初中抛物线经典练习题Word文档格式.docx
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初中抛物线经典练习题Word文档格式.docx
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△ABP的面积=2│AB│*│yp│----------------------
④
由于A、B两点在x轴上,令x2+2x-8=0
(x-2)(x+4)=0
解得:
x1=2,x2=-4
│AB│=│X1-X2│=│2-(-4)│=6------⑤
又△ABP的面积=--------------------------
⑥
*6*│yp│=15
由④⑤⑥,得:
2
│yp│=5
故有:
yp=±
5
即:
p点的纵坐标为
5或-5.
把y=5代入y=x2+2x-8,即:
5=x2+2x-8
x2+2x-13=0
x=-1±
14
那么,此时p点坐标(-1+
14,5),(-1-
14,5)-------⑦
把y=-5代入y=x2+2x-8,即:
-5=x2+2x-8
x2+2x-3=0
(x-1)(x+3)=0
x=1或x=-3
那么,此时p点坐标(1,-5),(-3,-5)------------------
由⑦⑧得,使△ABP的面积为15,p点坐标是:
⑧
(-1+14,5),(-1-14,5),(1,-5),(-3,-5)
(2)设点B对于原点的对称点为
式。
C,写出过
A、C
两点直线的表达
由于抛物线y=2x2+mx+n经过点A(5,0),B(2,-6).
将x=5,y=0代入y=2x2+mx+n,得:
0=50+5m+n-------------------①
将x=2,y=-6代入y=2x2+mx+n,得:
-6=8+2m+n--------------------②
此时,由①、②,得:
m=-12,n=10
因此,抛物线的表达式:
y=2x2-12x+10
再将抛物线表达式进行变形:
y=2x2-12x+10
y=2(x2-6x+9)-8
y=2(x-3)2-8
因此,抛物线的对称轴是x=3
由于B点坐标为(2,-6),
C是B对于原点的对称点,因此,C点的坐标(-2,6)
设过A、C两点的直线方程为:
y=kx+b由于过A(5,0),C(-2,6),
将x=5,y=0代入y=kx+b,得:
0=5k+b---------③
将x=-2,y=6代入y=kx+b,得:
6=-2k+b-------④
由③④解得:
k=-
6
,b=
30
7
因此,过A、C两点的直线表达式为:
y=-
x+
3、在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的极点
C为(
2,4),并在
由于抛物线的极点C为(2,4),
因此,对称轴是:
x=2
又由于抛物线在x轴上截得的长度为6,
那么,对称轴x=2将6均分,
也就是说,A、B两点对于x=2对称,且他们到x=2的距离是3
因此,A的横坐标:
2-3=-1
B的横坐标:
2+3=5
故,抛物线与x轴交点A、B的坐标是(-1,0),(5,0)
那么,抛物线的表达式直接可设为:
y=a(x-2)2+4【特别提示,这个特别重要,大大简化了计算】
再将A(-1,0)代入y=a(x-2)2+4,得,0=a(-1-2)2+4
a=-
4
9
因此,抛物线的表达式为,y=-9(x-2)2+4
令x=0,代入y=-
4(x-2)2+4
,得y=-
4(0-2)2+4
y=
20
因此,抛物线与y轴交点P的坐标(0,209)
直线的分析式为y=2x+4
令x=0,代入y=2x+4,得,y=4,因此B点坐标(0,4)令y=0,代入y=2x+4,得,x=-2,因此A点坐标(-2,0)
设C点的纵坐标为yc(yc是负数),那么线段BC的长度│BC│=4-yc
△ABC的面积=2
*│xA│*│BC│=2
*│-2│*(4-yc)=20
4-yc=20
yc=-16
因此,C点坐标(0,-16)---------------------------------①
以A(-2,0)为极点,
可设抛物线表达式:
y=a(x+2)2+0
y=a(x+2)2,它过点C(0,-16),
将x=0,y=-16代入y=a(x+2)2,解得:
a=-4
因此,抛物线表达式y=-4(x+2)2
