北京市中考数学各地区模拟试题分类北京专版二三角形Word文件下载.docx
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“今有竹高二丈,末折抵地,去本六尺,问折者高几何?
”
译文:
“有一根竹子,原高二丈(1丈=10尺),现被风折断,竹梢触地面处与竹根的距离为6尺,问折断处离地面的高度为多少尺?
如图,我们用点A,B,C分别表示竹梢,竹根和折断处,设折断处离地面的高度BC=x尺,则可列方程为 .
三.解答题
21.(2020•顺义区二模)已知:
在△ABC中,∠ABC=90°
,AB=BC,点D为线段BC上一动点(点D不与点B、C重合),点B关于直线AD的对称点为E,作射线DE,过点C作BC的垂线,交射线DE于点F,连接AE.
(1)依题意补全图形;
(2)AE与DF的位置关系是 ;
(3)连接AF,小昊通过观察、实验,提出猜想:
发现点D在运动变化的过程中,∠DAF的度数始终保持不变,小昊把这个猜想与同学们进行了交流,经过测量,小昊猜想
∠DAF= °
,通过讨论,形成了证明该猜想的两种想法:
想法1:
过点A作AG⊥CF于点G,构造正方形ABCG,然后可证△AFG≌△AFE…
想法2:
过点B作BG∥AF,交直线FC于点G,构造▱ABGF,然后可证△AFE≌△BGC…
请你参考上面的想法,帮助小昊完成证明(一种方法即可).
22.(2020•房山区二模)点C为线段AB上一点,以AC为斜边作等腰Rt△ADC,连接BD,在Rt△ABD外侧,以BD为斜边作等腰Rt△BED,连接EC.
(1)如图1,当∠DBA=30°
时:
①求证:
AC=BD;
②判断线段EC与EB的数量关系,并证明;
(2)如图2,当0°
<∠DBA<45°
时,EC与EB的数量关系是否保持不变?
对于以上问题,小牧同学通过观察、实验,形成了解决该问题的几种思路:
尝试将点D为旋转中心,过点D作线段BD垂线,交BE延长线于点G,连接CG;
通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题;
尝试将点D为旋转中心,过点D作线段AB垂线,垂足为点G,连接EG.通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题;
想法3:
尝试利用四点共圆,过点D作AB垂线段DF,连接EF,通过证明D、F、B、E四点共圆,利用圆的相关知识解决以上问题.
请你参考上面的想法,证明EC=EB(一种方法即可).
23.(2020•东城区二模)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点D是△ABC外一点,点D与点C在直线AB的异侧,且点D,A,C不共线,连接AD,BD,CD.
(1)如图1,当α=60°
.∠ADB=30°
时,画出图形,直接写出AD,BD,CD之间的数量关系;
(2)当α=90°
,∠ADB=45°
时,利用图2,继续探究AD,BD,CD之间的数量关系并证明;
(提示:
尝试运用图形变换,将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中)
(3)当∠ADB=
时,进一步探究AD,BD,CD之间的数量关系,并用含α的等式直接表示出它们之间的关系.
24.(2020•房山区二模)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB交BC于点E,F是BD中点.求证:
EF平分∠BED.
25.(2020•海淀区二模)如图1,等边三角形ABC中,D为BC边上一点,满足BD<CD,连接AD,以点A为中心,将射线AD顺时针旋转60°
,与△ABC的外角平分线BM交于点E.
(1)依题意补全图1;
(2)求证:
AD=AE;
(3)若点B关于直线AD的对称点为F,连接CF.
AE∥CF;
②若BE+CF=AB成立,直接写出∠BAD的度数为 °
26.(2020•大兴区一模)已知:
如图,∠QAN为锐角,H、B分别为射线AN上的点,点H关于射线AQ的对称点为C,连接AC,CB.
(1)依题意补全图;
(2)CB的垂直平分线交AQ于点E,交BC于点F.连接CE,HE,EB.
△EHB是等腰三角形;
②若AC+AB=
AE,求cos∠EAB的值.
27.(2020•北京一模)△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=
,M为BC边上的一个动点(不与点B,C重合),连接AM,以点A为中心,将线段AM逆时针旋转135°
,得到线段AN,连接BN.
∠BAN=∠AMB;
(3)点P在线段BC的延长线上,点M关于点P的对称点为Q,写出一个PC的值,使得对于任意的点M,总有AQ=BN,并证明.
