构造函数--之专题训练Word文档下载推荐.docx
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B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(0,1)
8.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x),当x≠0时,f′(x)+f(x)x>0,若a=13f(13),b=-3f(-3),c=(ln13)f(ln13),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<c<a
D.c<a<b
9.已知函数f(x)(x∈R)满足f
(1)=1,且f′(x)<1,则不等式f(1g2x)<1g2x的解集为( )
A.(0,110)
B.(10,+∞)
C.(110,10)
D.(0,110)∪(10,+∞)
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)<e,f(0)=e+2(其中e为自然对数的底数),则不等式exf(x)>ex+1+2的解集为( )
A.(-∞,0)
B.(-∞,e+2)
C.(-∞,0)∪(e+2,+∞)
D.(0,+∞)
11.设函数f(x)的导函数为f′(x),对任意x∈R都有xf′(x)<f(x)成立,则( )
A.3f
(2)>2f(3)
B.3f
(2)=2f(3)
C.3f
(2)<2f(3)
D.3f
(2)与2f(3)的大小不确定.
12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,f′(x)为其导函数,若对于任意实数,都有f(x)>f′(x),其中e为自然对数的底数,则( )
A.ef(2015)>f(2016)B.ef(2015)<f(2016)
C.ef(2015)=f(2016)D.ef(2015)与f(2016)大小关系不确定
13.设函数f′(x)的偶函数f(x)(x∈R且x≠0)的导函数,f
(2)=0且当x>0时,xf′(x)-f(x)>0,则使f(x)<0成立的x的取值范围为( )
A.(-∞,-2)∪(0,2)
C.(-2,0)∪(2,+∞)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
14.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f
(2)<2f
(1)
B.f(0)+f
(2)≤2f
(1)
C.f(0)+f
(2)≥2f
(1)
D.f(0)+f
(2)>2f
(1)
15.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2015,对任意的x∈R.都有f′(x)<3x2成立,则不等式f(x)<x3+2016的解集为( )
A.(-1,+∞)
B.(-1,0)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,+∞)
16.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象过点(1,0),f′(x)为函数f(x)的导函数,e为自然对数的底数,若x>0,xf′(x)>1下恒成立,则不等式f(x)≤lnx的解集为( )
A.(0,1e]
B.(0,1]
C.(0,e]
D.(1,e]
17.已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x),其导函数为f′(x),对任意正实数x满足xf′(x)>-2f(x),若g(x)=x2f(x),则不等式g(x)<g(1-x)的解集是( )
A.(12,+∞)
B.(-∞,12)
C.(-∞,0)∪(0,12)
D.(0,12)
18.已知函数y=f(x)定义在实数集R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时xf′(x)<-f(x)成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=3f(3),b=f
(1),c=-2f(log214),则a,b,c的大小关系是( )
A.c>a>b
B.c>b>a
C.a>b>c
D.a>c>b
19.定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则( )
A.8<f
(2)f
(1)<16
B.4<f
(2)f
(1)<8
C.3<f
(2)f
(1)<4
D.2<f
(2)f
(1)<3
20.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f′(x)>f(x),则下列结论正确的是( )
A.f
(1)>ef(0)
B.f
(1)<ef(0)
C.f
(1)>f(0)
D.f
(1)<f(0)
21.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)=-1,且当x>0时,有xf′(x)>f(x),则不等式f(x)>x的解集是( )
A.(-1,0)
B.(1,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
1.B
2.A
3.B
4.C
5.B
6.A
7.D
8.B
9.D
10.A
11.A
12.A
13.B
14.C
15.A
16.B
17.C
18.A
19.B
20.A
21.C
答案和解析
【答案】1.B
【解析】
1.解:
令g(x)=f(x)x2,x∈(0,+∞),g′(x)=xf'
(x)-2f(x)x3,
∵∀x∈(0,+∞),2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,
∴f(x)>0,
0<xf'
∴g′(x)>0,
∴函数g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增,
∴f
(1)1<f
(2)4,∴f
(1)f
(2)<14.
令h(x)=f(x)x3,x∈(0,+∞),
h′(x)=xf'
(x)-3f(x)x4,
∴h′(x)=xf'
(x)-3f(x)x4<0,
∴函数h(x)在x∈(0,+∞)上单调递减,
∴f
(1)1>f
(2)8,∴18<f
(1)f
(2).
综上可得:
18<f
(1)f
(2)<14,
故选:
B.
