五年级第二学期思维训练教材Word文件下载.docx
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答:
被改的数原来是1。
随堂练习:
1、已知九个数的平均数是72,去掉一个数后,余下数的平均数是78,去掉的数是多少?
2、有五个数,平均数是9,如果把其中的一个数改为1,那么这五个数的平均数为8。
这个改动的数原来是多少?
例2把五个数从小到大排列,其平均数时38,前三个数的平均数是27,后三个数的平均数是48,中间一个数是多少?
先求五个数的和:
38×
5=190。
在秋初前三个数的和:
27×
3=81,后三个数的和:
48×
3=144。
用前三个数的和加上后三个数的和,这样,中间的那个书就算了两次,必然比190多,而多出的部分就是所求的中间的一个数。
27×
3+48×
3-38×
5=35
中间一个数是35。
1、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁,如果甲乙的平均年龄是18岁,乙丙的平均年龄是25岁,那么乙的年龄是多少岁?
2、十名参赛者平均分是82分,前6人的平均分是83分,后6人的平均分是80分,那么第5人和第6人的平均分是多少分?
拓展训练
1、张红前三次数学测验平均成绩是92分,第四次得了96分.他四次的平均成绩是多少分?
2、九个数的平均数是72,去掉一个数后,余下的数的平均数是78,去掉的数是多少?
3、爸爸、妈妈的平均年龄是36.5岁,儿子的年龄是11岁,再过3年,他们三人的平均年龄是多少岁?
第2讲倍数问题
(二)
例1幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍,如果每组领3个梨和4个苹果,结果梨正好分完,苹果还剩16个。
两种水果原来各有多少个?
因为苹果是梨的2倍,如果每组领梨3个,领苹果就应为6个,这样才会一起分完。
可实际每组只分4个苹果,少分2个,剩下的16个苹果就告诉我们有8个组。
因此苹果的个数是:
8×
4+16=48(个),梨有24个。
同学们带着水果去看敬老院的老人,带的苹果是橘子的3倍,如果每位老人拿2个橘子和4个苹果,那么,橘子正好分完,苹果还多14个。
问同学们把苹果分给了几位老人?
例2有两筐橘子,如果从甲筐拿出8个放进乙筐,两筐的橘子就同样多;
如果从乙筐拿出13个放到甲筐,甲筐里的橘子是乙筐的2倍。
甲乙两筐原来各有多少个橘子?
“如果从甲筐拿出8个放进乙筐,两筐的橘子就同样多;
”表示两筐橘子相差16个,“如果从乙筐拿出13个放到甲筐,”表示现在两筐的橘子差距是16+13×
2=42(个)“甲筐里的橘子是乙筐的2倍”说明现在倍数差是2-1=1(倍),这样就可以计算现在乙筐的橘子数是:
42÷
1=42(个)则原来就是55个。
甲筐的计算就容易了。
甲乙仓库存有货物,若从甲仓库取31吨放入乙仓库,则两仓库存货物同样多;
若乙仓库取14吨放入甲仓库,则甲仓库的货物是乙仓库的4倍。
原来两仓库各存货物多少吨?
1、养鸡场新买来100只小鸡,其中,母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只。
买来母鸡、公鸡各多少只?
思路:
题中已知母鸡和公鸡只数的和是100只,就可以计算它们的4倍是400只。
又因为母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只,从400只去掉120只,就是公鸡只数的7倍,则公鸡的只数是40只,母鸡就是60只。
2、今年,爸爸的年龄是小明的6倍,再过4年,爸爸的年龄就是小明的4倍。
今年小明多少岁?
3、甲乙丙三数的和是224,如果甲是乙的3倍,丙是甲的4倍,求甲乙丙三数各是多少?
3、把840本书放在书架的三层里,下层放的本数比上层的3倍多5本,中层放的本数是上层的2倍多1本。
问:
上中下三层各放书多少本?
4、某校有男生630人,选出男生人数的三分之一和女生的四分之三去排练团体操,剩下的男生人数是女生人数的2倍。
这个学校共有学生多少人?