28.(2020•丰台区一模)已知∠AOB=120°
,点P为射线OA上一动点(不与点O重合),点C为∠AOB内部一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转60°
得到线段CQ,且点Q恰好落在射线OB上,不与点O重合.
(1)依据题意补全图1;
(2)用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系,并证明;
(3)连接OC,写出一个OC的值,使得对于任意点P,总有OP+OQ=4,并证明.
29.(2020•东城区一模)如图,在正方形ABCD中,AB=3,M是CD边上一动点(不与D点重合),点D与点E关于AM所在的直线对称,连接AE,ME,延长CB到点F,使得BF=DM,连接EF,AF.
(2)若DM=1,求线段EF的长;
(3)当点M在CD边上运动时,能使△AEF为等腰三角形,直接写出此时tan∠DAM的值.
30.(2020•平谷区一模)如图1,P是△ABC外部的一定点,D是线段BC上一动点,连接PD交AC于点E.
小明根据学习函数的经验,对线段PD,PE,CD的长度之间的关系进行了探究,
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)对于点D在BC上的不同位置,画图、测量,得到了线段PD,PE,CD的长度的几组值,如表:
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
PD/cm
2.56
2.43
2.38
2.67
3.16
3.54
4.45
5.61
PE/cm
2.01
1.67
1.47
1.34
1.32
1.40
1.48
CD/cm
0.00
0.45
0.93
2.11
3.00
4.68
6.00
在PD,PE,CD的长度这三个量中,确定 的长度是自变量, 的长度和 的长度都是这个自变量的函数;
(2)在同一平面直角坐标系xOy中,画出图2中所确定的两个函数的图象;
(3)结合函数图象,解决问题:
连接CP,当△PCD为等腰三角形时,CD的长度约为 cm.(精确到0.1)
参考答案
1.解:
由作图可得,OC=OE,FC=FG,OF=OF,
∴△OCF≌△OGF(SSS),
∴∠BOG=∠AOB,故A选项正确;
若CG=OC=OG,则△OCG是等边三角形,
∴∠COG=60°
,
∴∠AOB=
∠COG=30°
,故B选项正确;
∵OC=OE,FC=FG,
∴OF垂直平分CG,故C选项正确;
∴CG=2MG<2FG,故D选项错误;
故选:
D.
2.解:
如图1,∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∴∠BAC=∠ABE,
∵∠AEB=80°
∴∠BAC=∠ABE=50°
∵AB=AC,
∴∠ABC=
=65°
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°
如图2,∵DE垂直平分AB,
∴∠BAE=∠ABE,
∴∠BAE=∠EBA=50°
∴∠BAC=130°
=25°
∴∠EBC=∠EBA+∠ABC=75°
3.解:
∵DE⊥AC,∠BDE=140°
∴∠A=50°
又∵AB=AC,
∴∠C=
∵EF⊥BC,
∴∠DEF=∠C=65°
所以A错,B错,C对,D错.故选C.
4.解:
∵BE是△ABC的高线,
∴求△ABC的面积正确的公式是S△ABC=
CA•BE.
B.
5.解:
根据三角形中线的定义知线段AD是△ABC的中线,
6.解:
根据高的定义,AF为△ABC中BC边上的高.
7.解:
△ABC的高是线段CQ,
8.解:
当5为腰,10为底时,
∵5+5=10,
∴不能构成三角形;
当腰为10时,
∵5+10>10,
∴能构成三角形,
∴等腰三角形的周长为:
10+10+5=25.
二.填空题(共12小题)
9.解:
∵D、E分别为AB、AC边的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴BC=2DE=4,
故答案为:
4.
10.解:
如图,∵△ABD是等腰直角三角形,
∴∠ABD=45°
∴∠ABC=180°
﹣45°
=135°
135.
11.解:
在Rt△AEC和Rt△DAB中
∴Rt△AEC≌Rt△DAB(HL),
∴∠ACE=∠ABD,
∵∠EAC+∠ACE=90°
∴∠EAC+∠ABD=90°
∴∠AFB=90°
,即∠CFD=90°
∴∠ACD+∠BDC=90°
故答案为90.
12.解:
3﹣2=1,
1×
1=1.
故图2中小正方形ABCD的面积为1.
1.
13.解:
如图所示:
由题意可得:
∠1=∠3,
则∠1+∠2=∠2+∠3=45°
45°
14.解:
由勾股定理得:
AC=
=5,
S△ABC=
BC×
AE=
×
BD×
AC,
∵AE=3,BC=5,
即
解得:
BD=3.
5,3.
