资料分式方程应用题归类及常见题型.docx
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资料分式方程应用题归类及常见题型
列分式方程解应用题的常见类型分析
列分式方程解决实际问题和列一元一次方程解决实际问题的思考和处理过程是类似的,
只是多了对分式方程的根的检验。
这里的检验应包括两层含义:
第一,检验得到的根是不是
分式方程的根;第二,检验得到的根是不是使实际问题有意义。
一、路程问题:
这类问题涉及到三个数量:
路程、速度和时间。
它们的数量关系是:
路程=速度×时间。
列分式方程解决实际问题要用到它的变形公式:
速度=路程/时间,时间=路程/速度。
例1A、B两地相距60千米。
甲骑自行车从A地出发到B地,出发1小时后,乙骑摩托车
也从A地出发到B地,且比甲早到3小时。
已知乙的速度是甲的3倍,求甲、乙的速度。
相等关系:
二、工程问题
这类问题也涉及三个数量:
工作量、工作效率和工作时间。
它们的数量关系是:
工作量
=工作效率×工作时间。
列分式方程解决实际问题用它的变形公式:
工作效率=工作量/工作
时间。
特别地,有时工作总量可以看作整体“1”,这时,工作效率=1/工作时间。
例2某项工作,甲、乙两人合作3天后,剩下的工作由乙单独来做,用1天即可完成。
已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所需天数的2倍。
甲、乙单独完成
这项工作各需多少天?
相等关系:
三、销售问题:
解决这类问题,首先要弄清一些有关的概念:
商品的进价:
商店购进商品的价格;商品
的标价:
商店销售商品时标出的价格;商品的售价:
商店售出商品时的实际价格;利润:
商
店在销售商品时所赚的钱;利润率:
商店在销售商品时利润占商品进价的百分率;打折:
商
店在销售商品时的实际售价占商品标价的百分率。
其次,还要弄清它们之间的关系:
商品的售价=商品的标价×商品的打折率;
商品的利润=商品的售价-商品的进价;商品的利润率=商品的利润/商品的进价。
例3某超市销售一种钢笔,每枝售价为12元。
后来,钢笔的进价降低了4%,从而使
超市销售这种钢笔的利润率提高了5%。
这种钢笔原来每枝进价是多少元?
本题中的主要等量关系:
练习:
1.某地为了落实中央的“强基惠民工程”,计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若
由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工,则完成工程所需天数是规定天数
的1.5倍.如果由甲、乙队先合做15天,那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
(1)这项工程的规定时间是多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元,乙队每天的施工费用为3500元.为了缩短工期
以减少对居民用水的影响,工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成.则该工程施
工费用是多少?
2.甲乙两车在A、B两城间连续往返行驶,甲车从A城出发,乙车从B城出发,且比甲车早
出发1小时,两车在途中分别距离200千米和240千米的C处第一次相遇。
相遇后,乙车
改为按甲车的速度行驶,而甲车却提速了,之后两车又在C处第二次相遇,之后如果甲车
再提速5千米每小时,乙车再提速50千米每小时,那么两车将在C处再次相遇,求乙车出
发时的速度。
3.一批货物准备运往某地,有甲、乙、丙三辆卡车可以雇佣。
已知甲、乙、丙三辆车每次运
货量不变,且甲、乙两车单独运这批货物分别用了2a次、a次能运完。
若甲、丙两车合运
相同次数运完这批货物时,甲车共运了180吨,若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物
时,乙车共运了270吨。
现甲、乙、丙合运相同次数把这批货物运完时,货主应付车主运
费各多少元?