分别构造函数g(x)=f(x)x2,x∈(0,+∞),h(x)=f(x)x3,x∈(0,+∞),利用导数研究其单调性即可得出.
本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2.解:
∵f(x)+2f′(x)>0,
可设f(x)=e12x,
∴f
(1)=e,f(0)=e0=1,
∴f
(1)>f(0)e,
A.
根据题意可设f(x)=e12x,然后代入计算判断即可.
本题主要考查了初等函数的导数运算公式,关键是构造函数,属于基础题.
3.解:
由题意,(f(x)ex)′=2x,
∴f(x)ex=x2+b,
∴f(x)=(x2+b)ex,
∵f(0)=1,∴b=1,
∴f(x)=(x2+1)ex,
f′(x)=(x+1)2ex,
∴当x>0时,f'
(x)f(x)=1+2xx2+1≤2,当且仅当x=1时取等号,
(x)f(x)的最大值为2.
利用函数f(x)满足f′(x)-f(x)=2xex,f(0)=1,求出f(x),再代入利用基本不等式即可得出结论.
本题考查导数知识的运用,考查基本不等式,考查学生的计算能力,确定f(x)是关键.
4.解:
∵定义在R上的函数y=f(x)满足f(x)=f(4-x),
∴函数f(x)关于x=2对称,
由f′(x)>12xf′(x),
得(x-2)f′(x)<0,
则x>2时,f′(x)<0,此时函数单调递减,
当x<2时,f′(x)>0,此时函数单调递增.
∴当x=2时,f(x)取得极大值,同时也是最大值.
若a∈(2,3),
则4<2a<8,1<log2a<2,
∴2<4-log2a<3,
∴2<4-log2a<2a,
即f
(2)>f(4-log2a)>f(2a),
即f(2a)<f(log2a)<f
(2),
C
根据条件得到函数关于x=2对称,由f′(x)>12xf′(x),得到函数的单调性,利用函数的单调性和对称轴即可得到结论.
本题主要考查函数单调性和对称性的应用,利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键,综合考查函数性质的应用.
5.解:
设g(x)=f(x)x,f(x)是R上的奇函数,∴g(x)为偶函数;
x>0时,g'
(x)=xf'
(x)-f(x)x2<0;
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,g
(2)=0;
∴由g(x)>0得,g(x)>g
(2);
∴g(|x|)>g
(2);
∴|x|<2,且x≠0;
∴-2<x<0,或0<x<2;
∴f(x)x>0的解集为(-2,0)∪(0,2).
可设g(x)=f(x)x,根据条件可以判断g(x)为偶函数,并可得到x>0时,g′(x)<0,从而得出g(x)在(0,+∞)上单调递减,并且g
(2)=0,从而由g(x)>g
(2)便可得到|x|<2,且x≠0,这样即可得出原不等式的解集.
考查奇函数、偶函数的定义,根据导数符号判断函数单调性的方法,根据函数单调性解不等式的方法,知道偶函数g(x)>g
(2)等价于g(|x|)>g
(2).
6.解:
设g(x)=f(x)x,则g′(x)=xf'
(x)-f(x)x2,
∵当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,
∴当x>0时,g′(x)<0,此时函数g(x)为减函数,
∵f(x)是奇函数,∴g(x)=f(x)x是偶函数,
即当x<0时,g(x)为增函数.
∵f(-1)=0,∴g(-1)=g
(1)=0,
当x>0时,f(x)<0等价为g(x)=f(x)x<0,即g(x)<g
(1),此时x>1,
当x<0时,f(x)<0等价为g(x)=f(x)x>0,即g(x)>g(-1),此时-1<x<0,
综上不等式的解集为(-1,0)∪(1,+∞),
A
根据条件构造函数g(x)=f(x)x,求函数的导数,判断函数的单调性和奇偶性,将不等式进行转化求解即可.
本题主要考查不等式的求解,根据条件构造函数,利用导数研究函数的单调性,以及将不等式进行转化是解决本题的关键.
7.解:
根据题意,设函数g(x)=f(x)x2,
当x>0时,g'
(x)=f'
(x)⋅x-2⋅f(x)x3<0,
所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,
又f(x)为偶函数,
所以g(x)为偶函数,
又f
(1)=0,所以g
(1)=0,
故g(x)在(-1,0)∪(0,1)的函数值大于零,
即f(x)在(-1,0)∪(0,1)的函数值大于零.
