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(1)2的倍数的特征:
个位上是0,2,4,6,8.
(2)5的倍数的特征:
个位上是0,5.
(3)3的倍数的特征:
各个位数上的数字之和是3的倍数。
(4)既是2的倍数,又是5的倍数的特征:
个位上是0.
(5)既是的2,5倍数,又是3的倍数的特征:
个位上是0,且各个位数上数字之和是3的倍数。
3.奇数和偶数
(1)奇数:
在自然数中,不是2的倍数的数叫做奇数。
(2)偶数:
在自然数中,是2的倍数的数叫做偶数
在自然数中,不是奇数就是偶数。
最小的奇数是1,最小的偶数是0,没有最大的奇数和偶数。
4.质数、合数与分解质因数
(1)质数:
一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做质数(或素数)。
(2)合数:
一个数,除了1和它本身两个因数还有别的因数,这样的数叫做合数。
(3)质因数:
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这样的质数都叫做这个合数的质因数。
(4)分解质因数:
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,就叫做分解质因数。
5.最大公因数与最小公倍数
(1)最大公因数
a.公因数:
几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。
b.最大公因数:
在几个数的公因数中,最大的一个数叫做这几个数的最大公因数。
c.互质数:
如果两个数的公因数只有1,这两个数叫做互质数。
d.互质:
当两个数的公因数只有1,这两个数叫做互质数。
e.求最大公因数的方法
1.分解质因数法。
将几个公有的质因数连起来,所得的积就是这几个数中的最大公因数。
2.短除法。
(2)最小公倍数
a.公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数。
b.最小公倍数:
在几个数的公倍数中,最小的一个数叫做这几个数的最小公倍数
c.求最小公倍数的方法
1.分解质因数。
将几个数公有的质因数和独有的质因数连乘起来,所得的积就是这几个数的最小公倍数。
2.短除法
第二节小数的认识
一、小数的意义
把整数“1”平均分成10份、100份、1000份…这样的一份或几份是十分之一、百分之一、千分之一…或十分之几、百分之几、千分之几…就可以用小数表示。
二、小数的数位顺序
1.小数的计数单位和数位
(1)小数的计数单位
小数的小数部分按从左到右的顺序,计数单位依次是十分之一,百分之一,千分之一…每相邻的两个计数单位是十。
(3)小数的数位
同整数一样,小数的计数单位所占的位置叫做小数的数位,它们也是按照一定的顺序排列起来的。
三、小数的读法和写法
四、小数的性质
小数末尾添上“0”或去掉“0”,小数的大小不变。
五、小数的大小比较
六、小数的近似数
求一个小数的近似数,与求整数的近似数相类似,根据需要用“四舍五入”法保留一定的小数位数。
七、小数的分类
(1)按数位分类
有限小数
小数纯循环小数
无限循环小数混循环小数
无限小数
无线不循环小数
(3)按整数部分分类
纯小数
小数
带小数(混小数)
第三节分数和百分数的认识
一、分数
1.分数的意义
(1)把单位“1”平均分成若干份,这样的一份或几份都可以用分数表示。
表示其中一份的数叫做分数单位。
(2)两个数相除,它们的商可以用分数表示,即a÷
b=
(b≠0)
(3)任何整数都可以看作是分母为1的分数;
分数与除法是两个完全不同的概念,分数是一个数,除法是一种运算。
2.真分数、假分数和带分数
3.分数的基本性质
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
4.通分和约分
5.分数的大小比较
(1)分母相同的分数,分子大的分数大
(2)分子相同的分数,分母小的分数大
(3)分子。
分母都不同的分数,通常先通分,在比较大小;
也可以把各个分数化成小数,再比较大小。
6.倒数
乘积是1的两个数互为倒数。
1的倒数是1,0没有倒数。
二、百分数
1.百分数的意义
(1)百分数表示一个数是另一个数的百分之几。
百分数也叫百分率或百分比。
(2)百分数是分母为100的分数,是分数的特例。
百分数的计数单位是1%。
2.百分数的读法和写法
3.成数和折扣数
(1)成数:
工业生产中经常用“成数”来表示生产情况,几成就是十分之几,也可以用百分数表示。
4.税率和利率
(1)税率:
应纳税额与各种收入的比率叫做税率。
(2)利率:
利息与本金的比值叫做利率。
5.小数、分数、百分数的互化
第二章数的运算
一、四则运算之间的关系
1.加法2.减法
加数+加数=和被减数-减数=差
一个加数=和-另一个加数减数=被减数-差
被减数=差+减数
3.乘法4.除法
因数×
因数=积被除数÷
除数=商
一个因数=积÷
另一个因数除数=被除数÷
商
被除数=除数×
商
5.加法和乘法互为逆运算,乘法和除法互为逆运算
二、0和1的运算
a+0=aa-0=aa×
0=00÷
a=0a-a=0
a×
1=aa÷
a=11÷
a=
注意:
在上面运算中,a作除数时不能为0.