设D点的横坐标为xD(xD是负数),
△BDO的面积=
*│xD│*│BO│=2
*│xD│*4=8
│xD│=4
xD是负数,因此,xD=-4,又D点在直线y=2x+4上,
将xD=-4代入y=2x+4,解得yD=-4
D点坐标(-4,-4)-------------------------------------------②
y=a(x+2)2它过点D(-4,-4)
将x=-4,y=-4代入y=a(x+2)2,解得:
a=-1
因此,抛物线表达式y=-(x+2)2
【第二组题型】
5、若对于
x的方程
x2+2mx+m2+3m﹣2=0
有两个实数根
x1、x2,则
x1
(x2+x1)+x22
的最小值为(
)
6、平面直角坐标系中两定点A(-5,0,),B(3,0),抛物线y=ax2+bx-30
(a≠0)过A、B,极点为C,点P(m,n)为抛物线上的一点。
(1)求抛物线的分析式和极点C的坐标。
(2)当四边形APBC为梯形,求P的坐标。
3
7、已知抛物线
4x2+bx+c
与x轴订交于点
A和
B(2,0),与
y轴
订交于
C(0,-6)
(1)求出抛物线的分析式和A点的坐标。
(2)D为抛物线的极点,设P点(t,0),且
CDP的面积相等,求P点的坐标。
t>2,假如△
BDP与△
8、在xoy直角坐标系中,点C(2,-3)对于x轴对称的点为A,对于
原点对称的点为B,抛物线y=ax2+bx+c过A、B两点,且点D(3,19)在抛物线上。
方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根
则鉴别式△=(2m)2-4*(m2+3m﹣2)≥0
m≤2------------------------------------------------
依据韦达定理,x1+x2
=-2m-------------------------
x1x2
=m2+3m﹣2-----------------
又x1(x2+x1)+x22=x1x2+x12+x22
=(x2+x1)2-x1x2【将②③代入】
=(-2m)2-(m2+3m﹣2)
=3m2-3m+2
=3(m-
2)2+
则极点(2,
其图像为
由①知,当m≤23时,已经把极点包括在内,故,当m=1时,有最小值是5
24
(
2,
由于点A(-5,0,),B(3,0)均为x轴上的两点,且抛物线过这两点,
故抛物线的分析式可写为:
y=a(x+5)(x-3)
y=a(x2+2x-15)
y=ax2+2ax-15a-----------①
又已知,抛物线y=ax2+bx-30------------②
依据恒等原理,①式与②式对应的系数相等。
那么它们的常数项相等,即:
-15a=-30
a=2
将a=2代入①式,解得抛物线分析式为:
y=2x2+4x-30再对y=2x2+4x-30变形
y=2(x2+2x)-30
y=2(x+1)2-32
因此,极点C坐标(-1,-32)
答:
抛物线分析式为:
y=2x2+4x-30,
极点C坐标(-1,-32)
四边形APBC为梯形,有两种状况,一是BP∥AC,一是AP∥CB
(1)当BP∥AC,
由于A(-5,0),C(-1,-32)
直线AC的斜率k1=0-(-32)
-5-(-1)=-8----------------
由于B(3,0),P(m,n)
0-nn
直线PB说完斜率k2=3-m=m-3----------------
由于BP∥AC
因此③=④
n
即-8=m-3
化简:
n=24-8m-----------------------------------------
⑤
由于P(m,n)在抛物线上,
因此,把x=m,y=n代入y=2x2+4x-30中
得:
n=2m2+4m-30---------------------------------------
由于⑤=⑥,消去n,
24-8m=2m2+4m-30
m2+6m-27=0
(m+9)(m-3)=0
m=-9,m=3
将m=-9代入⑤中,解得,n=96,则P坐标(-9,96)
将m=3代入⑤中,解得,n=0,则P坐标(3,0)与B(3,0)重合,舍去
故:
当BP∥AC时,P坐标为(-9,96)
(2)AP∥CB
同理:
直线BC的斜率k3=8
直线AP的斜率k4=m+5
由K3=k4,得8=m+5即:
n=8m+40----------
