圆中常见的辅助线.docx
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圆中常见的辅助线.docx
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圆中常见的辅助线
圆中常见辅助线的做法
.遇到弦时(解决有关弦的问题时)
1.常常添加弦心距,或作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。
作用:
①利用垂径定理;
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
例:
如图,在以0为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证:
AC=BD
证明:
过0作0吐AB于E
•/0为圆心,0E±AB
•••AE=BECE=DE
•••AC=BD
练习:
如图,AB为O0的弦,P是AB上的一点,AB=10cm,PA=4cm.求O0的半径.
2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角
例:
如图,已知AB是O0的直径,MN分别是A0B0的中点,CMLAB,DN1AB,求证:
AcBd
(二)连结AC0C0DBD
•/MN分别是A0B0的中点
•AC=0CBD=0D
•/0C=0D•AC=BD•Ac?
d
3.有弦中点时常连弦心距
例:
如图,已知MN分别是OO的弦ABCD的中点,AB=CD,求证:
/AMN=/CNM证明:
连结OMON
•/O为圆心,MN分别是弦ABCD的中点
•••OMLABON丄CD
•/AB=CD•OM=ON
•••/OMN=/ONM
•••/AMN=90°—/OMN/CNM=90°—/ONM
•••/AMN=/CNM
4.证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距
例:
如图,已知OO与OQ为等圆,P为0、O的中点,过P的直线分别交OO、OQ于A、
CDB.求证:
AC=BD
证明:
过O作OM±AB于M,过Q作QN丄AB于N,贝UOM//O2N
OMOf
O2NOZp
•/OP=O2P•OM=O2N•AC=BD
二.有弧中点(或证明是弧中点)时,常有以下几种引辅助线的方法:
⑴连结过弧中点的半径⑵连结等弧所对的弦
⑶连结等弧所对的圆心角
•••c为弧ab的中点•Ab?
C
例:
如图,已知DE分别为半径OAOB的中点,C为弧AB的中点,求证:
CD=CE证明:
连结OC
•/AOC=/BOC
•/DE分别为OAOB的中点,且AO=BO
11
•OD=OE=AO=BO
22
又•••OC=OC
•••△ODC^AOEC
•CD=CE
三.有直径时常作直径所对的圆周角,再利用直径所对的圆周角为直角证题例:
如图,AB为OO的直径,AC为弦,P为AC延长线上一点,且AC=PC,PB的延长线交O
O于D,求证:
AC=DC
证明:
连结AD
•/AB为OO的直径
•/ADP=90°
•/AC=PC
1
•AC=CD=AP
例(2005年自贡市)如图2,P是OO的弦CB延长线上一点,点A在OO上,且
•••PA为OO的切线。
BAP
C。
求证:
PA是O
O的切线。
证明:
作OO的直径
AD,连
BD则
C
D,ABD
90
即DBAD90
CBAD
90
CPAB
BADPAB
90
即APAD
四.遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用:
利用圆周角的性质,可得到直径
练习:
如图,在Rt△ABC中,/BCA=90o,以BC为直径的OO交AB于E,D为AC中点,连
结BD交OO于F.求证:
BCCF
BEEF
五.有等弧时常作辅助线有以下几种:
⑴作等弧所对的弦
⑵作等弧所对的圆心角
⑶作等弧所对的圆周角
练习:
1.如图,OO的直径AB垂直于弦CD交点为E,F为DC延长线上一点,连结AF交OO于M.求证:
/AMD=ZFMC提示:
连结BM)
BD=CE,Z1=/2,求证:
AB=AC
2.如图,△ABC内接于OO,DE在BC边上,且
(提示如图)
B
1题图
C
2题图
6.有弦中点时,常构造三角形中位线
1
例:
已知,如图,在OO中,AB丄CDOELBC于E,求证:
0E=_AD
证明:
作直径CF,连结DFBF
•/CF为O0的直径
•••CDLFD
又•••CDLAB
•AB//DF
•AdBf
•AD=BF
•••OELBCO为圆心CO=FO
1
•CE=BE•OE=BF
2
1
•OE=AD
2
7.圆上有四点时,常构造圆内接四边形•
例:
如图,△ABC内接于OO,直线AD平分/
AB-AC=AD•AE
证明:
连结BE
•••/1=/3/2=/1
•/3=/2
•••四边形ACBE为圆内接四边形
•/ACD=/E
•△AB0AADC
•AEAB
ACAD
•AB-AC=AD•AE
8.两圆相交时,常连结两圆的公共弦例:
如图,OO与OQ相交于A、B,过A的直线分别交OO、OO于C、D,过B的直线分别
交OO、OQ于E、F.求证:
CE//DF证明:
连结AB
•••四边形为圆内接四边形
•/ABF=/C
同理可证:
/ABE=ZD
•••/ABF+ZABE=180
•/C+ZD=180
•CE//DF
九•在证明直线和圆相切时,常有以下两种引辅助线方法:
⑴当已知直线经过圆上的一点,那么连结这点和圆心,得到辅助半径,再证明所作半径与这条直线垂直即可•
⑵如果不知直线与圆是否有交点时,那么过圆心作直线的垂线段,再证明垂线段的长度等于半径的长即可•
例1如图,P为OO外一点,以0P为直径作圆交OO于AB两点,连结PAPB.