三、四则运算的顺序
1,四则运算分为两级。
加、减法叫做第一级运算,乘、除法叫做第二级运算。
2,在一个没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要从左到右依次计算;
如果含有两级运算,要先算第二级运算,再算第一级运算。
3,在一个有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算中括号里面的,最后算括号外面的。
四、整数四则运算的估算方法
估算时,一般将其中的大数看做整十、整百、整千……的数,使原式通过口算就可以求出得数,由于得数是近似值,所以计算结果要用“≈”连接。
1.加、减法的估算
计算加、减法,有时不要求精确结果,可以用已知数的近似数来估算和、差。
2.乘、除法的估算
计算乘、除法,有时不要求精确结果,可以用已知数的近似数来估算积、商。
五、四则运算的法则
1、整数加法与减法的计算方法
(1)加法:
相同数位对齐,从个位加起,满十进一.
(2)减法:
相同数位对齐,从个位减起,哪位不够减,就向前一位退一作十加上本位上的数再减。
2、小数加法与减法的计算方法
计算小数加、减法,先把各数的小数点对齐(也就是把相同数位上的数对齐),再按照整数加、减法的法则进行计算,最后在得数里对齐横线上的小数点点上小数点。
(得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉。
)
3、分数加法与减法的计算方法
(1)分母相同时,只把分子相加、减,分母不变;
(2)分母不相同时,要先通分成同分母分数再相加、减;
(3)所得的结果能约分的要约分。
4、整数乘法法则:
(1)从右起,依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数,乘到哪一位,得数的末尾就和第二个因数的那一位对齐;
(2)然后把几次乘得的数加起来。
(整数末尾有0的乘法:
可以先把0前面的数相乘,然后看各因数的末尾一共有几个0,就在乘得的数的末尾添写几个0。
5、小数乘法法则:
(1)按整数乘法的法则算出积;
(2)再看因数中一共有几位小数,就从得数的右边起数出几位,点上小数点;
(3)得数的小数部分末尾有0,一般要把0去掉。
6、分数乘法法则:
把各个分数的分子乘起来作为分子,各个分数的分母乘起来作为分母,能约分的可先约分再计算。
7、整数的除法法则
(1)从被除数的高位起,先看除数有几位,再用除数试除被除数的前几位,如果它比除数小,再试除多一位数;
(2)除到被除数的哪一位,就在那一位上面写上商;
(3)每次除后余下的数必须比除数小。
8、除数是整数的小数除法法则:
(1)按照整数是除法的法则去除,商的小数点要和被除数的小数点对齐;
(2)如果除到被除数的末尾仍有余数,就在余数后面补零,再继续除。
9、除数是小数的小数除法法则:
(1)先看除数中有几位小数,就把除数、被除数的小数点向右同时移动几位,如果被除数的数位不够的用零补足;
(2)然后按照除数是整数的小数除法来除。
10、分数除法的法则:
(1)一个数除以分数,等于乘这个分数的倒数;
(2)除数是带分数的要先化成假分数。
七、运算定律
交换律:
1.加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
2.乘法交换律:
两个数相乘,交换加数的位置,它们的积不变。
结合律:
1.加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,再与第三个数相加,或者先把后两个数相加,再与第一个数相加,它们的和不变。
2.乘法结合律:
三个数相乘,先把前两个数相乘,再与第三个数相乘,或者先把后两个数相乘,再与第一个数相乘,它们的积不变。
乘法分配率:
两个数的和与其中一个数相乘,可以先将两个加数分别与这个数相乘,再把它们的积相加起来。
八、运算性质
减法性质:
1.一个数减去两个数的和,等于这个数依次减去和里的两个加数。
a-(b+c)=a-b-c
2.一个数减去两个数的差,等于先从这个数中减去差里的被减数,然后加上减数。
a-(b-c)=a-b+c
除法性质:
一个数除以两个数的积,等于这个数依次除以积里的两个因数
商不变性质:
被除数和除数同时乘或除以一个相同的数(0除外),其商不变。
第三章
一、用字母表示数
1.用字母表示数量关系
(1)如果用字母v表示汽车行驶的速度,t表示时间,s表示路程。
这个数量关系就可以用字母表示为s=vt
如果工作总量用字母c表示,工作效率用a表示,工作时间用t表示,这个数量关系就可以用字母表示为c=at
2.用字母表示运算定律、运算性质
(1)运算定律
加法
交换律
a+b=b+a
结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法
b=b×
a
(a×
b)×
c=a×
(b×
c)
分配率
(a+b)×
c+b×
c
(2)运算性质
减法
减法性质
