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目标规划数值拟合
价格波动市场需求
生产能力正态随机分布
1、问题重述
某市某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供A万,B万,C万,D万台同一规格的柴油机。
已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如表1所示,如果生产出的产品当季不交货,每万台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元。
表1:
生产成本表
第一季度A
第二季度B
第三季度C
第四季度D
生产能力(万台)
25
35
30
10
需求(万台)
15
20
每万台耗0号柴油(升)
1000
800
其他成本(万元/万台)
13
12
1.不考虑柴油价格波动,若2011年,按合同规定须于当年每个季度末分别按照需求提供10万,15万,25万,20万台同一规格的柴油机。
建立一个数学模型,要求在完成合同的情况下,使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小。
2.考虑柴油价格波动的实际情况,具体数据见表2,重新对问题1建立数学模型,要求在完成合同的情况下,使该厂全年生产(包括储存、维护)费用最小。
3.若根据以往经验,由于市场需求的变化,各季度需求是正态随机变量,若第一季度需求服从
,第二季度需求服从
,第三季度需求服从
,第四季度需求服从
,请在此假设下,不考虑柴油价格,可以容忍2.5%的缺货的概率情况下,对该厂的2012年生产计划作出安排。
4.收集近几年的0号柴油价格波动数据,不考虑柴油价格对其他成本的影响,对2012年的柴油价格作预测,并以此来对问题3作出计划安排。
(注:
数据可上网站
5.若考虑到柴油价格对其他成本的影响,请收集柴油价格与物流价格的数据(可以不局限于该市),建立柴油价格变动幅度与物流价格波动幅度之间的数
学模型,若其他成本中有25%是物流成本,在此假设下分别重新考虑问题1-3。
二、问题分析
问题1:
由题设分析可知,此问题为最优化问题。
由于此问不考虑柴油价格波动变化,故用收集到的柴油价格全年平均值、题设数据和相关约束条件建立最优化模型根据目标函数,利用lingo求解。
问题2:
问题2考虑了柴油价格的波动,可以沿用问题1的数学模型,只是在求解过程中将柴油的价格波动在数据中体现出来。
问题3:
在不考虑油价波动及允许2.5%概率缺货下,根据每个季度都服从相应的正态分布,求出市场需求量,在问题1的基础上改变目标函数和约束条件,对模型进行求解。
问题5:
考虑到汽油价格对其他成本的影响,而其他成本中有25%是物流成本,收集汽油价格与物流价格的数据,发现汽油价格变动与物流价格波动呈正相关,在此条件下分别考虑问题1—3,制定了合理的生产计划。
3、模型假设
1、工厂去年没有存货;
2、工厂每季度生产的产品的合格率保持稳定;
3、工厂在生产过程中,生产能力不受季节、天气等环境因素的影响只取决于工时。
4、工厂的员工能按时(不允许请假,迟到或早退)上班;
5、每万台每积压一个季度需储存、维护等费用保持不变;
6、积压下来的机器各方面性能保持完好,不影响出售。
7、所找的数据准确、有效。
8、假设柴油的密度为0.84千克/升,
9、假设不考虑价格波动的情况下柴油价格为7元/升。
4、符号说明
X
(i=1、2、3、4)表示第i季度的计划生产量(万台),
C
(i=1、2、3、4)表示第i季度该厂的生产能力(万台),
S
(i=1、2、3、4)表示第i季度的耗油量(升),
P
(i=1、2、3、4)表示第i季度的柴油价格(元/升),
A
(i=1、2、3、4)表示第i季度的需求量(万台),
T
(i=1、2、3、4)表示第i季度的其他成本(万元/万台),
L
(i=1、2、3、4)表示第i季度的剩余量(万台)。
五、模型建立与求解
在不考虑油价波动,仅要求在完成合同的情况下,使该厂的全年生产费用最低,利用目标规划得到最优分配生产方案。
模型的建立:
目标函数:
约束条件:
其中
通过Lingo软件进行模型求解(程序见附录),得到如下结果:
所以,问题1的最优解,即最优年生产计划为:
全年四个季度依次生产产品:
10,20,30,10万台;
此时全年生产费用为874.25万元。
考虑柴油价格波动的实际情况,数据如下表,求该厂的全年生产费用最低,利用目标规划得到最优分配生产方案。
表2:
2011年柴油价格表
柴油型号
单位(元/吨)
时间
0#
7480
2011.1.30
7850
2011.2.15
2011.2.28
7750
2011.3.15
7800
2011.3.30
8250
2011.4.15
8380
2011.4.30
8410
2011.5.15
8120
2011.6.30
8100
2011.7.15