第3讲假设法解题
专题分析:
假设法解题是一种常用的思维方法,在一些应用题中,要求两个或两个以上的未知量,思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等,或者先假设两种要求的未知量是同一种量,然后按题中的已知条件进行推算,并对照已知条件,把数量上出现的矛盾加以适当的调整,最后找到答案。
例1有5元和10元的人民币共14张,共100元,问5元和10元的人民币各多少张?
先假设有14张5元的,则总数是70元,那么与实际相差30元,所以这30元就是10元人民币少出来的,因此10远人民币的张数是30÷
(10-5)=6(张)。
也可以假设有14张10元的……
1、笼中共有鸡兔100只,鸡和兔的脚共248只,求笼中鸡兔各多少只?
2、一堆2分和5分的硬币共39枚,共值1.5元。
问2分和5分的银币各有多少枚?
3、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的人民币。
求换来的这两种人民币各多少张?
例2有一元、二元、五元的人民币50张,总面值为116元。
已知一元的比二元的多2张,问三种面值的人民币各有多少张?
如果减少2张一元的,那么,总张数就是48张,总面值就是114元,这样一元和二元的张数就同样多了。
假设48张都是5元的,则总面值为240元,比实际多了126元,这126元不仅包括把一元的假设为5元,而且包括把二元的假设为5元,这样在两张5元中就多了7元。
所以二元的就有18张,一元的就有20张,五元的有12张。
1、有3元、5元和7元的电影票400张,一共价值1920元。
其中7元的和5元的张数相等,三种价值的电影票各有多少张?
2、有一元、五元、十元的人民币共14张,总计66元,其中一元的比十元的多2张,问三种人民币各有多少张?
3、有1角、2角、4角、5角的邮票共26张,总计6.9元。
其中,1角和2角的张数相等,4角和5角的张数相等。
求这四张邮票各有多少张?
拓展练习
1、有黑白棋子一堆,其中黑子个数是白子个数的2倍。
如果从这堆棋子中每次取出黑子4个,白子3个,那么取了多少次后,白子余1个,而黑子余18个?
假设每次取出3个白子,黑子应取出6个,那么白子剩下1个时,黑子应剩下2个。
而实际剩下了18个,是因为每次少取了2个黑子。
所以取了(18)÷
(6-4)=8(次)。
2、有黑白棋子一堆,其中黑子个数是白子个数的3倍。
如果从这堆棋子中每次同时取出黑子6个,白子3个,那么取了多少次后,白子余5个,黑子余36个?
3、操场上有一群同学,男生人数是女生的4倍,每次同时有2名男生和1名女生回教室,若干次后,男生剩下8人,女生剩下1人?
操场上共有多少名同学?
4、用大小两种汽车运货,每辆大汽车装18箱,每辆小汽车装12箱。
现有18车货,价值3024元。
若每箱便宜2元,则这批货物价值2520元。
问大小汽车各多少辆?
根据“若每箱便宜2元,则这批货物价值2520元。
”可以知道一共便宜了504元,这样可以计算出货物有252箱。
假设18辆都是大汽车,可以装324箱,比实际多装72箱。
用一辆大汽车换一辆小汽车可少运6箱,所以有12辆小汽车。
6辆大汽车。
5、有鸡蛋18箩,每只大箩装180个,每只小箩装120个,这批蛋共值302.4元。
若将每个鸡蛋便宜2分出售,这些鸡蛋可卖252元。
问大箩、小箩各有多少个?
6、甲乙二人投飞镖比赛,规定每中一次记10分,脱靶一次倒扣6分。
两人各投10次,共得152分。
其中甲比乙多得16分,问两人各中多少次?
根据共得152分。
其中甲比乙多得16分,可计算甲得84分,乙得68分。
甲投10次,假设全中。
应得100分,这样比实际多了16分,由于脱靶一次扣6分,所以甲脱靶一次应扣16分,这样可计算出甲脱靶了1次。
同理可计算乙脱靶了2次。
那么计算甲乙投中的次数就容易了。
第4讲作图法解题
用作图法把应用题的数量关系表示出来,使题意形象具体,一目了然,以便较快地找到解题的途径,它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题,能起化难为易的作用。
在解答已知一个数或者几个数的和差、差倍以及相互之间的关系、求其中一个数或者几倍数问题等应用题时,我们可以抓住题中给出的数量关系,借助线段图进行分析,从而列出算式。
例1五
(一)班的男生人数和女生人数同样多。
抽去18名男生和26名女生参加合唱团,剩下的男生人数是女生的3倍。
五
(一)班原有男女生多少人?