⑦
n=2m2+4m-30--------------------------------------
由⑦=⑧解得,m=7,m=-5
将m=7,m=-5代入⑦,
解得n=106,n=0
即P坐标(7,106),或p(-5,0)与A(-5,0)重合,舍去故:
当AP∥CB时,P坐标为(7,106)
7、已知抛物线y=4x2+bx+c与x轴订交于点A和B(2,0),与y轴订交于C(0,-6)
(1)求出抛物线的分析式和
A点的坐标。
(2)D
为抛物线的极点,设
P点(
t,0),且
由于抛物线与y轴订交于C(0,-6)
将x=0,y=-6代入y=4x2+bx+c,解得:
c=-6
那么,抛物线分析式为:
y=4x2+bx-6
抛物线与与x轴订交于A(2,0),
将x=2,y=0,代入y=
4x2+bx-6,解得:
b=2
故,抛物线分析式为:
4x2+2x-6
将y=4x2+
2x-6变形
y=4(x2+2x-8)
y=4(x-2)(x+4)
令y=0,解得x=2,或x=-4
则与x轴订交的坐标为(2,0),(-4,0)
已知B(2,0),因此A坐标(-4,0)
33
将y=4x2+2x-6变形
y=4(x2+2x)-6
4(x2+2x+1)-6-4
27
4(x+1)2-
因此,极点D坐标为(-1,-274)
D点纵坐标是-4,线段BP长度为:
P点横坐标-B横坐标=t-2
△BDP面积=2*│yD│*│BP│
│*│t-2│(由于t>2)
=2
*│-4
=
8(t-2)------------------①
设对称轴与x轴订交于x轴于E,过极点C作CF平行于x轴交DE于F.
梯形EFCP面积=2*│EP+CF│*│EF│
=2*│(xP-xD)+(xC-xD)│*│yC│
=2*│[t-(-1)]+[0-(-1)]│*│-6│
=2*(t+2)*6
=3(t+2)------------------②
三角形CDF面积=2*│CF│*│DF│
=2*│xC-xD│*│yD-yC│1
=2*│xC-xD│*│yD-yC│
=2
*│0-(-1)│*│-
4-(-6)│
=8---------------------
四边形DEPC面积=梯形EFCP面积+三角形CDF面积
=②+③=3t+
51----------
8
三角形DEP面积=2*│DE│*│PE│
=2*│yD│*│xP-xD│
*│-4│*│t-(-1)│
=8
(t+1)----------------⑤
三角形CPD面积=四边形DEPC面积-三角形DEP面积
=④-⑤=
24-3t
-----------⑥
又由于:
△BDP与△CDP的面积相等
①=⑥
8(t-2
)=
t=
13
假如△BDP与△CDP的面积相等,求
P点的坐标(
,0)。
原点对称的点为B,抛物线y=ax2+bx+c过A、B两点,且点D(3,19)
在抛物线上。
(1)求出抛物线的分析式,
(2)P(m,n)点在直线y=2x+1上,若n<3,且∠PAB=45°
,求出
P点坐标。
由于点C(2,-3)对于x轴对称的点为A,因此A(2,3)
C(2,-3)对于原点对称的点为B,因此B(-2,3)
将x=2,y=3代入y=ax2+bx+c,得9=4a+2b+c----------①将x=-2,y=3代入y=ax2+bx+c,得9=4a-2b+c--------②由①-②得:
-4b=0,即:
b=0
那么,①式简化为:
9=4a+c---------------------------------
由于
b=0,故,抛物线的分析式为:
y=ax2+c
D(3,19)在抛物线上,
将x=3,y=19代入y=ax2+c
由④-③,解得:
将a=2代入③,解得:
c=1
得,
19=9a+c-----------④
因此,抛物线分析式:
y=2x2+1
A、B的纵坐标为3
P(m,n),n<3,说明P在AB的下方。
由于∠PAB=45°
,因此直线AP的斜率=tan45°
=1则设直线AP的方程:
y=x+b
已知A(2,3),将x=2,y=3,代入y=x+b
b=1
直线AP的方程:
y=x+----⑤
又P为直线y=2x+1与y=x+1的交点,
y=x+1
x=0
y=2x+1
y=1
P坐标(0,1)
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