考研数学二数学302真题试题及答案解析.docx
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考研数学二数学302真题试题及答案解析
绝密☆启用前
2020年全国硕士研究生入学统一考试
数学
(二)试题及答案解析
(科目代码:
302)
考生注意爭项
1.答題前,考生须在试題册指定位置上填⅛*⅛⅛Λ和考生编号;在答题卡指
定位豈上填写报考单位、考生⅛Λ4∏考生编号,并涂写考生编号信息点。
2.考生须把试.題册上的“试卷条形码”粘贴条取下,粘贴在各题卡的“试卷条形码粘贴位置”框中。
不按规定粘貼条形码而影响试.卷结果的,责任由考生自负。
3.选择題的答案必须涂写在暮题卡相应題号的选项上,非选择逖的咨案必须芳写在答題纸指定位置的边框区域内。
超出答題区域写的答案无效:
在草稿纸、试題册上答题无效。
字迹工整、笔迹清
5.考试结束,将答题卡和试遜册按规定交回。
(以下信息考生必须认真填写)
考生编号
考生姓名
一、选择题:
(1・8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,
只有一项符合题目要求,请将选项前的字母填在答题纸上)
】.当Λ→0*,下列无穷小的阶数最高的是(〉
2屈5)=册壯訓第二类间断点个数为<〉
A.1
B.2
C.
3
π2
B.——
πD.-
8
4•函数f(x)=x2In(I-x),当n≥3时./(^(O)=<〉
n∖
A.
n-2
n∖B.——
W-2
个数是(〉
A.4
B.3
C.2
D.1
6•函数/(x)在区间[-2,2]上可导.Π∕Xv)>∕(λ∙)>0.则<)
B.
D.
7•己如四阶短阵J=(αj不可逆山応的代数余子式/f12≠0^15α29α3^4为短阵畀的
列向虽组,/T为月的伴随矩阵.则方程组AtX=O的通解为(》
A.X=A“I+&√Z2+A√z3,其中仏M2,&3为任点常数
B.x≈klal+k2a2-^kia49其中ki,k2,ki为任意常数
C.*=]+R2 D.X=kla2∙^k2a3^-kiai9^φΛ∣,Λ2,Λ3为任总常数 &i殳/1为3阶矩阵,tz,,α2为矩阵/IWTI的线性无关的特征向S.α3为//的属丁特征值 仃O0、 -1的特征向量.则满足PxΛP=0-10的可逆矩阵P可为(〉 0OL A∙(al+a3,a2-a3) B.(αι+α2Sr3) C.(a】+%F3,F2) D.(ai+^2,-α3.-α2) E. 上) ILsr=arctan[Λτ+sin(.r+y)h则(IZI(OlX)=∙ 12•斜边长为2uWltL(∏2f∣J形丫板铅Il地沉没任水中』斜边与水而齐丫•设血力加連 度为Q水的密度为C则该半板•侧所受的水压力为 13.设y=y(x)满足yβ+Iy+y=O,且y(0)=0./(0)=I,则£v(λMv= Q0 Oa -11 -1 三、简答题(15-23小题,共94分•请将解答写在答题纸指定位置上,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分10分) 求曲纯F=产=(V>0)的斜渐近线方程O "0+V) 16.(本题满分10分) □.知PA数/(x)连续ILliI】、=Lg(X)=∫'/(Xt)(JK求匕'(x),并证明g'(.v)&x=0处连续。 17.(本题满分IO分) 求函数/(Λ∖j∕)=x1+Sy的极值。 18.(本题满分10分) 设西数√(.v)的定义域为(0,+00)且满足2∕(λ)+疋彳+卜护寻・求<(∙d并求Illl线y≈f(x∖y=\y=£及y轴所创图形绕X轴旋转所成旋转体的体积。 19.(本题满分10分) 设平而DillH线x=tx≈Zy=x与X轴Bl成,il口∫∫ClXdy。 20.(本題满分Il分) 设曲数/(.v)=∫e"ch. (1)证明: 存在⅞e(l,2>/(⅞)=(2-⅞X; <2>证明: 存在77∈(1,2),/ (2)=1π2∙77√. 21.