先作图:
由于男生人数和女生人数同样多,抽去18名男生和26名女生参加合唱团,说明男生比女生少抽8名,剩下的男生人数是女生的3倍,这8名正好是剩下男女生相差的2倍。
这样很容易计算剩下的女生是4人。
则原有女生30名。
1、两根电线一样长,第一根剪去50厘米,第二根剪去180厘米后,剩下部分,第一根是第二根长度的3倍。
这两根电线原来共长多少厘米?
2、甲乙两筐水果个数一样多,从第一筐中取出31个,第二筐中取出19个后,第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。
原来两筐水果各有多少个?
3、哥哥现存的钱是弟弟的5倍,如果哥哥再存20元,弟弟再存100元。
二人的存款正好相等。
哥哥原来存有多少钱?
例2两根电线共长59米,如果第一根剪去3米,第一根电线的长度就是第二根的3倍。
求原来两根电线各长多少米?
如果把第一根剪去3米,则总长是56米,这56米正好是原来第二根电线的4倍。
这样计算就十分容易了。
1、甲乙两筐苹果共重83千克,如果从甲筐取出3千克后,甲筐苹果的重量就是乙筐的4倍。
甲乙两筐苹果原来各重多少千克?
2、学校图书室共有图书和故事书250本,又买来50本科技书后,科技书的本数是故事书的2倍,学校图书馆原来各有科技书和故事书多少本?
3、参加奥数竞赛集训的男生和女生共有21人,如果女生减少5名,男生人数就是女生的3倍,参加奥数竞赛集训的男女生各有多少人?
1、甲乙丙丁四个小组的同学共植树45棵,如果甲组多植2棵,乙组少植2棵,丙组植的棵数扩大2倍丁组植树减少一半,那么四个组植的树正好相同。
原来四个小组各植树多少棵?
我们把现在的丙组看成1份,丁组则为4份,由于甲乙两组一组多2棵,一组少2棵,故总数不变。
这样现在的丙组为:
45÷
(1+4+2+2)=5(棵)其他组的计算就简单了。
2、甲乙丙丁四个数的和是100,甲数加上4,乙数减去4,丙数乘以4,丁数除以4,四个数正好相等,求这四个数。
3、五
(1)班全体同学做数学竞赛题,第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人。
第二次及格人数增加5人。
使及格的人数是不及格人数的6倍。
五
(1)班有多少人?
先作图,第二次及格人数增加5人,也就是不及格的减少5人,因为第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人。
那么及格人数应减少15人,这样及格与不及格相差24人,这24人对应着(6-3)倍。
第二次不及格的人数就是8人。
其他问题就容易计算了。
4、有两筐苹果,甲筐水果的个数是乙筐的3倍,如果从乙筐中拿5个放进甲筐,这时甲筐的水果恰好是乙筐的5倍。
原来两筐水果各有多少个水果?
5、用绳子测井深,把绳子三折来量,井外余16分米,把绳子四折来量,井外余4分米,求井深和绳长。
把绳子三折来量,井外余16分米,就是绳长是井深的3倍多48分米,同理,把绳子四折来量,井外余4分米,就是绳长是井深的4倍多16分米,两次多余的差就正好是两次倍数的差。
即井深是16分米。
绳长计算就简单了。
6、用一根绳子量大树的周长,把绳子2折后正好绕大树2圈,若把绳子3折,绕大树一圈还余30厘米。
求大树的周长和绳长。
第5讲周期问题
周期问题是指事物在运动变化过程中,某些特征循环往复出现,其连续两次出现所经过的时间叫做周期。
在数学上,不仅有专门研究周期现象的分支,而且平时解题时也常常碰到与周期有关的问题。
这些数学问题只要我们发现某种周期现象,并充分加以利用,把要求的问题和某一周期的等式相对应,就能找到解题关键。
例1有249朵花,按5朵红花,9朵黄花,13朵绿花的顺序轮流排列,最后一朵是什么颜色的花?
这249朵花中,红花、黄花、绿花各有多少朵?