求证:
PAPB为O0的切线
证明:
连结0A
•/P0为直径
•••/PAO=90°•••OALPA
•••OA为OO的半径
•PA为OO的切线
同理:
PB也为OO的切线
CD是小
例2:
如图,同心圆O,大圆的弦AB=CD,且AB是小圆的切线,切点为E,求证:
圆的切线
证明:
连结OE过O作OFLCD于F
•/OE为半径,AB为小圆的切线
•OELAB
•OF丄CD,AB=CD
••OF=OE
•CD为小圆的切线
练习:
如图,等腰△ABC以腰AB为直径作OO交底边BC于P,PELAC于E,求证:
PE是OO的切线
十.当已知条件中有切线时,常作过切点的半径,禾U用切线的性质定理证题.
BD为直
例:
如图,在Rt△ABC中,/C=90°,AC=12,BC=9,D是AB上一点,以径的OO切AC于E,求AD长.
解:
连结OE贝UOELAC
•/BCLAC•OE//BC
•OEAO
1229215
"BCAB
在Rt△ABC中,AB=.AC2BC2
•OEABOB15OE
9AB15
练习:
如图,OO的半径OMOB点P在OB的延长线上,连结AP交OO于D,过D作OO的切线CE交OP于C,求证:
PC=CD
卜一•遇到两相交切线时(切线长)常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点
作用:
据切线长及其它性质,可得到:
1角、线段的等量关系;②垂直关系;③全等、相似三角形十二•遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。
作用:
利用内心的性质,可得:
1内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;
2内心到三角形三条边的距离相等。
在处理内心的问题时,常需连结顶点与内心,以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。
十三•遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点
作用:
外心到三角形各顶点的距离相等。
十四•遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)
常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线。
作用:
①利用切线的性质;②利用解直角三角形的有关知识。
十五.遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。
作用:
①利用连心线的性质、解直角三角形有关知识;
2利用圆内接四边形的性质;
3利用两圆公共的圆周的性质;垂径定理
1.作相交两圆的公共弦
禾U用圆内接四边形的性质或公共圆周角,沟通两圆的角的关系。
例1.如图1,0O和OQ相交于A、B两点,过A、B分别作直线CDEF,且CD//EF,与两圆相交于C、DE、F。
求证:
CE=DF
分析:
CE和DF分别是OO和OQ的两条弦,难以直接证明它们相等,但通过连结AB,
则可得圆内接四边形ABEC和ABFD利用圆内接四边形的性质,则易证明。
证明:
连结
AB
因为
DAB
E,
CAB
F
又
DAB
CAB
180
所以
E
F180
即
CE//DF
又CD//EF
所以四边形
CEFD为平行四边形
即CE=DF
2•作两相交圆的连心线
62和4、一3,公共弦长为12。
求
利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形,解决有关的计算问题。
例2.O0和OQ相交于AB两点,两圆的半径分别为
0
A02的度数。
或差来求解。
解:
当AB位于0、Q异侧时,如图2。
连结0、Q,交AB于C,则0Q2AB。
分别在RtA01C和RtA02C中,利用锐角
三角函数可求得O1AC45,O2AC30
故0小02O1ACO2AC75
当AB位于O、Q同侧时,如图3
F。
求证:
CE//DF.
连结AB,可得/D=ZCAB,由切线知/CABME,
分析:
由口诀“两个相交圆不离公共弦”
即/D=ZE即得证。
练习:
如图OO和OQ都经过AB两点。
经过点A的直线CD与OO交于点C,与OOE,与OO2交于点
例、如图8,在梯形ABC[中,以两腰ADBC分别为直径的两个圆相交于MN两点,过MN的直线与梯形上、下底交于E、F。
求证:
MN!
