中考数学韦达定理应用探讨专题复习试题Word格式.docx
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【答案】B。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系,得。
故选B。
例3:
(2012山东烟台3分)下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】
A.x2+2x﹣4=0B.x2﹣4x+4=0C.x2+4x+10=0D.x2+4x﹣5=0
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,要使方程的两实数根和为﹣4,必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0,且x1+x2=﹣=﹣4。
据此逐一作出判断:
A.x2+2x﹣4=0:
△=b2﹣4ac=20>0,x1+x2=﹣=﹣2,所以本选项不合题意;
B.x2﹣4x+4=0:
△=b2﹣4ac=0,x1+x2=﹣=4,所以本选项不合题意;
C.x2+4x+10=0:
△=b2﹣4ac=﹣28<0,方程无实数根,所以本选项不合题意;
D.x2+4x﹣5=0:
b2﹣4ac=36>0,,x1+x2=﹣=﹣4,所以本选项符号题意。
故选D。
例4:
(2012广西来宾3分)已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1,那么它的另一个实数根是【】
A.-2B.0C.1D.2
【答案】A。
【分析】设方程的另一个实数根为x,则根据一元二次方程根与系数的关系,得x+1=-1,解得x=-2。
故选A。
练习题:
1.(2007重庆市3分)已知一元二次方程的两根为x1、x2,则x1+x2=▲。
2.(2005浙江湖州3分)已知一元二次方程的两个根为x1、x2,则x1+x2的值是【】
A.-12B.12C.-7D.7
3.(2011广西来宾3分)已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1、x2,则x1x2=▲.
4.(2011湖北咸宁3分)若关于的方程的一个根为,则另一个根为【】
A.B.C.1D.3
5.(2011云南昆明3分)若x1,x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根,则x1+x2与x1x2的值分别是【】
A、﹣,﹣2B、﹣,2C、,2D、,﹣2
二、求对称代数式的值:
应用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
所谓对称式,即若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变(),则称这个代数式为完全对称式,如等。
扩展后,可以视中与对称。
(2012四川攀枝花3分)已知一元二次方程:
x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2,则x12x2+x1x22的值为【】
A.﹣3B.3C.﹣6D.6
【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。
【分析】由一元二次方程:
x2﹣3x﹣1=0的两个根分别是x1、x2,
根据一元二次方程根与系数的关系得,x1+x2=3,x1x2=―1,
∴x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=(-1)3=-3。
(2012山东莱芜3分)已知m、n是方程x2+22x+1=0的两根,则代数式m2+n2+3mn的值为【】
A.9B.±
3C.3D.5
【分析】∵m、n是方程x2+22x+1=0的两根,∴m+n=,mn=1。
∴。
(2012江苏南通3分)设m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根,则m2+4m+n=▲.
【答案】4。
【考点】求代数式的值,一元二次方程的解,一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根,
∴m2+3m-7=0,即m2+3m=7;
m+n=-3。
∴m2+4m+n=(m2+3m)+(m+n)=7-3=4。
(2012湖北鄂州3分)设x1、x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实根,且,则a=▲.
【答案】10。
【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。
【分析】∵x1、x2是一元二次方程x2+5x-3=0的两个实根,∴x22+5x2-3=0,x1x2=-3。
又∵,即,即。
∴,即,解得a=10。
1.(2012湖南张家界3分)已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,则=▲.
2.(2012四川泸州3分)设x1,x2是一元二次方程x2–3x–1=0的两个实数根,则的值为▲
3.(2012山东日照4分)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么的值为▲.
4.(2012黑龙江绥化3分)设a,b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根,则a2+2a+b的值为
▲
5.(2012黑龙江大庆4分)若方程的两实根为、,求的值.
6.(2011湖北荆州、荆门3分)关于的方程有两个不相等的实根、,
且有,则的值是【】
A.B.C.或D.
7.(2011贵州黔东南4分)若、是一元二次方程的两根,则的值为【】
A、2010B、2011C、D、
8.(2011江苏苏州3分)已知、是一元二次方程的两个实数根,则代数式
的值等于▲.
9.(2011山东德州4分)若x1,x2是方程x2+x﹣1=0的两个根,则x12+x22=▲.
10.(2011广西玉林、防城港6分)已知:
、是一元二次方程的两个实数根.求:
的值.