(按每运1吨付运费20元计算)
分式方程的应用题精选
一、填空:
1、有一项工程,甲独做x天完成,乙独做比甲多用4天完成任务,那么乙独做需要(x+4)
天完成。
甲一天完成总工程的
1
x
,乙一天完成总工程的
1
x4
。
甲、乙合做一天完成总工程
的
1
x
1
x4
。
若合做2天完成总工程的
8
15
,则可列方程:
2
x
x
2
4
=
8
15
。
2、农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机,一部分人骑自行车先走40分钟后,其余
的人乘汽车出发,结果他们同时到达。
已知汽车的速度为自行车速度的3倍,若设自行车的
速度为x千米/时,则所列方程为
15
3x
35
x
2
3
。
3、若对于实数a,b定义一种运算:
a☆b=
a
1
b
ab
,则当2☆x=-1时,x=3。
4、甲、乙两人承包一项工程,合做10天完成,若他们单独做,甲比乙少用8天,设甲单独
1010
做需要x天完成,则所列方程是1
xx8
。
5、已知
1
x
1
y
=3,那么
2x
x
14xy
2xy
2y
y
的值是4。
5
6、当x=-1时,分式3
x1
1
与的值相等。
x1
7、当a=0.2时,关于x的方程
x
x
1
2
2a
a
3
5
的解为0。
8、某打字员经过培训后,打字效率相当于原来的3倍,现在打900个所用的时间比原来少
900900
用30分,设现在这个打字员每分打个字,则依题意可列方程是30
3
xx
。
9、
二、选择题
1、大车行驶25千米与小车行驶35千米所用的时间相同,已知小车每小时比大车多行驶20
千米,求两车的速度分别是多少。
设大车的速度为x千米/时,根据题意列方程正确的是【C】
(A)
25
x
x
35
20
;(B)
x
25
20
35
x
;(C)
25
x
x
35
20
;(D)
x
25
20
35
x
。
2、李曼玉同学借了一本《清雅集》,共350页,要在两周借期内读完。
当她读了一半时,
发现平均每天要多读21页才能在借期内读完。
问:
她读前一半时平均每天读多少页?
如果设她读前一半时平均每天读x页,则下面所列方程中正确的是【C】
175175
(A)14
xx21
175175
;(B)1
xx21
175175
(C)14
xx21
175175
;(D)1
xx21
3、一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行100千米
所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,问:
江水的流速为多少?
设江水的流速为x千米/时,则可列方程【A】
(A)
100
60
x3030
x
;(B)
100
x30
x
60
30
(C)
100
30
60
x30
x
;(D)
100
x30
x
60
30
4、某学校学生进行急行军训练,预计行60千米的路程在下午5时到达,后来由于把速度加
快20%,结果于下午4时到达,求原计划行军的速度。
设原计划行军的速度为x千米/时,
则可列方程【C】
60606060
;(B)1
(A)1
xx20%xx20%
6060
(C)1
xx120%
6060
;(D)1
xx120%
5、有一项工程,若甲队单独做,恰好在规定日期内完成。
若乙队单独做,要超过规定日期
3天才能完成。
现在先由甲、乙两合做2天后,剩下的工程再由乙队单独做,也刚好在规定
日期内完成。
设规定日期为天,下面的方程中错误的是【D】
2x
(A)1
xx3
;(B)
2
x
x
x3
11x2
(C)21
xx3x3
11
;(D)1
xx3
6、一支蜡烛经凸透镜成一实像,物距u、像距v和凸透镜的焦距f满足关系:
1
u
1
v
1
f
。
若u=12cm,f=3cm,则v的值为【C】
(A)8cm;(B)6cm;(C)4cm;(D)2cm。
三、列方程解下列各题
8、甲、乙两人准备整理一批新到的实验器材,甲单独整理需要40分完工;若甲、乙共同整
理20分钟后,乙需要再单独整理20分才能完工。
问:
乙单独整理需多少分钟完工?
解:
设乙单独整理需x分钟完工,则
20
40
2020
x
1
解,得x=80
经检验:
x=80是原方程的解。
答:
乙单独整理需80分钟完工。
9、有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900千克和1500千克,已知第一块试验田每亩
收获蔬菜比第二块少300千克,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克?
解:
设第一块试验田每亩收获蔬菜x千克,则
900
x
1500
x300
解,得x=450
经检验:
x=450是原方程的解。
答:
第一块试验田每亩收获蔬菜450千克。
10、甲、乙两地相距19千米,某人从甲地去乙地,先步行7千米,然后改骑自行车,共用
了2小时到达乙地。
已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。
求步行的速度和骑自行
车的速度。
解:
设步行速度是x千米/时,则
7
x
19
4x
7
2
解,得x=5
经检验:
x=5是原方程的解。
进尔4x=20(千米/时)
答:
步行速度是5千米/时,骑自行车的速度是20千米/时。
11、小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶,但她在百货商场食品自选室发现,
同样的酸奶,这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元,因此,当第二次买酸奶时,便到百货商场
去买,结果用去18.40元钱,买的瓶数比第一次买的瓶数多,问:
她第一次在供销大厦买了
几瓶酸奶?
