习题解文档格式.doc
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晶体外形上的规则性反映着内部分子(原子)间排列的有序。
晶态固体的内部,至少在微米量级的范围是有序排列的,这叫做长程有序。
晶体有固定的熔点也是因为在熔化过程中,晶态固体的长程序解体时对应着一定的温度。
1.2简要说明下列概念:
结点、基元、原胞、晶胞、布喇菲格子、子晶格、简单格子和复式格子.
基元是晶体的基本结构单元;
结点是基元的代表点,应该取各基元结构中相同的位置,如基元的重心或其它有明显特征之处;
原胞是晶体的最小重复单元,它包含基元及其周围空间;
晶胞是能反映结点空间排列或晶体对称性的重复单元,其体积应该是原胞的整数倍;
布喇菲格子是指全体结点的集合,反映基元在空间的排列情况;
子晶格是指复式格子中同一种粒子构成的网格;
简单格子是指晶体中只有一种粒子的情况,复式格子是指有两种或两种以上粒子的情况。
1.3设立方体晶胞边长为a,问简立方、面心立方、体心立方的最近邻和次近邻格点数各为多少?
距离多大?
简立方分别为6个和12个,距离为a和a;
面心立方分别为12个和6个,距离为a和a;
体心立方分别为8个和6个,距离为a和a。
1.4证明体心立方、面心立方的原胞体积分别为a3/2和a3/4。
体心立方每个立方体包含2个结点,每个结点对应1个原胞,故原胞体积分别为a3/2。
面心立方每个立方体包含4个结点,故原胞体积分别为a3/4。
(更严格的证明应用原胞基矢求体积的方法进行)
1.5体心立方晶格是否可以看作两个简立方晶格平移套构而成?
如果可以,为什么它们不属于复式格子?
体心立方晶格可以看作两个简立方沿体对角线方向平移1/2套构而成,但体心和顶角是同一种粒子且在晶体中的地位相同,所以不是复式格子。
1.6简要说明:
晶列、晶向、晶面、密勒指数、正格子、倒格子。
任意两个结点相连构成一条晶列,许许多多互相平行的晶列确定一个方向,称晶向。
任意三个不在一条线上的结点确定一个平面称晶面,许许多多互相平行的晶面确定一个方向,密勒指数就是与此方向对应的一组整数。
晶体的结点直接形成的格子称正格子,以矢量,,为基矢构成的格子称倒格子。
1.7在面心立方和体心立方结构中,面原子密度最大的晶面是哪族晶面?
线原子密度最大的方向是什么晶向?
在面心立方中,最近邻原子沿面对角线方向,故此方向线原子密度最大。
用晶胞基矢表示,此方向指数为,间距为。
包含两个面对角线的晶面的面原子密度最大,它们与体对角线垂直,用晶胞基矢表示,此晶面指数为(1,1,1),间距为。
在体心立方中,最近邻原子沿体对角线方向,故此方向线原子密度最大。
用晶胞基矢表示,此方向指数为[1,1,1],间距为。
包含两个体对角线的晶面的面原子密度最大,它们与面对角线垂直,用晶胞基矢表示,此晶面指数为,间距为。
1.10具有笛卡尔坐标(n1,n2,n3)的所有点形成什么样的布喇菲点阵?
如果
(a)ni或全为奇数,或全为偶数;
(b)要求为偶数。
(a)原点的笛卡尔坐标(0,0,0),以它为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位,这些点的笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为偶数,它们构成边长为2的简立方点阵。
同理,以(1,1,1)为起点向三个坐标轴方向平移偶数个单位,其笛卡尔坐标(n1,n2,n3)全为奇数,也构成边长为2的简立方点阵。
两套点阵套构成体心立方(坐标为偶数的点为顶角,为奇数的点为体心)。
(b)要求为偶数则有两种情况,三个坐标全为偶数,或一个偶数两个奇数。
前者构成面心立方(边长为2)的顶角点,后者构成面心立方的面心点,如(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)。
所以为偶数的坐标点的集合构成面心立方。
1.12如果基矢构成正交系,证明晶面族(h,k,l)的面间距为
证:
由于基矢构成正交系,不妨设,,。
故原胞体积,相应的倒格子基矢为,,。
与晶面族(h,k,l)相应的倒格矢,故面间距为
A
H
D
C
G
F
E
B
1.13找出四方体(a=b≠c)和长方体(a≠b≠c)的全部对称操作。
(1)设两底面为正方形,侧面为长方形。
则两底面中心连线为4次轴,两对侧面中心连线为2次轴。
四条侧棱中,两组对棱中心连线各构成一个2次轴。
考虑到不动也是对称操作,所以共有转动对称操作
3+2×
1+2×
1+1=8
由于四方体中心为对称中心,所以转动反演对称操作也有8个,故共有16个对称操作。
(2)对于长方体,只存在3个2次轴(3对面中心连线),也存在对称中心,对称操作数为
2×
(3×
1+1)=8
1.14证明:
一个具有对称素的物体必定具有对称素3和;
而一个具有对称素的物体心定具有对称素3和。
反之亦然。
证:
以Cn表示转操作,Cni表示转接着中心反演操作,I表示中心反演操作,则Cni=CnI
(1)具有对称素意味着C3i为对称操作,用C3i的组合如,说明C3也为对称操作,故物体必具有对称素3。
另一方面,,说明I也为对称操作,即存在。
反之,C3I=C3i,所以存在对称素3和,则必存在。
(2),即C6i的组合可以得到C3,所以具有对称素为的物体必具有对称素3。
,即C6i的组合可以得到C2i,所以具有对称素为的物体必具有对称素。
反之,,即C3及C2i的组合可以得到C6i,所以具有对称素3和对称素的物体必具有对称素为。
1.15试分析立方晶系为什么没有底心格子;
四方晶系为什么没有底心和面心格子?
在立方体引入底心,破坏了原来的对称性,例如不再有3次轴,所以立方晶系为什么没有底心格子。
在四方体中引入底心,可以采用更小的四方体作原胞,即简单四方。
而面心格子可简化为体心四方。
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