a-b-c=a-(b+c)a-b+c=a-(b-c)
除法
除法性质
a÷
b÷
c=a÷
商不变性质
b=c→(a×
n)÷
n)
或(a÷
(b÷
比
比的基本性质
a:
n):
比例
比例的基本性质
b=c:
d→a×
d=b×
注:
在上面算式中,除数和比的后项均不能是0。
3.用字母表示公式
图形名称
图形
字母意义
字母公式
长方形
面积—S;
周长—C;
长—a;
宽—b
C=(a+b)×
2
S=ab
正方形
边长—a
C=4a
S=a2
平行四边形
底—a;
高—h
S=ah
三角形
S=
ah
梯形
上底—a;
下底—b;
(a+b)h
圆
半径—r;
直径—d;
圆周率—π
C=πd=2πr
S=πr²
=π(d÷
2)²
长方体
体积—V;
表面积—S
宽—b;
V=abh
S=(ab+ah+bh)×
正方体
表面积—S;
棱长—a
V=a3
S=6a2
圆柱
底面积—S;
底面半径—r;
高—h;
表面积S′
V=πr2h=Sh
S′=2πrh+2πr2
=2πr(r+h)
圆锥
V=
πr2h=
Sh
4.求式子的值
当字母的数值确定,把它代入原式子中进行计算,所得的结果就是含字母的式子的值。
例如当a=6,b=10时,则15a+b=15×
6+10=100。
(1)数字和字母、字母和字母中间的乘号可以记作“·
”,或者省略不写。
在省略乘号时,数字应当写在字母前面。
如a×
n可以写作a·
n或an;
b×
3可以写作b·
3或3b。
(2)“1”与任何字母相乘时,“1”都可以省略不写。
(3)当两个相同字母相乘时,可以写成这个字母的平方,如a·
a=a2
二、简易方程
1.概念
等式:
表示两个相等关系的式子。
方程:
含有未知数的等式。
方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值。
解方程:
求方程的解的过程。
3.解方程
(1)解方程时,首先要在方程的左下方写“解”,其次的等号对齐,不能连等,未知数一般要写在等号的左边。
(2)做每一步运算时,都要明白这一步运算的依据。
(3)对方程的解进行检验时,把求出的未知数的值代入原方程中未知数的位置进行计算,如果原方程的等号左右两边相等,则所求得的未知数的值是原方程的解。
第四章
一、概念
1.长度单位:
用来计量物体或距离的长短。
2.面积单位:
用来计量物体表面或平面图形的大小。
3.体积单位:
用来计量物体所占空间的大小。
4.容积单位:
用来计量容器索能容纳物体的体积。
二、常见的计量单位及进率
计量单位
换算关系
长度单位
1千米=1000米;
1米=10分米;
1分米=10厘米;
1厘米=10毫米
面积单位
1平方千米=100公顷;
1公顷=10000平方米;
1平方千米=1000000平方米;
1平方米=100平方分米;
1平方分米=100平方厘米;
1平方厘米=100平方毫米
体积单位
1立方米=1000立方分米;
1立方分米=1000立方厘米;
1立方厘米=1000立方毫米
容积单位
1升=1000毫升;
1升=1立方分米;
1毫升=1立方厘米
质量单位
1吨=1000千克;
1千克=1000克
时间单位
1年=12月;
1年=365日(平年);
1年=366日(闰年)
1月=31日(一、三、五、七、八、十、十二各月);
1月=30日(四、六、九、十一各月);
1月=29日(闰年二月);
1月=28日(平年二月);
1日=24时;
1时=60分;
1分=60秒
人民币单位
1元=10角;
1角=10分
公历年份是4的倍数一般都是闰年;
但是公历年份是整百数的,必须是400的倍数才是闰年。
如1900年不是闰年。
而2000年是闰年。
三、体积单位和容积单位的联系
它们都可以用来计量空间的大小。
在计量固体的体积时,一般用体积单位;
在计量液体的体积时,一般用容积单位,即升或毫升。
四、名称的改写
1.名数的概念
带有计量单位名称的数叫做名数;
只带一个单位名称的数叫做单名数;
带有两个或两个以上的同类单位名称的数叫做复名数。
(例如:
15千克是单名数,2时30分是复名数)
2.名数的改写
高级单位的数×
进率
高级单位的名数低级单位的名数
低级单位的数÷
3.名数的改写方法
一看单位,二想进率;
大单位变小单位,数扩大(乘进率);
小单位变大单位,数缩小(除以进率);
逆向还原,做检查。
第五章比和比例
一、比的意义和基本性质
1.比的意义
两个数相除,又叫做这两个数的比。
比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项(不能为零)。
比的前项除以后项,所得的商叫做比值。
即:
a:
b=
前项比号后项比值
2.比与除法、分数的关系
联系
区别
前项
比号(:
)
后项
比值
表示数量间的一种关系
被除数
除号(÷
除数
是一种运算
分数
分子
分数线(—)
分母
分数值
是一种数
a:
b=a÷
3.比的基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。