AB
分析:
因为MN是公共弦,若作辅助线OQ,
必有MNLOQ,再由0Q是梯形的中位线,得OQ//AB,从而易证
MNLAB
证明连结QQ交EF于G=>MNLQQ。
DQi=QA,CQ=QB=>QQ是梯形ABC啲中位线=>QQ//AB
=>/EFA玄EGORt/=>MNLAB
说明,由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。
十六.遇到两圆相切时
两个相切圆不离公切线
常常作连心线、公切线。
作用:
①利用连心线性质;
2弦切角性质;
3切线性质等。
例3.如图4,0Q和OQ外切于点P,A是OQ上的一点,直线AC切OQ于C,交OQ于B,直线AP交OQ于D。
求证PC平分BPD。
分析:
要证PC平分BPD,即证BPCDPC而BPC的边分布在两个圆中,难以直接证明。
若过P作两圆的公切线PT,与AC交于T
易知BPCTPBTPC由弦切角定理,得TPBA又DPC是APC的一个外角所以DPCAACP
又TPCACP
从而有BPCDPC
即PC平分BPD
例3:
已知,O0和OQ外切于A,直线BC切OQ于B,切O02于G求证:
AB丄AC(人教版课本P87例4)
分析1:
口诀“两个相切圆不离公切线”,过A作两圆的公切线,则/仁/2,/3=/4,
又/1+/2+/3+/4=180,则/2+/3=90即AB丄AC
分析2:
口诀“两圆三圆连心线”,连结OQ、OB、QC,则点A在OQ上,易知OB//QC,显然/1+/2=90,故AB丄AC
1.相切两圆常添公切线作辅助线.
例2如图2,已知OQ、OO外切于点P,A是OQ上一点,直线AC切OQ2于点C,交
OO—点B,直线AP交OQ于点D.
(1)求证:
PC平分/BPD;
(2)将“OO与OO外切于点P”
改为“OO、OQ内切于点P”其它条件不变,①中的结论是否仍然成立?
画出图形并证明
你的结论(武汉市中考题)
证明:
(1)过P点作两圆公切线PQ•••/QPC/PCQ,
/QPB/A,/CPD/A+/QCP
•••/CPD/CPB,即PC平分/BPD
(2)上述结论仍然成立.
如图3,过点P作两圆公切线PM则/MPB/A.
•/BPC玄MPC-/MPB/BCP-/A=/CPA,
说明:
作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角
2、遇到三个圆两两外切时两圆三圆连心线常常作每两个圆的连心线。
作用:
可利用连心线性质。
3.两圆三圆时常作连心线作为辅助线
例3如图4,施工工地水平地面上有三根外径都是1米的水泥管,两两外切堆放在一起
则最高点到地面距离是(辽宁省中考题).
解:
连OQ、QQ、QO,过O作A0丄QQ交OO于A,交QQ于B
二°"孚从而丄点距地面(f+1)米.
说明:
三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题
十七•遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。
作用:
以便利用圆的性质。
过小圆圆心作大圆半径的垂线
有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线,构造直角三角形。
例5.如图6,0O与OQ外切于点0,两外公切线PCD和PBA切OO、OQ于点C、DB
A,且其夹角为60,AB2,3,求两圆的半径。
图6
分析:
如图6,连结00、OAQB,过点0作02E01A,构造RtO1O2E,下面很
容易求出结果。
十八.相交两圆中至少有一个圆经过另一个圆的圆心,遇到这类
问题,常用的辅助线是连结过交点的半径
例10如图10,OO与OO相交于
AB两点,且Q在OO上,点P在OO上,
点Q在OO上,若/APB=40,求/AQB勺度数分析连结OA、QB,在OO中利用
图10
圆内接四边形性质求得/AOB=140,在。
Q中,
/AQB=1/2/AOB=70°。
切点三角形是直角三角形的应用
P,外公切线与两
例4如图5,OO与OQ外切于点C,OO与OO2连心线与公切线交于
圆切点分别为A、B,且A=4,BC=5.
(1)求线段AB长;
(2)证明:
PC=PA?
PB.(2002年杭州市中考题
(2)•••/ACB=90PCA+Z仁90°,/PBC+Z2=90°,
从而/PCA玄PBC.•••/P=ZP,PC"APBC•PC=PA?
PB
说明:
A、B、C为切点,故有切点三角形为直三角形的重要结论,应用此结论解题能到事半功倍效果•
辅助线,莫乱添,规律方法记心间;
弦和弦心距,亲密紧相连;
切点与圆心连线要领先;
两个相交圆不离公共弦;
两个相切圆不离公切线;
两圆三圆连心线,四点是否有共圆;
直角相对或共弦,应当想想辅助圆;
要证直线是切线,还看是否有共点;
直线和圆有共点,连出半径辅助线;
直线和圆无共点,得过圆心作垂线;
若遇直径想直角,灵活运用才方便。
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