教案数学最新初三+九年级下册5三角形的证明复习Word文档格式.docx
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(3)等腰三角形、、底边上的高互相重合(三线合一)。
2、等边三角形的性质和判定定理
性质定理:
等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于。
等边三角形的判定:
已知,如右图,等腰△ABC,AB=AC:
①若AB=BC,则△ABC为等边三角形;
②若∠A=,则△ABC为等边三角形;
③若∠B=,则△ABC为等边三角形.
3、直角三角形的有关性质定理
直角三角形的性质:
①两锐角;
②斜边上的中线等于
③30°
角所对的直角边等于;
④如果∠C=90°
,则三边关系为:
.
直角三角形的判定:
6.两锐角互余的三角形;
②一条边上的中线等于该边的一半的三角形;
7.如果a2+b2=c2,则∠C=90°
,此三角形为直角三角形
◆三、角平分线与中垂线
4、角平分线
(1)性质:
①角平分线上的点相等。
②三角形的三条角平分线,且到相等。
(2)判定:
到角的两边的点,在这个角的平分线上。
5、线段的垂直平分线
(1)定义:
一条线段的叫线段的垂直平分线。
①线段垂直平分线上一点相等。
②三角形三边的垂直平分线,且到相等。
(3)判定:
到一条线段两个端点的点,在这条线段的垂直平分线上。
二、典型例题
例题1:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE的值是?
例题2:
补全“求作∠AOB的平分线”的作法:
(1)在OA和OB上分别截取OD,OE,使 _________ ;
(2)分别以D,E为圆心,以 _________ 为半径画弧,两弧在∠AOB内交于点C;
(3)作 _________ .
∴OC就是∠AOB的角平分线.
例题3:
如图,已知MN∥BC.求作:
在MN上确定一点P,使点P到AB,BC的距离相等.
例题4:
如图,P是∠BAC内的一点,PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点E,F,AE=AF.
求证:
(1)PE=PF;
(2)点P在∠BAC的角平分线上.
例题5:
如图,E是线段AC上的一点,AB⊥EB于B,AD⊥ED于D,且∠1=∠2,CB=CD,求证:
∠3=∠4.
例题6:
如图,在△ABC中,BE⊥AC,AD⊥BC,AD,BE相交于点P,AE=BD,求证:
点P在∠ACB的角平分线上.
例题7:
如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中点,且DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,求证:
AD平分∠BAC.
例题8:
如图所示,∠BAC=90°
,AD⊥BC,垂足为D,BE平分∠ABC,交AC于E,交AD于F,试判断△AEF的形状,并说明理由.
例题9:
已知A(﹣1,﹣1),B(3,2),点P是坐标轴上一点,△ABP是等腰三角形,求P点坐标.
例题10:
定理证明:
等腰三角形“三线合一”.
(写出证明的已知,求证,证明过程。
)
例题11:
已知等腰三角形的底是7厘米,该底边的高是3.5厘米,请用尺规作图作出该等腰三角形。
例题12:
命题:
“对顶角相等”
判断该命题的是否正确,写出该命题的逆定理,并且判断该逆定理是真命题还是假命题。
证明定理:
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
(写出证明的已知,求证,证明过程。
用反证法证明:
一个三角形中至多有一个钝角。
三、强化练习(
挑战一下自己吧~)
一、选择题(共2小题,每小题3分,满分6分)
1.已知:
在△ABC中,∠A=60°
,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.
现有下面三种说法:
①如果添加条件“AB=AC”,那么△ABC是等边三角形;
②如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.
上述说法中,正确的说法有( )
A.2个B.1个C.0个
2.如图所示,在等边三角形ABC中,高AD、BE相交于点F,连接DE,则∠FED的度数是( )
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
二、填空题
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°
,DE=1,则BE的长是 _________ .
4.在三角形纸片ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,AC=3,折叠该纸片,使点A与点B重合,折痕与AB、AC分别相交于点D和点E(如图),折痕DE的长为 _________ .
三、解答题
5.已知:
如图,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F使AD=BE=CF.
△DEF是等边三角形.
6.已知:
如图,∠A=60°
,BD⊥AC,垂足为D,CE⊥AB,垂足为E,BD和CE交于点H,HD=1cm,HE=2cm,求:
BD,CE的长及△ABC的面积.
(
一日悟一理,日久而成学)
1、方法小结:
2、本节课我做的比较好的地方是:
三、我需要努力的地方是:
四、课后作业
◆◆请你先梳理本节课所学的知识点和基本考点,以及它们解决方法。
一、选择题
1.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为( )
A.12B.15C.12或15D.18
2.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,BD是AC边上的高,则∠DBC的度数是( )
A.18°
B.24°
C.30°
D.36°
3.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:
如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C作射线OC.由此做法得△MOC≌△NOC的依据是( )
A.AASB.SASC.ASAD.SSS
4.如图,△AEB、△AFC中,∠E=∠F,∠B=∠C,AE=AF,则下列结论错误的是( )
A.∠EAM=∠FANB.BE=CFC.△ACN≌△ABMD.CD=DN
5.已知一等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是( )
A.两条边长分别为4,5,它们的夹角为β
B.两个角是β,它们的夹边为4
C.三条边长分别是4,5,5
D.两条边长是5,一个角是β
6.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E在BC上,连接AD、AE,如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC,则添加的条件不能为( )
A.BD=CEB.AD=AEC.DA=DED.BE=CD
7.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=20°
,则∠C= _________ .
8.在等腰三角形中,马彪同学做了如下研究:
已知一个角是60°
,则另两个角是唯一确定的(60°
,60°
),已知一个角是90°
,则另两个角也是唯一确定的(45°
,45°
),已知一个角是120°
,则另两个角也是唯一确定的(30°
,30°
).由此马彪同学得出结论:
在等腰三角形中,已知一个角的度数,则另两个角的度数也是唯一确定的.马彪同学的结论是 _________ 的.(填“正确”或“错误”)
9.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长为 _________ .
10.如图,如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是 _________ .
11.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,作∠EAB=∠BAD,AE边交CB的延长线于点E,延长AD到点F,使AF=AE,连结CF.
BE=CF.
12.如图,△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D,AB=DC.
(1)求证:
△ABE≌DCE;
(2)当∠AEB=50°
,求∠EBC的度数?
13.在△ABC中,AB=AC,D是线段BC的延长线上一点,以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AE=AD,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图1,点D在线段BC的延长线上移动,若∠BAC=30°
,则∠DCE= _________ .
(2)设∠BAC=α,∠DCE=β:
①如图1,当点D在线段BC的延长线上移动时,α与β之间有什么数量关系?
请说明理由;
②当点D在直线BC上(不与B、C重合)移动时,α与β之间有什么数量关系?
请直接写出你的结论.
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