249÷
(5+9+13)=9(组)……6(朵)
这六朵花包括5朵红花和1朵黄花。
红花:
5×
9+5=50(朵)
黄花:
9×
9+1=82(朵)
绿花:
13×
9=117(朵)
1、1÷
7=0.142857142857……,小数点后面第100个数字是多少?
2、有47盏彩灯,按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。
最后一盏灯是什么颜色?
三种颜色的灯各占总数的几分之几?
3、在100米的跑道两侧每隔2米站着一个同学。
这些同学从一端开始,按两女生,再一男生的规律站立着。
问这些同学中共有多少个女生?
例2下面是一组数列,每3个相邻数字之和都是17,你知道“?
”表示的数字是几吗?
8()()()?
()()()()()6
根据规律,第四个数一定是8,第二个数一定就是“6”。
不信你数数就知道了。
1、下面是一个数列,每3个相邻数字之和是14,你知道“?
3()()()?
()()7
2、下面是一个数列,每3个相邻数字之和是15,你知道“?
你能填出其他数字吗?
8()()()()?
()()()()3
3、1998个7相乘,它的结果的末位数字是几?
1、2001年10月1日是星期一,那么,2002年1月1日是星期几?
92÷
7=13(周)……1(天)
星期一加上一天就是星期二了。
2、如果今天是星期五,那么80天后是星期几?
3、将奇数如下图排列,各列分别用A、B、C、D、E作为代表,问一问2001所在的列以哪个字母作为代表?
A、B、C、D、E
1、3、5、7
15、13、11、9
17、19、21、23
31、29、27、25
……
因为2001是一列数中的1001个数,所以1001÷
8=125……1。
即2001这个数在B为代表的列中。
4、把自然数按下面规律排列,865排在哪一列?
A、B、C、D、
1、2、3、
6、5、4
7、8、9
12、11、10
5、有一个100位数,每位上的数字都是8,这个数除以7,当商是整数时,余数是几?
88888……8÷
7=126984126984……余数分别是(146520循环)
100÷
7=16……4
所以余数就是5。
6、有一个100位数,每位上的数字都是4,这个数除以3,当商是整数时,余数是几?
第6讲置换问题
置换问题主要研究把数量关系的两种数量转换成一种数量,从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题,解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法。
解答置换问题应注意下面两点:
1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量,从而找出解题方法。
2、把两种数量假设为一种数量,从而找出解题方法。
例120千克苹果与30千克梨共计132元,2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等。
求苹果和梨的单价。
2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等,则20千克苹果相当于25千克梨,这样就把两种数量转化为一种数量了,先计算梨的单价是:
132÷
(25+30)=2.4(元),其余的计算就容易了。
1、6只鸡和8只羊共重78千克,已知5只鸡的重量和2只羊的重量相等。
求每只鸡和每只羊的重量。
2、商店里有甲种钢笔和乙种圆珠笔,已知2支钢笔的价钱与15支圆珠笔的价钱相等。
老师买了4支钢笔和6支圆珠笔共付了72元。
求钢笔和圆珠笔的单价。
3、用两种汽车运货,如果2辆大汽车的载重量正好等于3辆小汽车的载重量,且5辆大汽车和6辆小汽车一次共运54吨货。
求每辆大汽车比小汽车多装几吨货?
例2中华学校买来史地书、科技书和文艺书共456本。
其中科技书是史地书的的1.2倍,文艺书比科技书多31本。
三种书各买了多少本?
先用史地书代换科技书,科技书加上31本又是文艺书,这样三种书都可表示成史地书,则史地书为:
(456-31)÷
(1+1.2+1.2)=125(本)。
其他书的计算就简单了。
某菜站运来西红柿和黄瓜共重1660千克,已知运来的西红柿的重量比黄瓜重量的3倍少60千克,菜站运来的西红柿和黄瓜各多少千克?
1、一件工作,甲做5小时以后由乙来做,3小时可以完成;
乙做9小时以后由甲来做,也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成?
假设甲乙都做6小时后,甲还要做2小时,乙还要做6小时。
以后的计算相信你可以解决了。
2、小明去买同一种笔和同一种橡皮,所带的钱能买8支笔和4块橡皮,或买6支笔和12块橡皮。
结果他用这些钱全部买了笔,请问他能买几支?