8050
2011.7.27
7150
2011.8.15
2011.8.30
7180
2011.9.15
7600
2011.9.29
7550
2011.10.14
2011.10.28
2011.11.15
8450
2011.12.1
模型建立:
由上表分别计算出每个季度的平均柴油价格分别是:
=6.49(元/升)P
=6.96(元/升)P
=6.40(元/升)P
=6.66(元/升)
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
871.8960
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X110.000000.000000
X220.000000.000000
X330.000000.000000
X410.000000.000000
所以,问题2的最优解,即最优年生产计划为:
全年四个季度依次生产产品:
此时全年生产费用为871.8960万元,这说明价格波动不大时对生产计划没有很大的影响。
在不考虑柴油价格的波动,可以容忍2.5%的缺货的概率情况下,根据市场需求服从正态分布,求出市场需求,再利用目标函数,对2012年进行计划生产。
1、利用
=1-2.5%,求出各个季度的市场需求量,得到四个季度的需求量分别
万台。
2、目标函数:
Globaloptimalsolutionfound.
1187.219
0
X113.572000.000000
X220.706000.000000
X334.452000.000000
X428.014000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
11187.219-1.000000
23.2560000.000000
30.000000-1.290000
40.000000-0.1500000
50.000000-2.010000
60.000000-10.85000
720.706000.000000
834.452000.000000
928.014000.000000
所以,问题3的最优解,即最优年生产计划为:
2012的第一季度计划生产为13.572万台,第二季度计划生产20.706万台,第三季度计划生产34.452万台,第四季度计划生产28.014万台,得到的全年的生产费用最少,且为1187.219万元
问题4:
收集近几年的柴油价格,根据数据利用matlab软件对2012年的柴油价格进行预测,并用问题3的模型对2012年进行生产计划安排。
2009年的柴油价格如下表:
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
8月
9月
10月
11月
12月
4.032
3.906
4.536
4.788
5.124
4.956
4.796
4.872
5.166
2010年的柴油价格如下表:
5.208
5.334
5.485
5.628
5.771
5.586
5.561
5.603
5.754
6.409
6.510
2011年的柴油价格如下表:
6.342
6.426
6.552
7.056
7.014
6.972
6.93
6.804
7.241
7.308
根据2009、2010、2011三年的油价变动数据,用matlab进行插值拟合
作2009、2010、2011三年油价的散点图(1-12、13-24、25-36、37-48分别表示2009、2010、2011、2012年1-12月)
结果:
yi=
Columns1through7
7.49307.58547.67787.77027.86277.95518.0475
Columns8through12
8.13998.23248.32488.41728.5096
得到如图:
所以对2012年的预测如下
价格
7.4930
7.5854
7.6778
7.7702
7.8627
7.9551
8.0475
8.1399
8.2324
8.3248
8.4172
8.5096
根据上述数据计算出每个季度的平均值,分别为7.5857.6838.1408.4172(单位:
元/升),利用问题3的模型得到:
1196.257
所以,2012的第一季度计划生产为13.572万台,第二季度计划生产20.706万台,第三季度计划生产34.452万台,第四季度计划生产28.014万台,得到的全年的生产费用最少,且为1196.257万元
问题5:
收集近几年的柴油价格和物流价格,利用Matlab软件,进行数值拟合
求出柴油价格和物流价格的关系,在此基础上对1到3问题重新考虑。
近几年的柴油价格及物流价格如下表:
年份
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
2011年
柴油价格
3.76
4.15
4.602
4.684
5.323
6.886
