
(2)求证:
f(x)为偶函数;
(3)若f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式f(x)+f(x-
)≤0.
例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0,f(x+y)=f(x)·
f(y),且当x<0时,f(x)>1,求证:
(1)当x>0时,0<f(x)<1;
(2)f(x)在x∈R上是减函数.
练习题:
1.已知:
f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x、y都成立,则()
(A)f(0)=0(B)f(0)=1
(C)f(0)=0或1(D)以上都不对
2.若对任意实数x、y总有f(xy)=f(x)+f(y),则下列各式中错误的是()
(A)f
(1)=0(B)f(
)=f(x)
(C)f(
)=f(x)-f(y)(D)f(xn)=nf(x)(n∈N)
3.已知函数f(x)对一切实数x、y满足:
f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y),且当x<0时,f(x)>1,则当x>0时,f(x)的取值范围是()
(A)(1,+∞)(B)(-∞,1)
(C)(0,1)(D)(-1,+∞)
4.函数f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2都有
f(x1-x2)=
,则f(x)为()
(A)奇函数非偶函数(B)偶函数非奇函数
(C)既是奇函数又是偶函数(D)非奇非偶函数
5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数f(x)是()
(注:
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