解:
⑴设她第一次在供销大厦买了x瓶酸奶,则
12.5
x
18.40
3
1
5
x
0.2
解,得x=5
经检验:
x=5是原方程的解。
答:
她第一次在供销大厦买了5瓶酸奶。
12、某商店经销一种纪念品,4月份的营业额为2000元,为扩大销售,5月份该商店对这种
纪念品打九折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元。
⑴求这种纪念品4月份的销售价格。
⑵若4月份销售这种纪念品获利800元,问:
5月份销售这种纪念品获利多少元?
解:
⑴设4月份销售价为每件x元,则
20002000700
20
x0.9x
解,得x=50
经检验:
x=50是原方程的解。
⑵4月份销售件数:
2000÷50=40(件)
每件进价:
(2000-800)÷40=30(元)
5月份销售这种纪念品获利:
(2000+700)-30×(40+20)=900(元)
答:
4月份销售价为每件50元,5月份销售这种纪念品获利900元。
13、王明和李刚各自加工15个零件,王明每小时比李刚多加工1个,结果比李刚少用半小
时完成任务,问:
两人每小时各加工多少个零件?
解:
设李刚每小时加工x个,则列方程为:
15
x
1
0.5
15
x
(注:
此方程去分母后化为一元二次方程)
14、某一项工程在招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,施工一天,需付甲工程队款
1.5万元,乙工程队款1.1万元,工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,可有三种施
工方案:
方案一:
甲队单独完成这项工程刚好如期完成;
方案二:
乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天;
方案三:
若甲、乙两队合做4天,余下的工程由乙队单独完成,也正好如期完成。
试问:
在不耽误工期的情况下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?
请说明理由。
解:
设规定时间为x天,则
4
x
x
x5
1
解,得x=20
经检验:
x=20是原方程的解。
方案一付款:
1.5×20=30(万元)
方案二:
耽误工期不预考虑。
方案三付款:
1.5×4+1.1×20=28(万元)
答:
方案三节省工程款。
15、一个分数的分母比分子大7,如果把此分数的分子加17,分母减4,所得新分数是原分
数的倒数,求原分数。
解:
设原分数为x,则
x
x17x7
74x
解,得x=3
经检验:
x=3是原方程的解。
原分数为:
x
x7
3
10
答:
原分数为
3
10
。
16、今年某市遇到百年一遇的大旱,全市人民齐心协力积极抗旱。
某校师生也行动起来捐款
打井抗旱,已知第一天捐款4800元,第二天捐款6000元,第二天捐款人数比第一天捐款人
数多50人,且两天人均捐款数相等,那么两天共参加捐款的人数是多少?
解:
设第一天有x人,则
4800
x
6000
x50
解,得x=200
经检验:
x=200是原方程的解。
x+x+50=450(人)
答:
两天共参加捐款的人数是450人。
17、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨11000
元资金购进该品种苹果,但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元,购进苹果数量是
试销时的2倍。
⑴试销时该品种苹果的进价是每千克多少元?
⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千
克按定价的七折售完,那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?
解:
⑴设试销时进价为每千克x元,则
2
5000
x
11000
x0.5
解,得x=5
经检验:
x=5是原方程的解。
500011000
⑵40070.7400500011000
7=4160(元)
550.5
答:
试销时进价为每千克5元,超市在这两次苹果销售中共盈利4160元。
18、某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场,现有甲、乙两个工厂都想加工这
批产品,已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等,而
且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品,在加工过程中,公司需每天支付50元劳务费请工
程师到厂进行技术指导。
⑴甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品?
⑵该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品,乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为
每天800元,请问:
乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时,有望加工这批产品?
解:
⑴设甲每天加工件产x品,乙每天加工(x+8)件,则
48
x
72
x
8
解,得x=16
经检验:
x=16是原方程的解。
x+8=24(件)
⑵设乙工厂向公司报加工费每天最多为y元,则
960960960960
80050y50解,得y≤1225
16162424
答:
甲每天加工16件产品,乙每天加工24件;乙工厂向公司报加工费每天最多为1225元。
19、用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料,其每千克的售价
比甲种涂料每千克的售价少3元,比乙种涂料每千克的售价多1元,求这种新涂料每千克的
售价。
解:
设新涂料每千克x元,则
100
x3
240
x1
100240
x
解,得x=17
经检验:
x=17是原方程的解。
答:
这种新涂料每千克的售价是17元。
分式方程应用题归纳
一.行程问题
★一般行程问题
1、从甲地到乙地有两条公路:
一条是全长600Km的普通公路,另一条是全长480Km
的告诉公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该
客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
2、从甲地到乙地的路程是15千米,A骑自行车从甲地到乙地先走,40分钟后,B
骑自行车从甲地出发,结果同时到达。
已知B的速度是A的速度的3倍,求两车的
速度。
3、某中学到离学校15千米的某地旅游,先遣队和大队同时出发,行进速度是大队
的1.2倍,以便提前半小时到达目的地做准备工作。
求先遣队和大队的速度各是多
少?