(本题滴分11分) 设/(.v)Ur导,且曲线y=/(x)(x>0)经过坐标原点.只上任意•点财处的切线与X轴交TT,又An垂直X轴与点P,已知曲线y=/(x),直线MP以及λ: 轴所鬧图形面积与∖MTP血积之比恒为3: 2,求满足上述条件的曲线力程。 22.(本題满分Il分) 设二次型/(.Vrx2,Λβv)=.rl2+Xj+Xj+2πxix2+2αrlX: +2ax2x3经可逆线性变换 化为二次型g(y』2必)+y;÷4vf+2^2. (1>求a; <2>求可逆如阵P. 23.(本题满分Il分) IaAhl阶矩阵,P=(4Aa∖其中a是非零向虽且不楚A的待征向乩 <1>证明P为可逆建阵. (2)若A2a+Aa-6a=0.^lAP.并判断/(是否相似于对角阵。 2020年全国硕士研究生入学统一考试数学 (二)试题答案 1.【答案】D 【解析】选项A,(∫θ(/-1)√∕)=-1~x2(x→O 选项B,(∫jn(l÷√F√∕))=ln(l+√? ")~λ∙^(.v→O+)选项G(fs,1rsin∕2√r)=Sin(Sin2x)COSX-X? (X->()") JD 选项D,(J;iλ'Jsiιf∕d∕)=JSin(I-COSK)sin.v~cv,(.vToJ 2.【答案】C 【解析】间断点为X=-1,0,1,2, Iim/(x)=8为无穷间斯点.Iiln./(.v)二一--为町去间斷,"・ x→-! JrTO2f Iimf(x)=∞为无穷间断点Jimf(x)≈∞为无穷间断点• x→lx→2 3.【答案】A [解析】=2f'arcsin4xdarcsinVr=(arcsin>∕x∖'= JoJx(Ii)JoV,0 4.【答案】A 【解析】∕,"(x)=hW(l-Λr)√i+C: IdZ(I-X)2x+C: IfZ(Ir)2∕π,(0)=C2aIncλ-Z)(I-x)2IJ=O=n(n-1)(-1)λ^(-Ir(M-3)! =~ 5.【答案】B 【解析】 IimA(λ∖y)=IimXy=则IimIimf(x^y)=0,③与④对; (X..Γ>→ 人(OJ)-人(0∙0)Ilm FTOυ-0 =IiIn⅛→o 人(0丿)-1 ≠1,②错. 于足止确的个数为3个. 6•【答案】B 【解析】因为f∖x)>f(x)>0,所以以卫〉1.所以上也-ι>o, /(x)/(A) 记F(X)十丁⑴,则 F(X)>0.F(O)=/(0),F(-l}=√(-l),因为F(X)单调增,所以F(O)>F(-l), BP/(0)>√(-l)5即 7.【答案】C 【解析】因为M不可逆,所以rH)<4,又因为上12工°,所以∕,(∕0≥3,所以r(∕l)=3,r(∕i')=1, 又因为J12≠0,所以ana39a4线性无关, 又囚为AA∙=(K所以川\=0的通解 X=AIaI+⅛2α3+⅛3α4,ft中你匕、心为任童常数•8•【答案】D 【解析】山题知A(al+α2)=α1÷α3,A(-a3)=-(-α3), I0O- 令P二((Zl+幺2・一口3,口则厂咕P=0-10. 001 9•【答案】-√2 √∕2+l 【解析】交换枳分次序得 (CA7J;Jx'+1*=J: CqJx'+l√r=£X2Jx'+I(Zr =打√77L∕(F+1)=扌(2屁1). 11.【答来】(π-∖)dx-dy 【解析】±=Jarctan(Aτ÷Sin(A-÷^))=^÷x√y÷cos⅛X^÷√r)1+g+sing)), 则血(On≈(π-Y)dx-dy. 12.【答案】Ipgα3 【解析】水压力为F=£P^(CI-y)∙2yιly=2∕^χ∫θ(U-y)∙ydy= 13.【答案】1 【解析】/+2∕+v=0的特征方程为√+2r+l=0.则r=-l为二重根, 微分方程的通解为J=(Cl+CW 由MO)=OJ'(0)=1得CI=O,c2=L则 J=-Ye'xJθy(χ)Nv=JoXe^dX= 14.【答案】α4-4a2 15•【解析】只考虑X>0的情形: +x,πΓLrIII1 =LIim—1-__L±£ a.