高等代数北大版本第5章学习练习题参考标准标准答案docWord格式.docx
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6)x12
x42
4x1x2
4x1x3
2x1x4
2x2x32x2x42x3x4;
7)x12
x22
x32
2x1x2
2x2x32x3x4。
解1)已知
f
x1,x2,x3
4x1x2
2x2x3,
先作非退化线性替换
x1y1y2
x2y1y2
(1)
x3y3
则
fx1,x2,x3
4y12
4y22
4y1y3
4y12
4y1y3
y32
2y1
y3
3
4y22,
再作非退化线性替换
y1
1
z1
z3
2
y2
z2
(2)
则原二次型的标准形为
fx
x
4z2
z
,
最后将
(2)代入
(1),可得非退化线性替换为
x1
1z1
1z3
x2
(3)
x3
于是相应的替换矩阵为
T
且有
TAT
4
。
2)已知fx1,x2,x3
x12
4x32
由配方法可得
x
2x
于是可令
y1x1x2
y2x22x3,
y3x3
fx1,x2,x3
y12
y22,
且非退化线性替换为
2y3
2y3
相应的替换矩阵为
112
T012,
001
11
(3)已知fx1,x2,x3
6x2x3,
fx,x
x2
2xx
4x
x32
2x2
2,
y1x1x2x3
y22x2x3,
y2
y
13
22
11
T0,
0。
(4)已知fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4,
y4
x4
fx1,x2,x3,x4
8y1y4
8y42
2y3y4
2y2y3
8y2y4
2y4
1y1
1y
1y3
1y2
8
81y1
2y2y
2y1
2y2y3,
z3,
z4
81z1
5z2
3z3
z42z1
2z2
2z2,
再令
w1
5x2
3x3
w2
w3
w4
2w12
2w22
2w32
8w42,
1w1
5w2
3w3w4
1w1w4
5
(5)已知fx1,x2,x3,x4
x1x2x1x3
x3x4,
fx1,x2,x3,x42y1y2
y22
2y1y3
2y2y3
2y1y42y2y4y3y4
1y4
y1y2y3y4
3y42
y12,
即
1z4
z12
z22
z32
3z42,
(6)已知f
x1,x2,x3,x4
4x1x3
2x1x4
2x2x4
2x3x4,
x4
2x2x
2x3
2x2x3
2x2x42x3x4
1x4
x12x22x3
2x2
1x3x4
fy12
2y221y32,
2y2
y3y4
3y3
故替换矩阵为
(7)已知fx1,x2,x3,x4
2x2x1
2x1x3
xx
2xxx
x3,
fy12y22y22y42,
x1y1
x2y2y4
x3y1y4
x4y1y3y4
(Ⅱ)把上述二次型进一步化为规范形,分实系数、复系数两种情形;
并写出所作的非退化线性替换。
解1)已求得二次型
fx1,x2,x34x1x22x1x32x2x3
的标准形为
4y22
3y32,
(1)在实数域上,若作非退化线性替换
1z2,
可得二次型的规范形为
z32。
(2)在复数域上,若作非退化线性替换
iz1
2)已求得二次型
2x22
4x2x34x32
fy12y22,
故该非退化线性替换已将原二次型化为实数域上的规范形和复数域上的规范形
fy12y22。
3)已求得二次型
fx1,x2,x3x123x222x1x22x1x36x2x3
(1)在实数域上,上面所作非退化线性替换已将二次型化为规范形,即
y1z1
y2iz2。
y3z3
fz12z22。
(3)已求得二次型
fx1,x2,x3,x48x1x22x3x42x2x38x2x4
2y12
2y22
2y32
8y42,
5y2
3y3y4
1y1y4
z22。
(2)在复数域上,若作非退化线性替换
i
y2z2
y4z4
22
(5)已求得二次型
fx1,x2,x3,x4x1x2x1x3x1x4x2x3x2x4x3x4
y323y42,
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