4、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务,由于情况发生了变化,急行
军速度必需是原计划的1.5倍,才能按要求提前2小时到达,求急行军的速度。
5、甲乙两地相距360千米,新修的高叔公路开通后,在甲乙两地间行驶的长途客
运车平均车速提高了50%,而从甲到乙的时间缩短了2小时,求原来的平均速度
6、八年级
(1)班学生周末乘汽车到游览区游览,游览区到学校120千米,一部分
学生乘慢车先行,出发1小时后,另一部分学生乘快车前往,结果他们同时到达,
已知快车速度是慢车的1。
5倍,求慢车的速度
7、我部队到某桥头阻击敌人,出发时敌人离桥头24千米,我部队离桥头30千米,
我部队急行军速度是敌人的1.5倍,结果比敌人提前48分钟到达,求我部队的速度。
★水航问题
8、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知
水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度。
二.工程问题
9、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半,加一天乙型拖拉机,两台合耕,1天耕
完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天?
10、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同,又知每小时
A、B两人共做35个机器零件。
求A、B每小时各做多少个零件。
11、某运输公司需要装运一批货物,由于机械设备没有到位,只好先用人工装运,
6小时后完成一半,后来机械装运和人工同时进行,1小时完成了后一半,如果设
单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务,那么应满足的方程是什么?
12、某市为治理污水,需要铺设一段全长3000米的污水输送管道,为了尽量减少
施工对城市交通造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前
30天完成了任务,实际每天铺设多长管道?
13、某车间加工1200个零件后,采用新工艺,工效是原来的1.5倍,这样加工同样
多的零件就少用10小时,采用新工艺前后每时分别加工多少个零件?
三.利润(成本、产量、价格、合格)问题
14、块面积相同的小麦试验田,第一块使用原品种,第二块使用新品种,分别收获
小麦9000Kg和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分
别求这块试验田每公顷的产量。
15、某工厂去年赢利25万元,按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%,
今年的赢利额应是多少?
16、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨,已知现在采煤33000吨煤所需的时
间和原计划采23100吨煤的时间相同,问现在平均每天采煤多少吨。
17、某商品的标价比成本高p%,当该商品降价出售,为了不亏本,降价幅度不得
超过d%,请用p表示d。
18、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场,就用8万元购进这种衬衫,面市
后果然供不应求,商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购
进量的2倍,但单价贵了4元,商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元,最后剩
下的150件按八折销售,很快售完,在这两笔生意中,商厦共赢利多少元。
19、一个批发兼零售的文具店规定:
凡一次购买铅笔300枝以上,(不包括300枝),
可以按批发价付款,购买300枝以下,(包括300枝)只能按零售价付款。
小明来该店购买铅笔,如果给八年级学生每人购买1枝,那么只能按零售价付款,需用120
元,如果购买60枝,那么可以按批发价付款,同样需要120元,
(1)这个八年级的学生总数在什么范围内?
(2)若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同,那么这个学校八年级
学生有多少人?
20、某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检查,结果甲厂有48件
合格产品,乙厂有45件合格产品,甲厂的合格率乙厂高5%,求甲厂的合格率?
21、某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方水费上涨1/3,小利家去年
12月的水费是15元,而今年7月份的水费则是30元,已知小利家今年7月的用水
量比去年12月份的用水量多5立方米,求该市今年居民的用水的价格。
22、小明和同学一起去书店买书,他们先用15元买了一种科普书,又用15元买
了一种文学书,科普书的价格比文学书的价格高出一半,因此他们买的文学书比科
普书多一本,这种科普和文学书的价格各是多少?
23、甲种原料和乙种原料的单价比是2:
3,将价值2000元的甲种原料有价值
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- 资料 分式 方程 应用题 归类 常见 题型