三、构造一元二次方程:
如果我们知道问题中某两个字母的和与积,则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
扩展后字母可为代数式。
(2012湖北随州4分)设,且1-ab2≠0,则=
▲.
(2012四川内江12分)如果方程的两个根是,那么请根据以上结论,解决下列问题:
(1)已知关于的方程求出一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方程两根的倒数;
(2)已知满足,求;
(3)已知满足求正数的最小值。
【答案】解:
(1)设关于的方程的两根为,则有:
,且由已知所求方程的两根为
∴,。
∴所求方程为,即。
(2)∵满足,
∴是方程的两根。
(3)∵且∴。
∴是一元二次方程的两个根,
代简,得。
又∵此方程必有实数根,∴此方程的,即,。
又∵∴。
∴正数的最小值为4。
.
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简。
【分析】
(1)设方程的两根为,得出,,再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案。
(2)根据满足,得出是一元二次方程的两个根,由,即可求出的值。
(3)根据,得出,是一元二次方程的两个根,再根据,即可求出的最小值。
(2012四川宜宾8分)某市政府为落实“保障性住房政策,2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设,并规划投入资金逐年增加,到2013年底,将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设.
(1)求到2013年底,这两年中投入资金的平均年增长率(只需列出方程);
(2)设
(1)中方程的两根分别为x1,x2,且mx12﹣4m2x1x2+mx22的值为12,求m的值.
(1)设到2013年底,这两年中投入资金的平均年增长率为x,
根据题意得:
3+3(x+1)+3(x+1)2=10.5。
(2)由
(1)得,x2+3x﹣0.5=0,
由一元二次方程根与系数的关系得,x1+x2=﹣3,x1x2=﹣0.5。
又∵mx12﹣4m2x1x2+mx22=12即m[(x1+x2)2﹣2x1x2]﹣4m2x1x2=12,
即m[9+1]﹣4m2(﹣0.5)=12,即m2+5m﹣6=0,解得,m=﹣6或m=1。
【考点】一元二次方程的应用,一元二次方程根与系数的关系。
(1)方程的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。
本题等量关系为:
2011年、2011年和2013某市用于保障房建设资金总量=10.5亿元,
把相关数值代入求得合适的解即可。
(2)由
(1)得到的一元二次方程,根据根与系数的关系求得关于m的一元二次方程,解之即得m的值。
(2012贵州黔西南14分)问题:
已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍。
解:
设所求方程的根为y,则y=2x,所以
把代入已知方程,得
化简,得:
故所求方程为
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”。
请阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:
把所求方程化成一般形式)
(1)已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为:
;
(2)已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程的倒数。
(1)y2-y-2=0。
(2)设所求方程的根为y,则(x≠0),于是(y≠0)。
把代入方程,得,
去分母,得a+by+cy2=0。
若c=0,有,可得有一个解为x=0,与已知不符,不符合题意。
∴c≠0。
∴所求方程为cy2+by+a=0(c≠0)。
【考点】一元二次方程的应用。
(1)设所求方程的根为y,则y=-x所以x=-y。
把x=-y代入已知方程,得y2-y-2=0。
(2)根据所给的材料,设所求方程的根为y,再表示出x,代入原方程,整理即得出所求的方程。
1.(2004辽宁沈阳2分)请你写出一个二次项系数为1,两实数根之和为3的一元二次方程:
2.(2005山东临沂3分)请写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为1,且其两根互为倒数▲.
3.(2002浙江杭州10分)已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q,且满足关系式,试求这个一元二次方程.