15.解:
∵∠CPA=45°
,∠CPA=∠PAB+∠PBA,
∴∠PAB+∠PBA=45°
45.
16.解:
连接AE,PE,
则∠EAB=∠PCD,
故∠PAB﹣∠PCD=∠PAB﹣∠EAB=∠PAE,
设正方形网格的边长为a,则PA=
=
,PE=
,AE=
a,
∵PA2+PE2=5a2+5a2=10a2=AE2,
∴△APE是直角三角形,∠APE=90°
又∵PA=PE,
∴∠PAE=∠PEA=45°
∴∠PAB﹣∠PCD=45°
17.解:
延长BA交格点于D,连接CD,
则AD2=CD2=1+22=5,AC2=12+32=10,
∴AD2+CD2=AC2,
∴∠ADC=90°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=45°
18.解:
过点A作直线BC的垂线,垂足为D,则AD=BD,
∵∠ADB=90°
∴∠BAC+∠BCA=∠ABD=45°
19.解:
如图,连接CG、AG,
AC2=AG2=12+22=5,CG2=12+32=10,
∴AC2+AG2=CG2,
∴∠CAG=90°
∴△CAG是等腰直角三角形,
∴∠ACG=45°
∵CF∥AB,
∴∠ACF=∠BAC,
在△CFG和△ADE中,
∵
∴△CFG≌△ADE(SAS),
∴∠FCG=∠DAE,
∴∠BAC﹣∠DAE=∠ACF﹣∠FCG=∠ACG=45°
20.解:
设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(20﹣x)尺,
根据勾股定理得:
x2+62=(20﹣x)2.
故答案为x2+62=(20﹣x)2.
三.解答题(共10小题)
21.解:
(1)补全图形如图1:
(2)AE与DF的位置关系是:
AE⊥DF,
理由是:
∵点B关于直线AD的对称点为E,
∴AB=AE,BD=DE,
∵AD=AD,
∴△ABD≌△AED(SSS),
∴∠AED=∠B=90°
∴AE⊥DF;
AE⊥DF;
(3)猜想∠DAF=45°
;
证明如下:
如图2,过点A做AG⊥CF于点G,
依题意可知:
∠B=∠BCG=∠CGA=90°
∵AB=BC,
∴四边形ABCG是正方形,
∴AG=AB,∠BAG=90°
∴AB=AE,∠B=∠AED=∠AEF=90°
,∠BAD=∠EAD,
∴AG=AE,
∵AF=AF,
∴Rt△AFG≌Rt△AFE(HL),
∴∠GAF=∠EAF,
∵∠BAG=90°
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠GAF=90°
∴∠EAD+∠EAF=45°
即∠DAF=45°
如图3,过点B作BG∥AF,交直线FC于点G,
∠ABC=∠BCF=90°
∴AB∥FG,
∵AF∥BG,
∴四边形ABGF是平行四边形,
∴AF=BG,∠BGC=∠BAF,
∴AB=AE,∠ABC=∠AED=90°
∴AE=BC,
∴Rt△AEF≌Rt△BCG(HL),
∴∠EAF=∠CBG,
∵∠BCG=90°
∴∠BGC+∠CBG=90°
∴∠BAF+∠EAF=90°
∴∠BAD+∠EAD+∠EAF+∠EAF=90°
∵∠BAD=∠EAD,
22.解:
(1)①如图1,
过点D作DF⊥AC于F,则∠DFC=90°
∵△ADC是AC为斜边作等腰Rt△ADC,
∴AC=2DF,
在Rt△DFB中,∠DBA=30°
∴BD=2DF,
∴AC=BD;
②∵△ADC是等腰直角三角形,
∴∠ACD=45°
∵∠DBA=30°
∴∠CDB=∠ACD﹣∠DBA=15°
∵△BDE是等腰直角三角形,
∴∠BDE=45°
∴∠CDE=∠CDB+∠BDE=60°
在Rt△ADC中,AC=
DC,
在Rt△BDE中,BD=
BE=
DE,
由①知,AC=BD,
∴BE=CD=ED,
∴△CDE是等边三角形,
∴DE=CE,
∴EC=EB;
(2)如图2,
过点D作DG⊥BD交BE的延长线于G,连接CG,
∴∠BDG=90°
=∠ADC,
∴∠ADB=∠CDG,
∵△BED是以BD为斜边作等腰Rt△BED,
∴∠BED=90°
,∠DBE=45°
∴∠DGE=90°
﹣∠DBE=45°
=∠DBE,
∴BD=GD,
∵AD=CD,
∴△ADB≌△CDG(SAS),
∴∠DCG=∠DAB,
∵∠ACD=45°
∴∠BCG=∠ACG=90°
在Rt△BDG中,DB=DG,∠BED=90°
∴EG=EB,
∴BE=BE(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半).
