6 导数的热点问题.docx
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6导数的热点问题
第讲导数的热点问题
【课前小测】
(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)=alnx+
x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为0.
(1)求b;
(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<
,求a的取值范围.
【考点1】利用导数证明不等式
用导数证明不等式是导数的应用之一,可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值,以及构造函数解题的能力.
例1 已知函数f(x)=-lnx+x-3.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)证明:
在(1,+∞)上,f(x)+2>0;
(3)求证:
×
×
×…×
<
(n≥2,n∈N*).
练1 已知函数f(x)=alnx+bx(a,b∈R)在点(1,f
(1))处的切线方程为x-2y-2=0.
(1)求a,b的值;
(2)当x>1时,f(x)+
<0恒成立,求实数k的取值范围.
【考点2】利用导数讨论方程根的个数
方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的走势,通过数形结合思想直观求解.
例2 (2014·陕西)设函数f(x)=lnx+
,m∈R.
(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的极小值;
(2)讨论函数g(x)=f′(x)-
零点的个数.
练2 已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).若函数f(x)无零点,求实数a的取值范围.
【考点3】利用导数解决生活中的优化问题
生活中的实际问题受某些主要变量的制约,解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变量找出来,建立目标问题即关于这个变量的函数,然后通过研究这个函数的性质,从而找到变量在什么情况下可以达到目标最优.
例3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
练3 将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记s=
,则s的最小值是________.
【巩固练习】
已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],g(x)=
,其中e是自然常数,a∈R.
(1)讨论a=1时,函数f(x)的单调性和极值;
(2)求证:
在
(1)的条件下,f(x)>g(x)+
;
(3)是否存在正实数a,使f(x)的最小值是3?
若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【课后作业】
1.已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是( )
A.0B.1
C.2D.3
2.已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)·f′(x)>0的解集为( )
A.(-∞,-2)∪(1,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,2)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)
3.若不等式2xlnx≥-x2+ax-3恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,0)B.(-∞,4]
C.(0,+∞)D.[4,+∞)
4.如果函数f(x)=ax2+bx+clnx(a,b,c为常数,a>0)在区间(0,1)和(2,+∞)上均单调递增,在(1,2)上单调递减,则函数f(x)的零点个数为( )
A.0B.1
C.2D.3
5.(2014·陕西)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A.y=
x3-
xB.y=
x3-
x
C.y=
x3-xD.y=-
x3+
x
6.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是__________.
7.已知函数f(x)=-
x2+4x-3lnx在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是____________.
8.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a
①f(0)f
(1)>0;②f(0)f
(1)<0;
③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________.
9.已知函数f(x)=
+
,曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为x+2y-3=0.
(1)求a,b的值;
(2)证明:
当x>0,且x≠1时,f(x)>
.
10.已知函数f(x)=2lnx-x2+ax(a∈R).
(1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1处的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax+m在[
,e]上有两个零点,求实数m的取值范围.
11.对于R上可导的任意函数f(x),若满足
≤0,则必有( )
A.f(0)+f
(2)>2f
(1)B.f(0)+f
(2)≤2f
(1)
C.f(0)+f
(2)<2f
(1)D.f(0)+f
(2)≥2f
(1)
12.已知f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若∃x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的取值范围是______________.
13.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销售量Q(单位:
件)与零售价P(单位:
元)有如下关系:
Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为__________元.(毛利润=销售收入-进货支出)
14.设函数f(x)=ax+2,g(x)=a2x2-lnx+2,其中a∈R,x>0.
(1)若a=2,求曲线y=g(x)在点(1,g
(1))处的切线方程;
(2)是否存在负数a,使f(x)≤g(x)对一切正数x都成立?
若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
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