4.(2007江苏淮安3分)写出一个两实数根符号相反的一元二次方程:
四、求方程中待定系数的值:
已知方程两根满足某种关系,则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。
(2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分)如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1,x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0,那么a的值为【】
A.3B.﹣3C.13D.﹣13
【分析】∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根,
∴x1+x2=﹣4,x1x2=a。
∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2(x1+x2)﹣5=a﹣2×
(﹣4)﹣5=0,即a+3=0,
解得,a=﹣3。
(2012湖南株洲3分)已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1,x2=﹣2,则b与c的值分别为【】
A.b=﹣1,c=2B.b=1,c=﹣2C.b=1,c=2D.b=﹣1,c=﹣2
【分析】∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1,x2=﹣2,
∴x1+x2=b=1+(﹣2)=﹣1,x1x2=c=1×
(﹣2)=﹣2。
∴b=﹣1,c=﹣2。
(2012内蒙古呼和浩特3分)已知:
x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是【】
A.a=﹣3,b=1B.a=3,b=1C.,b=﹣1D.,b=1
【分析】∵x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,∴x1+x2=﹣2a,x1x2=b,
∵x1+x2=3,x1x2=1,∴﹣2a=3,b=1,解得,b=1。
(2012内蒙古包头3分)关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1,x2,且2x1+x2=7,则m的值是【】
A.2B.6C.2或6D.7
【考点】一元二次方程根与系数的关系,解不等式和一元二次方程。
【分析】∵方程有两个正实数根,
又∵2x1+x2=7,∴x1=7-m。
将x1=7-m代入方程,得。
解得m=2或m=6。
∵,∴m=6。
例5:
(2012山东威海3分)若关于x的方程的两根互为倒数,则a=▲.
【答案】-1。
【考点】一元二次方程根与系数的关系,倒数。
【分析】∵关于x的方程的两根互为倒数,∴设两根为x和。
则根据一元二次方程根与系数的关系,得。
由得。
但当时,无意义。
∴a=-1。
例6:
(2012湖北孝感12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:
无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根;
(2)若x1、x2是原方程的两根,且|x1-x2|=2,求m的值和此时方程的两根.
(1)证明:
由关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得
△=(m+3)2-4(m+1)=(m+1)2+4,
∵无论m取何值,(m+1)2+4恒大于0,
∴原方程总有两个不相等的实数根。
(2)∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=-(m+3),x1x2=m+1。
∵|x1-x2|=2,∴(x1-x2)2=8,即(x1+x2)2-4x1x2=8。
∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8,即m2+2m-3=0。
解得:
m1=-3,m2=1。
当m=-3时,原方程化为:
x2-2=0,解得:
x1=,x2=-。
当m=1时,原方程化为:
x2+4x+2=0,解得:
x1=-2+,x2=-2-。
(1)根据关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0的根的判别式△=b2-4ac的符号来判定该方程的根的情况。
(2)根据根与系数的关系求得x1+x2和x1x2,由已知条件|x1-x2|=2平方后可以得到关于x1+x2和x1x2的等式,从而列出关于m的方程,通过解该方程即可求得m的值,最后将m值代入原方程并解方程。
例7:
(2012湖南怀化10分)已知是一元二次方程的两个实数根.
(1)是否存在实数a,使成立?
若存在,求出a的值;
若不存在,请你说明理由;
(2)求使为负整数的实数a的整数值.
(1)成立。
∵是一元二次方程的两个实数根,
∴由根与系数的关系可知,;
∵一元二次方程有两个实数根,
∴△=4a2-4(a-6)a≥0,且a-6≠0,解得,a≥0,且a≠6。
由得,即。
解得,a=24>0,且a-6≠0。
∴存在实数a,使成立,a的值是24。
(2)∵,
∴当为负整数时,a-6>0,且a-6是6的约数。
∴a-6=6,a-6=3,a-6=2,a-6=1。
∴a=12,9,8,7。
∴使为负整数的实数a的整数值有12,9,8,7。
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,解分式方程。
【分析】根据根与系数的关系求得;
根据一元二次方程的根的判别式求得a的取值范围。
(1)将已知等式变形为x1x2=4+(x2+x1),即,通过解该关于a的方程即可求得a的值;
(2)根据限制性条件“(x1+1)(x2+1)为负整数”求得a的取值范围,然后在取值范围内取a的整数值。
例8:
(2011四川南充8分)关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2.
(1)求k的取值范围;
(2)如果x1+x2﹣x1x2<﹣1且k为整数,求k的值.
(1)∵方程有实数根,∴△=22﹣4(k+1)≥0,解得k≤0。
∴k的取值范围是k≤0。
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=﹣2,x1x2=k+1,
∴x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣(k+1)。
由﹣2﹣(k+1)<﹣1,解得k>﹣2。
又由
(1)k≤0,∴﹣2<k≤0。
∵k为整数,∴k的值为﹣1和0。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,解一元一次不等式组。
(1)方程有两个实数根,必须满足△=b2﹣4ac≥0,从而求出实数k的取值范围。
(2)先由一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=﹣2,x1x2=k+1.再代入所给不等式即可求得k的取值范围,然后根据k为整数,求出k的值。
例9:
1.(2011湖南株洲3分)孔明同学在解一元二次方程时,正确解得,,则的值为▲.
