全国名校高考数学优质学案汇编附详解第三节 函数的奇偶性与周期性Word下载.docx
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奇±
奇=奇,偶±
偶=偶,奇×
奇=偶,偶×
偶=奇;
④奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性.偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性.
(2)函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>
0);
②若f(x+a)=
,则T=2a(a>
③若f(x+a)=-
0).
(3)对称性的三个常用结论
①若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
③若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.
2.必知联系
偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;
奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( )
(2)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0.( )
(3)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的充分必要条件.( )
(4)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( )
【解析】
(1)错误.函数定义域不关于原点对称无奇偶性.
(2)错误.f(x)在x=0处不一定有意义.
(3)错误.函数的定义域关于原点对称并不一定具有奇偶性.
(4)错误.如f(x)=
.
【答案】
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.(教材改编)已知奇函数f(x)在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有( )
A.最大值M B.最大值-M
C.最小值MD.最小值-M
【解析】 根据奇函数的图象关于原点对称知,f(x)在[-b,-a]上有最小值-M,故选D.
【答案】 D
3.(优质试题·
福建高考)下列函数为奇函数的是( )
A.y=
B.y=|sinx|
C.y=cosxD.y=ex-e-x
【解析】 对于D,f(x)=ex-e-x的定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故y=ex-e-x为奇函数.
而y=
的定义域为{x|x≥0},不具有对称性,故y=
为非奇非偶函数.y=|sinx|和y=cosx为偶函数.
4.(优质试题·
济南模拟)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1+x),则f
=________.
【解析】 因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f
=-f
=-
【答案】 -
考向1函数奇偶性的判断
1.(优质试题·
西安模拟)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则( )
A.f(x)与g(x)均为偶函数
B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数
D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数
【解析】 f(-x)=3-x+3x=f(x),所以f(x)为偶函数,
g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x),
所以g(x)为奇函数.
【答案】 B
2.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=
+
;
(2)f(x)=
(3)f(x)=
【解】
(1)由
得x=±
1,
∴f(x)的定义域为{-1,1},
又f
(1)+f(-1)=0,f
(1)-f(-1)=0,
即f(x)=±
f(-x),所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由
得-2≤x≤2且x≠0,
∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],
∴f(x)=
=
,
∴f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x<
0时,-x>
0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
当x>
0时,-x<
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上可知:
对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,∴函数f(x)为奇函数.
判断函数奇偶性的两个方法
1.定义法
2.图象法
考向2函数周期性及应用
(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
-1时,f(x)=-(x+2)2;
当-1≤x<
3时,f(x)=x,则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2015)等于( )
A.335 B.336
C.1678D.2012
(2)(优质试题·
临沂模拟)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图象关于x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,
①求证:
f(x)是周期函数;
②当x∈[1,2]时,求f(x)的解析式;
③计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2017)的值.
【解析】
(1)由f(x+6)=f(x)知f(x)为周期函数且周期为6.
由题意知f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+…+f(2015)=335(f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6))+f
(1)+f
(2)+f(3)+f(4)+f(5)=335+1=336.
(2)①证明:
函数f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),函数f(x)的图象关于x=1对称,则f(2+x)=f(-x)=-f(x),所以f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
②当x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],
又f(x)的图象关于x=1对称,则f(x)=f(2-x)=22-x-1,x∈[1,2].
③∵f(0)=0,f
(1)=1,f
(2)=0,
f(3)=f(-1)=-f
(1)=-1,
又f(x)是以4为周期的周期函数.
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2017)
=f(2016)+f(2017)=f(0)+f
(1)=1.
函数周期性的判定与应用
1.判定:
判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.
2.应用:
根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,在解决具体问题时,要注意结论:
若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
[变式训练]
1.(优质试题·
宝鸡模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),则f(2013)+f(2015)的值为( )
A.-1B.1
C.0D.无法计算
【解析】 由题意,得g(-x)=f(-x-1),
又∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),
∴f(x-1)=-f(x+1),
∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4),
∴f(x)的周期为4,
∴f(2013)=f
(1),f(2015)=f(3)=f(-1),
又∵f
(1)=f(-1)=g(0)=0,
∴f(2013)+f(2015)=0.
【答案】 C
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2014).
【解】
(1)证明:
∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得
f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.
又f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
∴f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又f(x)是周期为4的周期函数,
∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
从而求得x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)f(0)=0,f
(1)=1,f
(2)=0,f(3)=-1.
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)
=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0.
∴f(0)+f
(1)+f
(2)+…+f(2014)=f(2012)+f(2013)+f(2014)=f(0)+f
(1)+f
(2)=0+1+0=1.
考向3函数奇偶性的应用
●命题角度1 已知函数的奇偶性求函数的值
湖南高考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f
(1)+g
(1)=( )
A.-3 B.-1
C.1D.3
【解析】 ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,
∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1.
∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1.
∴f
(1)+g
(1)=-1+1+1=1.
2.(优质试题·
杭州模拟)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f
(1)=1,则f(8)+f(9)=( )
A.-2B.-1
C.0D.1
【解析】 因为f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数,
所以f(x+2)=f(-x+2)=-f(x-2),
由f(x+2)=-f(x-2),得f(x+4)=-f(x),
所以f(x+8)=f(x),
所以f(8)=f(0),f(9)=f
(1)=1,
所以f(8)+f(9)=0+1=1.
●命题角度2 与函数奇、偶性相关的不等式问题
沈阳模拟)已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)<
f
的x的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为f(x)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,又f(x)在[0,+∞)上单调递增,f(2x-1)<
所以|2x-1|<
,所以
<
x<
【答案】 A
4.已知偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f
(2)=0,则不等式
>
0的解集为________.
【解析】 由题意,不等式
0等价于
0,即
或
因为偶函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,
且f
(2)=0,所以f(x)在(-∞,0)上为增函数且f(-2)=0.
所以
所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,2).
【答案】 (-∞,-2)∪(0,2)
●命题角度3 已知函数的奇偶性求参数
5.(优质试题·
全国卷Ⅰ)若函数f(x)=xln(x+
)为偶函数,则a=________.
【解析】 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)-f(x)=0恒成立,
∴-xln(-x+
)-xln(x+
)=0恒成立,∴xlna=0恒成立,∴lna=0,即a=1.
【答案】 1
6.(优质试题·
北京模拟)函数f(x)=lg
为奇函数,则实数a=________.
【解析】 根据题意得,使得函数有意义的条件为
a+
0且1+x≠0.由奇函数的性质可得f(0)=0.所以lg(a+2)=0即a=-1,a=-1满足函数的定义域.
【答案】 -1
课时强化练(六) 函数的奇偶性与周期性
(限时:
40分钟)
A组 跨越本科线
北京高考)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sinxB.y=x2cosx
C.y=|lnx|D.y=2-x
【解析】 因为y=x2是偶函数,y=sinx是奇函数,y=cosx是偶函数,所以A选项为奇函数,B选项为偶函数;
C选项中函数图象是把对数函数y=lnx的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方,其余部分的图象保持不变,故为非奇非偶函数;
D选项为指数函数y=
x,是非奇非偶函数.
2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=2x2,则f(2017)等于( )
A.-2B.2
C.-98D.98
【解析】 由f(x+4)=f(x)知f(x)是周期为4的周期函数.f(2017)=f(504×
4+1)=f
(1),
又f(x)为奇函数,所以f
(1)=-f(-1).
由-1∈(-2,0),所以f(-1)=2,所以f
(1)=-2,
即f(2017)=-2.
金华模拟)若函数f(x)=
为奇函数,则a=( )
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