D.
构造函数设函数g(x)=f(x)x2,利用导数得到,g(x)在(0,+∞)是增函数,再根据f(x)为偶函数,根据f
(1)=0,解得f(x)>0的解集.
本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性,考查了构造函数及数形结合的思想.解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决.
8.解:
定义域为R的奇函数y=f(x),
设F(x)=xf(x),
∴F(x)为R上的偶函数,
∴F′(x)=f(x)+xf′(x)
∵当x≠0时,f′(x)+f(x)x>0.
∴当x>0时,x•f′(x)+f(x)>0,
当x<0时,x•f′(x)+f(x)<0,
即F(x)在(0,+∞)单调递增,在(-∞,0)单调递减.
F(13)=a=13f(13)=F(ln3e),F(-3)=b=-3f(-3)=F(3),F(ln13)=c=(ln13)f(ln13)=F(ln3),
∵ln3e<ln3<3,
∴F(ln3e)<F(ln3)<F(3).
即a<c<b,
根据式子得出F(x)=xf(x)为R上的偶函数,利用f′(x)+f(x)x>0.当x>0时,x•f′(x)+f(x)>0;
当x<0时,x•f′(x)+f(x)<0,判断单调性即可证明a,b,c的大小.
本题考查了导数在函数单调性的运用,根据给出的式子,得出需要的函数,运用导数判断即可,属于中档题.
9.解:
设g(x)=f(x)-x,
则函数的导数g′(x)=f′(x)-1,
∵f′(x)<1,
∴g′(x)<0,
即函数g(x)为减函数,
∵f
(1)=1,
∴g
(1)=f
(1)-1=1-1=0,
则不等式g(x)<0等价为g(x)<g
(1),
则不等式的解为x>1,
即f(x)<x的解为x>1,
∵f(1g2x)<1g2x,
∴由1g2x>1得1gx>1或lgx<-1,
解得x>10或0<x<110,
故不等式的解集为(0,110)∪(10,+∞),
D
构造函数g(x)=f(x)-x,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性,求出不等式f(x)<x的解为x>1,即可得到结论.
本题主要考查不等式的求解,构造函数,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键.
10.解:
设g(x)=exf(x)-ex+1-2(x∈R),
则g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex+1=ex[f(x)+f′(x)-e],
∵f(x)+f′(x)<e,
∴f(x)+f′(x)-e<0,
∴y=g(x)在定义域上单调递减,
∵f(0)=e+2,
∴g(0)=e0f(0)-e-2=e+2-e-2>0,
∴g(x)>g(0),
∴x<0,
∴不等式的解集为(0,+∞)
构造函数g(x)=exf(x)-ex+1-2(x∈R),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解.
本题考查函数的导数与单调性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键.
11.解:
设函数y=f(x)x,则y′=xf'
∵xf′(x)<f(x),∴y′<0,
可得y=f(x)x对任意x∈R,函数y是减函数,
∴f(3)3<f
(2)2,
可得3f
(2)>2f(3).
构造函数,利用函数的单调性判断即可.
本题考查函数的单调性的判断与应用,构造函数,求解导函数判断单调性是解题的关键.
12.解:
令g(x)=f(x)ex,由题意,
则g′(x)=f'
(x)-f(x)ex<0,
从而g(x)在R上单调递减,
∴g(2016)<g(2015).
即f(2016)e2016<f(2015)e2015,
∴e2015f(2016)<e2016f(2015),
即ef(2015)<f(2016),
造函数g(x)=f(x)ex,通过求导判断其单调性,从而确定选项.
本题是构造函数的常见类型,大多数题型是结合着选项中的结构和题中的条件来构造函数,形式灵活多变,考生需要多看多做多总结,才容易掌握此题型.
13.解:
令g(x)=f(x)x,
∴g′(x)=xf'
∵x>0时,xf′(x)-f(x)>0,
∴x>0时,g′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)上是增函数,
∵f
(2)=0,
∴g
(2)=f
(2)2=0,
当0<x<2,
g(x)<g
(2)=0,即f(x)<0,
当x>2时,g(x)>g
(2)=0,即f(x)>0,
∵f(x)是偶函数,
∴当-2<x<0,f(x)<0,
故不等式f(x)<0的解集是(-2,0)∪(0,2),
构造函数g(x)=f(x)x,利用导数得到,g(x)在(0,+∞)是增函数,再根据f(x)为奇函数,根据f
(2)=0,解得f(x)<0的解集.