3、一辆卡车最多能载40袋大米和40袋面粉,或者载10袋大米和100袋面粉。
现在卡车上已载有20袋大米,最多还能载多少袋面粉?
4、买2条床单和3条毛巾只用210元,买同样的3条床单和2条毛巾只用280元。
买一条床单和毛巾各需多少元?
5、一条公路长72千米,由甲乙丙三个修路队共同修完。
甲队修的千米数是乙队的2倍,丙队修的千米数比甲队少3千米。
甲乙丙三队各修了多少千米?
6、糖果店卖的水果糖、奶糖和巧克力糖有以下关系:
买1.5千克奶糖的钱和买2.4千克的水果糖的钱相等;
买2千克巧克力糖的钱和买3千克奶糖的钱相等。
如果用买4.5千克巧克力糖的钱,可买水果糖多少千克?
第7讲立体图形及展开
同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体,从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题,帮助大家提高观察能力和空间想像能力,以及掌握解答问题的技巧和方法。
这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图
例题选讲
例1:
图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。
如果将这个展开图恢复成原来的正方体,图中的点F、点G分别与哪个点重合?
【分析与解答】为了研究方便,我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6,如果将l作为底面,那么4就是后面,5为右面,6为前面,2则是左面,3就是上面,(如图2)。
从图中不难看出点F与点N,重合,点G与点S重合。
还有一种方法就是动手制作一张展开图,折一折,结果就一目了然了,同学们不妨试试吧!
例2:
一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发,沿长方体的表面爬行,依次经过前面、上面、后面、底面,最后到达P点。
请你为它设计一条最短的爬行路线。
【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行,所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。
又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”,所以连接AP,则线段AP为小虫爬行的最短路线。
练习与思考
1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。
如果将这个展开图恢复成原来的正方体,图中的点B、点D分别与哪个点重合?
2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块,一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。
请画出蚂蚁爬行的最短路线。
这样的路线共有几条?
3.将一张长方形硬纸片,剪去多余部分后,折叠成一个棱长为l厘米的正方体。
这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?
4.一块长方形的铁皮,长28厘米,在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形,然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。
已知这个盒子的容积是960立方厘米,求原来长方形铁皮的面积。
5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图,若在正方体的各面填上数,使其对面两数之和为7,则A、B、c处填的数各是多少?
6.如图所示的10个展开图中,哪些可以做成完整的正方体?
7.图
(1)是一个正方体,图
(2)是这个正方体的一个平面展开图,图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图,但每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来,请你给补上。
8.如图所示的是一个长方体,四边形APQC、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形),P、Q分别为棱A1B1、B1C1,
的中点,请在此长方体的平面展开图上,标出线段AC、cQ、QP、PA。
第8讲长方体和正方体的表面积
在数学竞赛中,有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。
这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。
解答长方体和正方体表面积的问题时,需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力,另外还要掌握一些解题的思路和技巧。
一个长方体,前面和上面的面积之和是88平方厘米,这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数,且都是质数,求这个长方体的表面积。
【分析与解答】要求长方体的表面积,就要求长方体的长、宽、高。
根据题意,前面与上面的面积之和是88平方厘米,也就是长×
高+长x宽=88,即长×
(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数,我们把88分解质因数得88=1l×
2×
2,依题意,11不能分成两个质数和,经试验,有两种情况符合条件,
(1)ll×
(3+5):
88
(2)2×
(41+3)一88,因此长方体的表面积可以有两种情况。
解:
88—11×
2X2×
2,2×
2:
3+5,11×
2—41+3。
长方体的表面积:
(1)(11×
3+1l×
5+5×
3)×
2=206(平方厘米)
(2)(2×
3+2x4l+41×
2—422(平方厘米)
如图,将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体,求这个长方体的表面积。
【分析与解答】仔细观察图形,不难看出3个正方体块粘成1个长方体,共有2个粘接处,每一处都有2个面粘在一起,两处共粘去4个面,因此粘成的长方体的表面积等于(6×
3—4)个面的面积,即24÷
6×
(6x3—4)=56(平方厘米)。
例3:
如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形,其中有一些正方体看不见,那么这个立体图形的表面积是多少?
【分析
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