2.(2011湖北孝感10分)已知关于x的方程有两个实数根x1,x2,
(1)求的取值范围;
(2)若,求的值。
3.(2012湖北鄂州8分)关于x的一元二次方程。
方程总有两个不相等的实数根;
(2)设这个方程的两个实数根为x1,x2,且|x1|=|x2|-2,求m的值及方程的根。
4.(2012四川南充8分)关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2。
(1)求m的取值范围;
(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0.求m的值。
5.(2011四川达州3分)已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3,则m=▲,n=▲。
6.(2011四川泸州2分)已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11,则k的值为▲。
7.(2011四川乐山10分)题甲:
已知关于x的方程的两根为x1、x2,且满足.求的值。
8.(2006北京市7分)已知:
关于x的方程有两个实数根x1和x2,关于y的方程有两个实数根y1和y2,且-2≤y1<y2≤4.当
时,求m的取值范围。
9.(2006四川凉山6分)已知:
x2+a2x+b=0的两个实数根为x1、x2;
y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根,且x1-y1=x2-y2=2.求a、b的值。
五、在平面几何中的应用:
在平面几何中,①两圆外切,两圆圆心距离等于两圆半径之和;
②勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用,可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。
(2003江苏镇江6分)已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=900,AB=5,两直角边AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根。
(1)求m的值及AC、BC的长(BCAC)
(2)在线段BC的延长线上是否存在点D,使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求出CD的长;
若不存在,请说明理由。
(1)设方程的两个根分别是x1、x2。
∴x1+x2=m+5,x1x2=6m。
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AB=5,
∴,∴m2--m=0。
∴m=0或m=2。
当m=0时,原方程的解分别为x1=0,x2=5,但三角形的边长不能为0,所以m=0舍去;
当m=2时,原方程为x2-7x+12=0,其解为x1=3,x2=4,所以两直角边AC=3,BC=4。
∴m=2,AC=3,BC=4。
(2)存在。
已知AC=3,BC=4,AB=5,欲使以△AD1C为顶点的三角形与△ABC相似,
则。
∴,则CD1=。
欲使以△AD2C为顶点的三角形与△ABC相似,则。
∴BC=CD2=4。
综上所述,在线段BC的延长线上是存在点D,使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似,CD的长为或4。
【考点】相似三角形的判定,根与系数的的关系,相似三角形的判定和性质,勾股定理。
(1)先利用根与系数的关系与勾股定理求出m的值,再代入m的值求出AC、BC的长。
(2)根据相似三角形的性质来解答此题,利用相似比即可求出CD的长。
1.(2012山东潍坊3分)已知两圆半径r1、r2分别是方程x2—7x+10=0的两根,两圆的圆心距为7,则两圆的位置关系是【】.
A.相交B.内切C.外切D.外离
2.(2006四川广安8分)已知:
△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.试问:
k取何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
3.(2002江苏无锡9分)已知:
如图,⊙O的半径为r,CE切⊙O于C,且与弦AB的延长线交于点E,CD⊥AB于D.如果CE=2BE,且AC、BC的长是关于x的方程的两个实数根.
求:
(1)AC、BC的长;
(2)CD的长.
4.(2002湖南益阳10分)巳知:
如图,在△ABC中,∠B=90°
,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的半圆交AB于点E,与AC切于点D.当时,AD、AE(AD>AE)是关于x的方程x2-(m-1)x+m-2=0(m≠0)的两个根.
(1)求实数m的值;
(2)证明:
CD的长度是无理方程的一个根;
(3)以B点为坐标原点,分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式.
5.(2010湖南株洲3分)两圆的圆心距d=5,它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两个根,这两圆的位置关系是▲
七、在二次函数中的应用:
一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当y=0时的情形,因此若干二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。
(2012天津市3分)若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:
①x1=2,x2=3;
②;
③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).
其中,正确结论的个数是【】
(A)0(B)1(C)2(D)3
(2012甘肃兰州10分)若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两个根,则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:
x1+x2=,x1x2=.把它称为一元二次方程根与系数关系定理.如果设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两
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