物流价格
7
8
9
11
通过Matlab拟合散点图:
程序如下:
clc;
clear;
closeall;
x=[3.764.154.6024.6845.3236.886];
y=[789101011];
plot(x,y,'
*'
)
得到的散点图:
由散点图知油价的上涨导致物流价格的上涨,而它们的波动幅度也具有很大的相关性。
通过最小二乘法拟合出油价与物流的函数;
Matlab程序:
x=[3.7604.1504.6024.6845.3236.886]'
;
y=[789101011]'
r=[ones(6,1),x];
ab=lsqlin(r,y)
x0=3.760:
0.150:
6.886;
y0=ab
(1)+ab
(2)*x0;
x0,y0,'
g'
得到的结果及拟合的图形如下:
ab=3.39511.1777
所以,得到柴油价格和物流价格的关系为:
y=1.1777x+3.3951(y:
物流价格,x:
柴油价格)
根据物流价格和柴油价格的关系问题1-3进行重新考虑:
对问题1:
模型不变,只是改变其他成本的价格。
利用lingo求解(程序见附录),得到的结果如下:
9937.400
所以,最优解,即最优年生产计划为:
此时全年生产费用为9937.400
万元,这说明价格波动不大时对生产计划没有很大的影响。
对问题2:
9445.988
X125.000000.000000
X25.0000000.000000
25,5,30,10万台;
此时全年生产费用为
9445.988万元,这说明价格波动不大时对生产计划没有很大的影响。
对问题3:
13327.64
13.572,20.706,34.452,28.014万台;
此时全年生产费用为13327.64万元,这说明价格波动不大时对生产计划没有很大的影响。
6、模型的评价及改进
6.1模型评价
(1)在我们合理的假设下使得问题得以解决。
(2)能对短期几年的生产做出计划。
(3)由于所找数据太少以致在统计数据时不是很准确,又由于计算机模拟带有一定的随机性,以致得到模型的结果不能很好。
6.2模型改进
(1)查询更多的数据,使得拟合结果更能符合现实。
(2)建立动态规划模型。
使所建模型能准确的对之后几年的生产做出计划。
七、参考文献
[1]姜启源谢金星叶俊数学模型(第三版),北京:
高等教育出版社,2003.
[2]费浦生羿旭明数学建模及其基础知识详解,武汉:
武汉大学出版社,2006.
[3]魏宗舒概率论与数理统计教程,高等教育出版社,2008.4.
[4]
[5]XX文库
附录:
min=(0.7+13.6)*x1+(0.56+12.45)*x2+(0.56+12.3)*x3+(0.7+10.15)*x4-23.25;
x1>
=10;
x1+x2>
=25;
x1+x2+x3>
=50;
x1+x2+x3+x4>
=70;
x1<
x2<
=35;
x3<
=30;
x4<
x2>
=0;
x3>
x4>
end
min=(0.1*6.49+13.6)*x1+(0.08*6.96+12.45)*x2+(0.08*6.40+12.3)*x3+(0.1*6.66+10.15)*x4-23.25;
x1+x2>
x1+x2+x3>
x1+x2+x3+x4>
x1<
x2<
x3<
x4<
x1>
x2>
x3>
x4>
min=(0.1*7+13.6)*x1+(0.08*7+12.45)*x2+(0.08*7+12.3)*x3+(0.1*7+10.15)*x4-23.25;
x1+x2+x3+x4<
=100;
=(1-0.025)*13.92;
=(1-0.025)*20.88+13.92;
=(1-0.025)*34.8+20.88+13.92;
=(1-0.025)*27.84+34.8+20.88+13.92;
(1)、clc;
i=37:
1:
48;
x0=[1:
36];
y0=[4.0323.9063.9064.5364.7885.1244.9564.9564.7964.8725.1665.1665.2085.3345.4855.6285.7715.5865.5615.6035.7546.4096.516.516.3426.4266.5527.0567.0146.9726.936.8046.937.0567.2417.308];
plot(x0,y0,'
r.'
);
title('
近几年的油价散点图'
xlabel('
年份'
ylabel('
元/升'
a=polyfit(x0,y0,1);
yi=polyval(a,i)
(2)、
由问题是对问题3考虑:
min=(0.1*7.585+13.6)*x1+(0.08*7.683+12.45)*x2+(0.08*8.140+12.3)*x3+(0.1*8.4172+10.15)*x4-23.25;
y0=ab
(1)
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