北师大数学八年级上册第七章平行线的性质基础文档格式.docx
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要点三、平行线的性质与判定
(1)平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系.平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.
(2)应用平行线的判定和性质定理时,一定要弄清题设和结论,切莫混淆.
(3)平行线的判定与性质的联系与区别
区别:
性质由形到数,用于推导角的关系并计算;
判定由数到形,用于判定两直线平行.
联系:
性质与判定的已知和结论正好相反,都是角的关系与平行线相关.
(4)辅助线规律,经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线,构造出三类角.
【典型例题】
类型一、平行线的性质公理、定理的应用
1.如图所示,如果AB∥DF,DE∥BC,且∠1=65°
.那么你能说出∠2、∠3、∠4的度数吗?
为什么.
【思路点拨】本题已知条件中,包含了两个层次:
第一层次是由DE∥BC,可得∠1=∠4,∠1+∠2=180°
;
第二层次是由DF∥AB,可得∠3=∠2或∠3+∠4=180°
,从而解出∠2、
∠3、∠4的度数.
【答案与解析】
解:
∵DE∥BC,
∴∠4=∠1=65°
(两直线平行,内错角相等).
∠2+∠1=180°
(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠2=180°
-∠1=180°
-65°
=115°
.
又∵DF∥AB(已知),
∴∠3=∠2(两直线平行,同位角相等).
∴∠3=115°
(等量代换).
【总结升华】平行线的性质:
由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系.
举一反三:
【变式】
(2015•永州)如图,∠1=∠2,∠A=60°
,则∠ADC= 度.
【答案】解:
∵∠1=∠2,∴AB∥CD,
∴∠A+∠ADC=180°
,
∵∠A=60°
∴∠ADC=120°
.故答案为:
120°
2.如图,一条铁路修到一个村子边时,需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角∠A是105度,第二次拐的角∠B是135度,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?
【思路点拨】过点B作直线BE∥CD,用“两直线平行内错角相等”和“两直线平行同旁内角互补”解答.
解:
过点B作直线BE∥CD.
∵CD∥AF,
∴BE∥CD∥AF.
∴∠A=∠ABE=105°
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°
又∵BF∥CD,
∴∠CBE+∠C=180°
∴∠C=150°
【总结升华】此题是一道生活实际问题,根据题目信息,转化为关于平行线性质的数学问题.
3.已知,如图,AB∥CD,BE∥FD.
求证:
∠B+∠D=180°
【思路点拨】根据平行线的性质可得∠B=∠1,∠1+∠D=180°
,等量代换即可证明∠B+∠D=180°
证明:
∵AB∥CD(已知),
∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等).
∵BE∥FD(已知),
∴∠1+∠D=180°
∴∠B+∠D=180°
【总结升华】此题主要考查平行线的性质:
两直线平行,同旁内角互补;
两直线平行,内错角相等.
举一反三
【变式】如图,AB∥CD,CE平分∠ACD,若∠1=25°
,求∠2的度数.
【答案】
∵CE平分∠ACD,∠1=25°
∴∠ECD=∠1=25°
∵AB∥CD,
∴∠ECD+∠2=180°
∴∠2=180°
-∠ECD=155°
4.(2016春•秦皇岛期末)如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以说明.(适当添加辅助线,其实并不难)
【思路点拨】关键过转折点作出平行线,根据两直线平行,内错角相等,或结合三角形的外角性质求证即可.
【答案与解析】如图:
(1)∠APC=∠PAB+∠PCD;
过点P作PF∥AB,则AB∥CD∥PF,
∴∠APC=∠PAB+∠PCD(两直线平行,内错角相等).
(2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°
(3)∠APC=∠PAB﹣∠PCD;
(4)∵AB∥CD,
∴∠POB=∠PCD,
∵∠POB是△AOP的外角,
∴∠APC+∠PAB=∠POB,
∴∠APC=∠POB﹣∠PAB,
∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB.
【总结升华】两直线平行时,应该想到它们的性质,由两直线平行的关系得到角之间的数量关系,从而达到解决问题的目的.
5.如图
是大众汽车的标志图案,其中蕴涵着许多几何知识.根据下面的条件完成证明.
