清华大学微积分课件(全)x27PPT课件下载推荐.ppt
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,要求,1.要熟练掌握基本初等函数的定义域、值域及图形;
2.利用给定条件或问题,找出函数关系及定义域;
2023/5/8,4,1.极限的定义,二、函数的极限,2023/5/8,5,2.极限的性质,
(1)唯一性:
(2)有界性:
(3)保号性:
2023/5/8,6,3.极限的运算法则,
(1)四则运算法则,
(2)复合函数的极限法则,4.无穷小量的比较,(3)夹逼定理,2023/5/8,7,注意,并非所有无穷小量都可以进行比较,例如,而,不存在,2023/5/8,8,搞清以下关系,(4)无穷大量与无界函数的关系.,2023/5/8,9,6.求未定型极限的方法,
(1)利用基本公式:
2023/5/8,10,
(2)利用等价无穷小替换;
(3)利用罗必达法则;
(4)利用夹逼定理;
(5)利用泰勒公式,2023/5/8,11,要求,
(2)熟练掌握极限的性质,能够运用它们分析证明简单的问题.,(3)能够熟练的运用极限的各种运算法则、重要极限及定理求函数的极限。
(1)正确理解函数极限的概念。
2023/5/8,12,三.连续函数,1.定义,要求,
(1)能叙述两种函数在连续的等价定义.,
(2)会确定间断点及其类型.,2023/5/8,13,2.连续函数的性质,
(1)两个连续函数经有限次四则运算和复合得到的新函数仍是连续函数。
(2)若函数,则有以下重要定理:
1)有界定理,2)根值定理(零点定理),3)介值定理,2023/5/8,14,4)最值定理,3.初等函数在其定义区间上是连续的,要求,
(2)掌握连续函数的性质,并能够运用它们分析证明简单的问题。
(1)会利用初等函数的连续性求函数的极限。
2023/5/8,15,四.导数与微分,1.基本概念,
(1)导数定义,设函数在点及其附近有定义,如果极限存在,则称函数在可导,在的导数记作。
2023/5/8,16,
(2)微分定义,2023/5/8,17,(3)高阶导数的定义,2023/5/8,18,(4)可微与可导的关系,2.基本导数公式,(5)可微与连续的关系,2023/5/8,19,2023/5/8,20,2023/5/8,21,3.导数的运算法则,
(1)导数的四则运算法则,
(2)复合函数求导的链式法则,(3)隐函数求导法,(4)反函数求导法,(5)参数方程求导法,(6)对数微分法,(7)高阶导数的莱布尼兹公式,2023/5/8,22,4.导函数的性质,
(1)导数的零点定理,
(2)导数的介值定理,(3)导函数在定义区间内无第一类间断点。
2023/5/8,23,要求,
(1)掌握导数概念、物理意义及几何意义,会用定义求分段函数在分点处的导数。
(2)掌握微分概念和几何意义以及微分和导数的关系。
(3)熟记基本导数(微分)公式。
(4)熟练运用各种求导(微分)法则求初等函数的导数、微分。
2023/5/8,24,五.导数应用,1.微分学基本定理,
(1)罗尔定理,
(2)拉格朗日定理,(3)柯西定理,2.函数的增减性,2023/5/8,25,3.函数的极值,
(1)极值的概念:
2023/5/8,26,
(2)极值的必要条件(费马定理),(3)极值的充分条件,2023/5/8,27,4.函数的凸性,
(2)凸性的判别法,2023/5/8,28,(3)拐点的定义与判别,1)定义,曲线的上凸弧与下凸弧的分界点,2023/5/8,29,5.曲线的渐近线,2023/5/8,30,2023/5/8,31,6.罗必达法则,2023/5/8,32,7.泰勒公式,
(1)皮亚诺型余项的泰勒公式,2023/5/8,33,2.拉格朗日型余项的泰勒公式,2023/5/8,34,3.常用的麦克劳林公式,2023/5/8,35,2023/5/8,36,要求,2023/5/8,37,(9)利用泰勒公式求极限、证明不等式,(8)会用直接展开或间接展开的方法求函数的泰勒公式,2023/5/8,38,例1,证,设,2023/5/8,39,从而,所以,2023/5/8,40,例2,证,则,2023/5/8,41,例3,证,反证法。
设另有交点,则对函数,有,由罗尔定理,2023/5/8,42,
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