<→÷≡ot =-Iinl'∏∕)=丄,于是,曲线的斜渐近线方程为y=-X+丄 ∕jto∙/-2ee2e 16•【解析】当XHo时, X(X)=∫θ∕(χ∕)<∕/∫∫∕(ι∕M? /.XU)=Λ∫t 当X=OlI4, r、/∕u-[f(ιι)du—0 Xn)-—=Iim JrfOXλ->0工 所以 .x≠0, x=0, f(U)(JIt+=IinI丄F*f∖u)du+Iim X」Jf→0XZJOx→0 =1⅛4F+l=r^(O) 所以g∖x)在X=O处连续• 故/⑴在C丄]处取得极小值JI极小值/卩丄]=-⅛ \612)\612J2\6 】9•【解析】令/=少(M.,=F丄町討 DXCOSF =⅛⅛^ =∣∫;SeC^tan^=ISeC^tan^ 7L3止 4一二J: UmOsecO必 02° JwoSeC财-茁SeCs伏 =-y∕l——P(SeC2^-I)SeCOdO =I^-ItSeC^+⅛sec^ 3厂3— =一4一/+—In(SeC〃+Um〃)4 92e Z0 =-√2-7+1ln(l+^) 22 7=^[√2+ln(1+√2)]. 20.证明: <1>令F(X)=(2-χ∖f(χ∖曲题/(∣)=O.Λ(I)=O.Λ,⑵=0,囚为F(X)在[1,2]上连续,在(1.2)可导, 所以由罗尔定理可知北w(1.2)使FG)=0. 即f(ξ)=(2-ξy2 (2)令^(X)=InX,/(x),g(x)在[1,2]上连续,在(1,2)可导,且g'(χ)=0, 所以由柯西中值定理可知 存在片∈(1,2),便得樂=¾~z¾,W∕⑵=ln2.〃訐.g(〃)g (2)-g(l) 21.【解析】设所求曲线方程为y=J(X).任•点AZ坐标为(Xj), MPV 由题tan/? =/=-—•即TP=—. TPy 三角形MT的血积为: 曲边三角形OMp的山i积S=£J(X>Zv, 山两IiieIZ比为常数W^7=∣j^>(λ->Zy, 两边关于T求导衍⅛⅛⅛∙=-J(Xμψy>w=-y,21 厂33 令PG)=⅛M∕=pv, (Jy =∙∣∕√,即"y^--τIP=O。 3Jv3 ■"-J 原方程化为VP如「'ay. 丄 由J—p=o>得“=Ca•即b=C肿.从而G+C2=牛,dy3•丄 3 山曲线过原点,JlXeO=0,代入f9C2=0. 所求曲线为^=ICIX. 山G的任点性•曲线可衣示为y=Cχ∖C为任盘常数。 <1aa> <110、 22.【解析1 (1)设 a1a 110 ・由题意可知 WQ1> <004 r(∕l)=r(Z? ).Itnr(^)=2,故厂(M)=2,于是可得a≈-∖ 3 -宁2*3 (3)对于二次型/ f(xi,x29X3)=X^+X2+xl-XIX2-x2x3一XIX3 =(xi・卜2・十討十缶 (11 +T(x2-兀3)'4 =IXI・£兀2・£*3 对于二次型g,gS,必"J=X+M+4处+2儿儿=S+必),W (\ ( \ ‘可=yi+y2} ■二; 1 0-1 Z2=2>⅛ %7 得g=Z12+∑2.取马= 0 01 、Z3=>⅛丿 1 <2) 0 丄0 2丿 2 取尸=MT 2、 v3 4 v3 O <、 Z、 Vl •存在变换 兀2 =P y≥ 便得/CYl•勺∙XJ化为^CVl.y2J3)• 23.证明: <1)H为"是非0向量,Il不是力的特征向量, 所以Acι≠^λ为任盘实数, 所以,P=(a9Aa)的2列向量不成比例, 所以心加线性无关,从而R(P)=2,所以P可逆。 -I) <2;∣l∣于∕1P=A((LAa)=(Aa,Aa)=(Λa,6a-A(J)=(t∕,Aa fθQ 所以AP=P& UT丿 Ifo6\ 又因为/M逆,所以P^AP.丄 f0\ 所以,B=又∖B-λE∖=Or所以,才+八6=0 从而A=-3,A2=2 所以B的2个特征值互不相同,从而〃可对角化乂』与B相似,所以/对对角化。
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- 考研 数学 302 试题 答案 解析