已知:
如图,BC∥AD,BE∥AF.
(1)求证:
∠A=∠B;
(2)若∠DOB=135°
,求∠A的度数.
【思路点拨】
(1)由平行线的性质(两直线平行,同位角相等)可得∠A=∠B.
(2)由平行线的性质(两直线平行,同旁内角互补)可得∠A=180°
-∠DOE.
(1)∵BC∥AD,
∴∠B=∠DOE,
又∵BE∥AF,
∴∠DOE=∠A,
∴∠A=∠B.
(2)∵∠DOB=∠EOA,由BE∥AF,得∠EOA+∠A=180°
又∠DOB=135°
∴∠A=45°
【总结升华】本题考查的是平行线的性质,主要是考查学生把实际问题转化成数学问题的能力,要结合实际图象画出数学图形,再运用平行线的性质来解决.
【变式】已知:
如图,BD∥AF∥CE,∠ABD=60°
,∠ACE=36°
,AP是∠BAF的平分线,求∠PAC的度数.
∵BD∥AF,∠ABD=60°
∴∠BAF=∠ABD=60°
∵AP平分∠BAF,
∴∠PAF=
∠BAF=30°
又∵AF∥CE,∠ACE=36°
∴∠CAF=∠ACE=36°
∴∠PAC=∠PAF+∠CAF=30°
+36°
=66°
类型二、平行的性质与判定综合应用
6、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=()
A.180°
B.270°
C.360°
D.540°
【答案】C
【解析】过点C作CD∥AB,
∵CD∥AB,
∴∠BAC+∠ACD=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
又∵EF∥AB
∴EF∥CD.
∴∠DCE+∠CEF=180°
又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE
∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°
+180°
=360°
【总结升华】这是平行线性质与平行公理的综合应用,利用“两直线平行,同旁内角互补,”可以得到∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°
【巩固练习】
一、选择题
1.下列说法:
①两直线平行,同旁内角互补;
②内错角相等,两直线平行;
③同位角相等,两直线平行;
④垂直于同一条直线的两条直线平行,其中是平行线的性质的是()
A.①B.②和③C.④D.①和④
2.(2015•泰安)如图,AB∥CD,∠1=58°
,FG平分∠EFD,则∠FGB的度数等于( )
A.122°
B.151°
C.116°
D.97°
3.下列图形中,由AB∥CD,能得到∠1=∠2的是()
4.(2016•陕西一模)直线a、b、c、d的位置如图,如果∠1=100°
,∠2=100°
,∠3=125°
,那么∠4等于( )
A.80°
B.65°
C.60°
D.55°
5.如图所示,已知AD与BC相交于点O,CD∥OE∥AB.如果∠B=40°
,∠D=30°
,则∠AOC的大小为()
A.60°
B.70°
C.80°
D.120°
6.如图所示,直线l1//l2,∠1=40°
,∠2=75°
,则∠3等于()
A.55°
B.30°
C.65°
D.70°
二、填空题
7.如图,一个含有30°
角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上,若∠1=25°
,则∠2=_______.
8.如图,点B,C,E,F在一直线上,AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°
,则∠D=________度.
9.如图所示,已知CD平分∠ACB,DE∥AC,∠1=30°
,则∠2=______度.
10.(2015•云南)如图,直线l1∥l2,并且被直线l3,l4所截,则∠α= .
11.(2016春•冷水江市期末)如图,下列推理是否正确,请写出你认为是正确推理的编号 .
①因为AB∥DC,所以∠ABC+∠C=180°
②因为∠1=∠2,所以AD∥BC
③因为AD∥BC,所以∠3=∠4
④因为∠A+∠ADC=180°
,所以AB∥DC.
12.如图所示,AB∥CD,且∠BAP=60°
-a,∠APC=45°
+a,∠PCD=30°
-a,则a=________.
三.解答题
13.如图,已知AB∥CD,MG、NH分别平分∠BMN与∠CNM,试说明NH∥MG?
14.如图,a∥b∥c,∠1=60°
,∠2=36°
,AP平分∠BAC,求∠PAQ的度数.