14.解:
∵(x-1)f′(x)≥0,
∴当x≥1时,f′(x)≥0,
当x<1时,f′(x)≤0;
故f(x)在(-∞,1)上不增,
在[1,+∞)上不减,
故f(0)≥f
(1),f
(2)≥f
(1);
故f(0)+f
(2)≥2f
(1),
故选C.
由题意,当x≥1时,f′(x)≥0,当x<1时,f′(x)≤0;
从而可得f(x)在(-∞,1)上不增,在[1,+∞)上不减,故f(0)≥f
(1),f
(2)≥f
(1);
从而可得.
本题考查了导数的综合应用,属于中档题.
15.解:
令g(x)=f(x)-x3-2016,
g′(x)=f′(x)-3x2,
∵对任意的x∈R.都有f′(x)<3x2成立,
∴对任意的x∈R,g′(x)<0,
∴g(x)=f(x)-x3-2016在R上是减函数,
且g(-1)=f(-1)+1-2016=2015+1-2016=0,
故不等式f(x)<x3+2016的解集为(-1,+∞),
令g(x)=f(x)-x3-2016,求导g′(x)=f′(x)-3x2,从而确定不等式的解集.
本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用.
16.解:
构造函数g(x)=f(x)-lnx(x>0),则g′(x)=f′(x)-1x=xf'
(x)-1x>0,
∴g(x)=f(x)-lnx在(0,+∞)上单调递增,
∵f(x)≤lnx,
∴g(x)≤0=g
(1),
∴0<x≤1,
构造函数g(x)=f(x)-lnx(x>0),确定g(x)=f(x)-lnx在(0,+∞)上单调递增,f(x)≤lnx,化为g(x)≤0=g
(1),即可得出结论.
本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,正确构造函数是关键.
17.解:
∵f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数,
∴f(-x)=f(x).
对任意正实数x满足xf′(x)>-2f(x),
∴xf′(x)+2f(x)>0,
∵g(x)=x2f(x),
∴g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)>0.
∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴g(x)在(-∞,0)递减;
由不等式g(x)<g(1-x),
∴x>01-x>0x<1-x或x<0x-1<0x>x-1,
解得:
0<x<12,或x<0∴不等式g(x)<g(1-x)的解集为:
{x|0<x<12或x<0}.
C.
f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数,可得:
f(-x)=f(x),对任意正实数x满足xf′(x)>2f(-x),可得:
xf′(x)+2f(x)>0,由g(x)=x2f(x),可得g′(x)>0.可得函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.即可得出.
本题考查了函数的奇偶性与单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
18.解:
当x∈(-∞,0)时,xf′(x)<-f(x),
即xf′(x)+f(x)<0,
∴[xf(x)]′<0,
∴令F(x)=xf(x),
由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,
则F(x)为偶函数,
且在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,
由c=-2f(log214)=-2f(-2)=2f
(2)=g
(2),
a=3f(3)=g(3),b=f
(1)=g
(1),
由1<3<2,可得b<a<c.
由f(x)为奇函数得到f(-x)=-f(x),有xf′(x)+f(x)<0,由导数的积的运算得到[xf(x)]′<0,令F(x)=xf(x),则F(x)为偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,由c=-2f(-2)=2f
(2)=g
(2),a=3f(3)=g(3),b=f
(1)=g
(1),即可得到所求大小关系.
本题主要考查函数的性质及应用,考查奇偶函数的定义及应用,函数的单调性及应用,以及应用导数的运算法则构造函数的能力,是函数的综合题.
19.解:
令g(x)=f(x)x3,
(x)⋅x3-3x2f(x)x6=xf'
∵xf′(x)<3f(x),即xf′(x)-3f(x)<0,
∴g′(x)<0在(0,+∞)恒成立,
即有g(x)在(0,+∞)递减,可得
g
(2)<g
(1),即f
(2)8<f
(1)1,
由2f(x)<3f(x),可得f(x)>0,则f
(2)f
(1)<8;
令h(x)=f(x)x2,h′(x)=f'
(x)⋅x2-2xf(x)x4=xf'
∵xf′(x)>2f(x),即xf′(x)-2f(x)>0,
∴h′(x)>0在(0,+∞)恒成立,
即有h(x)在(0,+∞)递增,可得
h
(2)>h
(1),即f
(2)4>f
(1),则
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