4.最简整数比
比的前项和后项都是整数,并且都是互质数,这样的比就是最简整数比。
5.化简比
把两个数的比化简成最简整数比,称为化简比。
化简比的依据是比的基本性质。
(1)整数比的化简
•方法一:
先化成分数,再约成最简分数,最后把最简分数转化成比的形式。
•方法二:
把比转化成除法的形式,利用商不变的性质,被除数和除数同时除以相同的数(0除外),最后把除法转化成比的形式
(2)小数比的化简
•先把小数比化成整数比,再根据分数的基本性质或除法的性质化成最简整数比。
(3)分数比的化简
•先化成除法,再用最简分数表示,最后把最简分数转化成比的形式。
6.求比值
依据比的意义,用前项除以后项,结果可以是整数、小数或分数。
7.求比值与化简比的区别
求比值
化简比
目的
求前项除以后项的商
把一个比化简成最简整数比,是一个比(前项后项互质)
方法
前项÷
后项=比值
运用比的基本性质化简
结果
是一个数
仍是一个比(最简整数比)
注;
化简比时,要注意前项和后项先同一单位,然后化简。
8.比的应用
(1)比例尺:
图上距离和实际距离的比叫做比例尺。
比例尺的分类:
1数值比例尺。
如1:
200000或
。
0200000400000千米
2
线段比例尺。
如:
(2)按比例分配
把一个数量按照一定的比来进行分配,这种分配方法通常叫按比例分配。
二、比例的意义和基本性质
1.比例的意义
表示两个比相等的式子,叫做比例。
2.比例的内项和外项
组成比例的四个数,叫做比例的项,两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项。
b=c:
d
内项
外项
3.比例的基本性质
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
d,则ad=bc
4.解比例
求比例中的未知数的过程叫做解比例。
解比例的依据是比例的基本性质。
5.正比例和反比例
(1)正比例
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量对应的比值一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。
(2)反比例
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量对应的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。
(3)正比例和反比例的区别与联系
相同点
不同点
正比例
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化
相对应的两个量的比值一定
反比例
相对应的两个量的积一定
(4)判断两种量成正比例、成反比例或不成比例的方法
不是相关联的量不成比例
两种量对应量的比值一定成正比例
是相关联的量对应的量的积一定成反比例
对应的量的积和商都不一定不成比例
三、比和比例的区别
意义
组成
基本性质
两个数的比表示两个数相除
比由两个数组成,后项不能为0
比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
表示两个比相等的式子
比例由四个数组成,四个数都不能为0
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
第六章数学思考
一、找规律
1.数列中规律
按一定次序排列的一列数叫做数列,其规律主要有以下几种类型:
(1)相邻的两项的差为一个固定的数值。
(2)相邻的两项,后一项总是前一项的几倍。
(3)奇(偶)数位上的数相邻的两项的差是一个固定的数值。
(4)奇(偶)数位上的数是相同的倍数关系。
(5)前几项的和等于后一项。
(6)每个数分别是它所在的位置号平方或立方。
2.算式中的规律
在数学算式中探索规律,应认真观察算式的特点,再观察结果的特点,从而根据规律完成这一类题。
11×
11=121
111×
111=12321
1111×
1111=1234321
11111×
11111=123454321
3.图形中的规律
(1).找图形中的规律的方法与1.
(1)、
(2)的类型相似,只是将数转化为图形。
(2).在数图形的类型题目中,要按照一定的顺序去数,做到不遗漏,不重复。
数线段的一般公式是:
1+2+…+(n-1)(n为线段总端点数);
在数角、三角形、长方形等图形个数时,有时可以与数线段条数联系起来思考。
4.搭配中的规律
搭配问题的解题思路类似于乘法原理,即完成一件事分成若干步骤,每个步骤分别有N1,N2,N3,…种不同的方法,那么完成一件事共有N1×
N2×
N3…种不同的方法。
二、数学广角
数学广角中渗透了排列、组合、集合、等量替换、逻辑推理、统筹优化、数学编码、鸡兔同笼、抽屉原理等方面的数学思想方法。
在解决问题的过程中
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