23.解:
(1)AD2+BD2=CD2,
理由:
如图1,过AD为边在AD上侧作等边三角形ADE,连接BE,
则AD=DE=AE,∠DAE=∠ADE=60°
∵∠ADB=30°
∴∠BDE=∠DBA+∠ADE=90°
在Rt△BDE中,根据勾股定理得,BD2+DE2=BE2,
∴BD2+AD2=BE2,
∵∠DAE=∠BAC=60°
∴∠BAE=∠CAD,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴BE=CD,
∴AD2+BD2=CD2;
(2)如图2,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接BE,DE,
∴∠ADE=45°
∵∠BDA=45°
∴∠BDE=90°
根据勾股定理得,DE2+BD2=BE2,
∵DE2=2AD2,
∴2AD2+BD2=BE2,
∵∠DAE=∠BAC=90°
∴2AD2+BD2=CD2;
(3)如图3,
将线段AD绕点A顺时针旋转α得到AE,连接DE,BE,
∴∠ADE=
(180°
﹣∠DAE)=90°
﹣
α,
∵∠ADB=
∵∠DAE=∠BAC=α,
∴DE2+BD2=CD2,
过点A作AF⊥DE于F,则DE=2DF,
∴∠DAF=90°
﹣∠ADE=
在Rt△ADF中,sin∠DAF=
∴DF=AD•sin∠DAF=AD•sin
∴DE=2DF=2AD•sin
即:
(2AD•sin
)2+BD2=CD2.
24.证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵DE∥AB,
∴∠ABD=∠BDE,
∴∠BDE=∠CBD,
∴EB=ED,
∵EB=ED,F是BD中点,
∴EF平分∠BED.
25.解:
(1)补全图形如图1所示;
(2)由旋转知,∠DAE=60°
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°
∴∠DAE=∠BAC,
∵BE是△ABC的外角的平分线,
∴∠ABM=
﹣60°
)=60°
=∠C,
在△ABE和△ACD中,
∴AD=AE;
(3)①如图2,连接AF,∵点F是点B关于AD的对称点,
∴∠BAD=∠FAD,AF=AB,
∴AF=AC,
∴∠AFC=∠ACF,
设∠BAD=α,则∠FAD=α,
∴∠CAF=∠BAC﹣∠BAD﹣∠FAD=60°
﹣2α,
∴∠ACF=
﹣∠CAF)=60°
+α,
由
(2)知,∠BAE=∠CAD=60°
﹣α,
∴∠CAE=∠BAE+∠BAC=60°
﹣α+60°
=120°
∴∠ACF+∠CAE=60°
+α+120°
﹣α=180°
∴AE∥CF;
②如图2,连接BF,设∠BAD=α,
∵点F是点B关于AD的对称点,
∴AD⊥BF,垂足记作点G,则∠AGB=90°
∴∠ABG=90°
∵∠ABC=60°
∴∠CBG=30°
连接DF,则BD=DF,
∴∠CDF=2∠CBG=60°
由
(2)知,△ABE≌△ACD,
∵BE+CF=AB,
∴CD+CF=BC=BD+CD,
∴BD=CF,
∴DF=CF,
∴∠DCF=∠CDF=60°
由①知,∠ACF=60°
∴∠DCF=∠ACF﹣∠ACB=α,
∴60°
﹣2α=α,
∴α=20°
即∠BAD=20°
20.
26.
(1)解:
图形如图1所示:
(2)①证明:
如图2中,
∵C,H关于AQ对称,
∴∠CAE=∠EAH,AC=AH,
∵AE=AE,
∴△ACE≌△AHE(SAS),
∴EC=EH,
∵EF垂直平分线段BC,
∴EC=EB,
∴EH=EB,
∴△EHB是等腰三角形.
②解:
如图2﹣1中,作EM⊥AB于M.
∵EH=EB,EM⊥BH,
∴HM=MB,
∴AC+AB=AH+AB=AM﹣HM+AM+BM=2AM,
∵AC+AB=
AE,
∴4AM=
在Rt△AEM中,cos∠EAB=
∴cos∠EAB=
27.解:
(1)根据题意,补全图形,如图1,
(2)∵∠ACB=90°
,AC=BC,
∴∠ABM=45°
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