15.(2015春•晋安)如图,直线CB∥OA,∠C=∠OAB=100°
,E、F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF
(1)求∠EOB的度数;
(2)若平行移动AB,那么∠OBC:
∠OFC的值是否随之发生变化?
若变化,找出变化规律或求出变化范围;
若不变,求出这个比值.
(3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?
若存在,求出其度数;
若不存在,说明理由.
一.选择题
1.【答案】A;
【解析】两直线平行
角的关系.
2.【答案】B;
【解析】∵AB∥CD,∠1=58°
,∴∠EFD=∠1=58°
∵FG平分∠EFD,∴∠GFD=
∠EFD=
×
58°
=29°
∵AB∥CD,∴∠FGB=180°
﹣∠GFD=151°
.故选B.
3.【答案】B;
【解析】∠2与∠1的对顶角是同位角的关系.
4.【答案】D;
【解析】∵∠1=100°
,∴∠1=∠2,∴直线a∥直线b,∴∠4=∠5,
∵∠3=125°
,∴∠4=∠5=180°
﹣∠3=55°
,故选D.
5.【答案】B
【解析】注意到CD∥OE∥AB,由“两直线平行,同位角相等”可知∠AOE=∠D=
30°
,∠EOC=∠B=40°
.故∠AOC=∠EOC+∠AOE=40°
+30°
=70°
6.【答案】C;
【解析】∠3=180°
-40°
-75°
=65°
7.【答案】115°
【解析】∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°
故答案为:
115°
8.【答案】36°
【解析】∵AB∥DC,DE∥GF,∠B=∠F=72°
∴∠DCE=∠B=72°
,∠DEC=∠F=72°
在△CDE中,∠D=180°
-∠DCE-∠DEC=180°
-72°
=36°
36.
9.【答案】60;
【解析】由已知得:
∠2=2∠1=60°
10.【答案】64°
【解析】由已知可得:
AD∥BC,由平行的性质可得:
∠D+∠C=180°
如图,
∵∠1+56°
=120°
∴∠1=120°
﹣56°
=64°
又∵直线l1∥l2,
∴∠α=∠1=64°
64°
11.【答案】①②④
【解析】①∵AB∥DC,∴∠ABC+∠C=180°
,此结论正确;
②∵∠1=∠2,∴AD∥BC,此结论正确;
③∵AD∥BC,∴∠1=∠2,而∠3≠∠4,此结论错误,
④∵∠A+∠ADC=180°
,∴AB∥DC,此结论正确.故答案为①②④.
12.【答案】15°
【解析】由图可知:
∠APC=∠BAP+∠PCD,即有45°
+a=60°
-a+30°
-a,
解得:
a=15°
三、解答题
13.【解析】
∵AB∥CD(已知),∴∠BMN=∠MNC(两直线平行,内错角相等).
∵MG、NH分别平分∠BMN、∠CNM(已知).
∴∠MNH=
∠MNC,∠NMG=
∠BMN(角平分线定义).
∴∠MNH=∠NMG,∴NH∥MG(内错角相等,两直线平行).
14.【解析】
∵a∥b∥c,
∴∠BAQ=∠1=60°
,∠CAQ=∠2=36°
,∠BAC=60°
=96°
又AP平分∠BAC,∠BAP=
96°
=48°
∴∠PAQ=∠BAQ-∠BAP=60°
-48°
=12°
15.【解析】
(1)∵CB∥OA,
∴∠AOC=180°
﹣∠C=180°
﹣100°
=80°
∵OE平分∠COF,
∴∠COE=∠EOF,
∵∠FOB=∠AOB,
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=
∠AOC=
80°
=40°
(2)∵CB∥OA,
∴∠AOB=∠OBC,
∴∠FOB=∠OBC,
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC,
∴∠OBC:
∠OFC=1:
2,是定值;
(3)在△COE和△AOB中,
∵∠OEC=∠OBA,∠C=∠OAB,
∴∠COE=∠AOB,
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线,
∴∠COE=
=20°
∴∠OEC=180°
﹣∠C﹣∠COE=180°
﹣20°
=60°
故存在某种情况,使∠OEC=∠OBA,此时∠OEC=∠OBA=60°
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